《概率论与数理统计》(武汉大学 齐民友版)课后答案

1、第 1 章习题解案 总 5 页第 1 页 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 （一）基本题答案（一）基本题答案 1、 （1）3,2,1,0 1 = （2）nn/,2,1 2 =?是正整数 （3） （4）1| ),( 22 3 =+=zyxzyxzyx 2、 （1）cab （2） （3） )(cbacba （4）cbacbacba （5） （6）acbcabcba（或abc） 3、 zabpabpbap=1)(1)()( zyabpbpabbpbap=)()()()( ()( )( )()1()1p abp ap bp abxyyzxz=+= += + ()()1()1 ( )( )()

2、1p abp abp abp ap bp abxyz= = += + 4、()()( )(p abp aabp ap ab=) ( ) ( )( )() ()( )0.60.30.3 p ap ap bp ab p abp b =+ = 5、)(1)(1)(baapabpabp= 6 . 03 . 07 . 01)()(1=+=+=bapap 6、)(1)()(cbapcbapcbap= 1 ( )( )( )()()()() 1111117 1(00) 4449936 p ap bp cp abp acp bcp abc= + = += 7、)()()()()()()()(abcpbcpac

3、pabpcpbpapcbap+= 8 5 00 8 1 0 4 1 4 1 4 1 =+= 8、因)()()(babababa=bbbaabaa)( 所以0)()()()(=pbabababap 9、七个字母任意排有 7！种排法，且每一排法的可能性相同，这是一个古典概型问题， 而排成 science 有41112121=种排法，故所求概率为 1260 1 !7 4 = 10、12 件产品按不放回方式抽两次时有1112种抽取法，且每一种取法的概率相等，这 是一个古典概型问题，而第二次抽出次品抽取法有211种，故所求事件概率为 6 1 1112 211 = 11、这可看成是条件概率问题 方法一 设

4、 a 表示第一次取到不合格品，b 表示第二次取到不合格品，所求概率是 ，按条件概率的定义有 )|(baabp )( )( )( )( )|( bap abp bap baabp baabp = 因 910 34 )( =abp， 910 346464 )( + =bap，故所求概率为 5 1 346464 34 )|(= + =baabp 方法二 如果是同时从中任取 2 件 产品， 此时有一件是不合格时共有种取法， 而已知有一件是不合格品时，另一件也是不合格共有种取法，故所求概率为 1 6 1 4 2 4 ccc+ 2 4 c 第 1 章习题解案 总 5 页第 2 页 5 1 1 6 1 4

5、2 4 2 4 = +ccc c 注：此种方法是在缩减的样本空间中考虑条件概率的计算。 12、设点的坐标为，则样本空间 ),(yx 20| ),( 2 xaxyyx= 由条件知这是一个几何概型问题且原点和该点的连线与轴的夹角小于x0 4 的事件 a 为 ,20| ),( 2 xyxaxyyxa= 的面积 2 2 1 as =，a 的面积 22 2 1 4 1 aas a +=，故所求概率为 2 2 2 1 2 1 4 1 )( 2 22 + = + = a aa ap 13、设两艘船到达的时刻分别是x和，则样本空间为y240,240| ),(=yxyx 由实际意义可知这是一个几何概型问题，且有

6、一艘需等待一段时间的事件 a 为 ),( ,12| ),(=yxyxyxa 因的面积，a 的面积 2 24= s)2223( 2 1 24 222 += a s，故所求概率为 121. 0)(= s s ap a 14、不妨设是单位圆，三点 a、b、c 将单位圆周分成yxyx2,三段，于是样本空 间为 2)(20 ,20 ,20| ),(+=yxyxyx 由实际意义知这是几何概型问题，当且仅当三段弧长都小于时，三角形 abc 为锐角三 角形，即三角形 abc 为锐角三角形的事件 a 为 ),( ,)(20 ,0 ,20| ),(+=yxyxyxyxa 因的面积 2 )2( 2 1 =s，a 的

7、面积 2 2 1 = a s，故所求概率为 4 1 )2( 2 1 2 1 )( 2 2 = ap 15、 （1）用全概率公式得他迟到的概率为 15. 004 . 0 12 1 1 . 0 3 1 2 . 0 4 1 3 . 0=+ （2）用贝叶斯公式得所求概率是 2 1 15. 0 4 1 3 . 0 = 16、用 a，b，c 分别表示取出的是一，二，三等品三个事件，则所求概率为 3 2 1 . 01 6 . 0 )(1 )( )(1 )( )( )( )|(= = = = cp ap cp acap cp cap cap 其中利用到=ac，即 a 与 c 互斥。 17、由贝叶斯公式所求概率

8、为 7 3 4 . 002. 06 . 001. 0 6 . 001. 0 = + 18、由条件及加法公式有 )()()()()()()()(abcpbcpacpabpcpbpapcbap+= 第 1 章习题解案 总 5 页第 3 页 16 9 )(3)(3 2 =apap 即 ，得03)(16)(16 2 =+apap 4 1 )(=ap或 4 3 )(=ap（舍） 故 4 1 )(=ap 19、由条件知 9 1 )(=bap，且)()(bapbap= 由)()(bapbap=得：)()(abbpabap=即)()()()(abpbpabpap=推得： )()(bpap= 由独立性，有 9

9、1 )()()(=bpapbap，从而得 3 1 )(=ap，故 3 2 )(1)(=apap 20、设射手的命中率为 p，则由题意得： 81 80 )1(1 4 =p 解之得 3 2 =p 21、设，则由题意得 pap=)( 5904. 0)1(1 4 =p 解之得，在三次独立试验中，事件 a 出现一次的概率是 2 . 0=p 384. 08 .2 . 03)1( 221 3 =0ppc （二）补充题答案（二）补充题答案 1、 （1）类似于本章第 11 题，这里不妨认为是同时取出两件产品，此时取出产品中有一件 是不合格品有种取法，而已知两件中有一件是不合格品，另一件也是不合格品 有种取法，故

10、所求概率为 112 mm mm ccc + 2 m c 12 1 112 2 = + mm m ccc c mm mm m （2）取出产品中有一件是合格品有种取法，而已知两件中有一件是合 格品，另一件是不合格品有种取法，故所求概率为 112 mm m mm ccc + 11 m mm cc 1 2 112 11 + = + mm m ccc cc mm m mm m mm 注：这里采用的是在缩减的样本空间中计算条件概率的方法，且题中“有一件”其意应在 “至少有一件”而不能理解为“只有一件” ，这是因为对另一件是否是不合格还不知道。 2、 （1）这是条件概率，下面考虑在缩减的样本空间中去求，第一

11、、第二次取到正品有 种取法，在此条件下第三次取到次品取法，故所求概率为 18 5 181415 51415 = 注： 上述是将样本空间中的元素看成是三次取完后的结果， 更简单的也可只考虑以第三次 取的结果作为样本空间中的元素，即在第一、第二次取到正品时，第三次取时有 18 种取法， 而在第一次、第二次取到正品时，第三次取次品有 5 种取法，故所求概率为 18 5 （2）此问是要求事件“第一、第二次取到正品，且第三次取到次品”的概率（与（1）不 同的在于这里没有将第一、第二次取到正品作为已知条件，而是同时发生） ，按题意，三次取 产品共有种取法，而第三次才取到次品共有1

12、8192051415种取法，故所求概率为 第 1 章习题解案 总 5 页第 4 页 228 35 181920 51415 = （3）三次取产品共有种取法，第三次取到次品取法，故所求概率 为 4 1 181920 18195 = 注：此问也可用类似于（1）中注的方法去解决，即只考虑以第三次取得的结果作为样本 空间的元素，也可很快求得答案是 4 1 20 5 =。 3、令 a 表示挑选出的是第一箱，)2,1( =ibi表示第i次取到的零件是一等品，则 （1）由全概率公式，有 )()|()()|()( 111 apabpapabpbp+=4 . 0 2 1 30 18 2

13、 1 15 10 =+= （2）用全概率公式有 )()|()()|()( 212121 apabbpapabbpbbp+= 2 1 2930 1718 2 1 4950 910 + = 于是所求条件概率是 4856. 0 4 . 0 2 1 2930 1718 2 1 4950 910 )( )( )|( 1 21 12 = + = bp bbp bbp 4、用 a 表示第一次取到 1 号球，b 表示第二次取到 2 号球，则由全概率公式有 )1( )1( 111 1 1 )()|()()|()( 2 2 + = + = += nn nn n n nnn apabpapabpbp 5、以表示有个

14、孩子，b 表示所有孩子均为同一性别，由全概率公式有 k ak () = = = = += += += = 1 0 1 0 1 0 0 5 . 02 )5 . 0()5 . 0( )()|( )()|()( k k k k k kk k kk k kk pp pp apabpp apabpbp 6、以 a 表示患有癌症，b 表示试验呈阳性，则由贝叶斯公式得 3231. 0 01. 0995. 095. 0005. 0 95. 0005. 0 )|()()|()( )|()( )|(= + = + = abpapabpap bapap bap 7、用 d 表示失业率上升，此题要求，根据题意有)|(

15、),|(),|(dcpdbpdap 2 . 0)|(,2 . 0)|(,8 . 0)|(=cdpbdpadp，则由贝叶斯公式得 9 4 2 1 2 . 0 3 1 2 . 0 6 1 8 . 0 6 1 8 . 0 )|(= + =dap 同理 9 2 )|(=dbp 3 1 )|(=dcp 第 1 章习题解案 总 5 页第 5 页 故总统对三个顾问的理论正确性应分别调整成 3 1 , 9 2 , 9 4 。 8、以分别表示甲、乙、丙击中飞机，)3,2,1( =iai)3,2,1,0( =ibi表示有i个人击中 飞机，c 表示飞机被击落，则 09. 03 . 05 . 06 . 0)()()(

16、)()( 321321 0 =apapapaaapbp 36. 07 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 )()()()( 3 213 2 132 11 =+= +=aaapaaapaaapbp 41. 07 . 05 . 06 . 07 . 05 . 04 . 03 . 05 . 04 . 0 )()()()( 32 1 3 2 1 3 212 =+= +=aaapaaapaaapbp 14. 041. 036. 009. 01)()()(1)( 2103 =bpbpbpbp 则由全概率公式有 458. 014. 0141. 06 . 03

17、6. 02 . 009. 00 )()|()( 3 0 =+= = =i ii bpbcpcp 注：在这里不构成样本空间的划分，因为它们不是两两互斥，可同时发生。 321 ,aaa 9、 （1）次成功之前已经失败了次，表示进行了nmnm+次，第nm+次试验一定成功， 而前面的-1 次试验中有次失败，-1 次成功，从而所求概率为 nm+mn mnnm pp m nm ppp m nm )1( 1 )1( 1 1 + = + （2）令 a 表示n次成功之前已有+1 次失败，m),2,1(niai?=表示次成功之前已有 +1 次失败且第+1 次（即最后一次）失败在第 n mmim+次试验中发生，则可

18、知有 1 )1( 1 )( + + + = mn pp m nm ap 且两两互斥，对事件，它表示在 ni n i aaaa, 1 1 ? = = i a1+nm次试验中，从第次试 验至第试验都成功，第次试验是失败（最后一次失败） ，而前面的-1 次试验 中有m次失败，次成功，于是 1+im 1+nmim+im+ 1i nipp m im pppp m im ap mn inmi i ,2,1,)1( 1 )1()1( 1 )( 1 11 ?= + = + = + + 由于)()()()( 21n apapapap+=?，即 1111 )1( 1 )1( 1 )1()1( 1 + + + +

19、+ = + + mnmnmnmn pp m nm pp m m pp m m pp m nm ? 消去立得结论成立。 1 )1( + mn pp 10、由全概率公式，每台仪器能出厂的概率94. 03 . 08 . 07 . 01=+=p 将每台仪器能否出厂看成是一次试验，则台仪器就是次试验，由于每次试验只有两个 结果：出厂或不出厂，且各次试验相互独立，则这是一个重伯努利概型问题，于是有 nn n （1） n 94. 0= （2） 222 06. 094. 0 = n n c （3） 06. 094. 094. 01 1 = nn n 第 2 章习题答案 总 6 页第 1 页 第二章第二章 随机

20、变量及其概率分布随机变量及其概率分布 （一）基本题解答（一）基本题解答 1.样本空间)6 , 6( ,),1 , 6( ,),6 , 2( ,),2 , 2(),1 , 2(),6 , 1 ( ,),2 , 1 (),1 , 1 (?=v.这里，例如(6,1)表示 掷第一次得 6 点，掷第二次得 1 点.其余类推. 以 x 表示两次所得点数的和.则 x 的分布律为 x 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 pk 36 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 2.由题设， x的可能值为 0， 1， 2， 3. 以表示事件

21、“汽车在第i个路口 遇到红灯” ； a )3 , 2 , 1(=iai 1，a2，a3相互独立，且 . 3 , 2 , 1, 2/1)()(=iapap ii 于是 ;2/1)(2;2/1)(1; 2/1)(0 3 321 2 211 =aaapxpaapxpapxp 3 321 2/1)(3=aaapxp. x 的分布律为： x 0 1 2 3 p i 2 1 4 1 8 1 8 1 3.设“=k”表示前 k 次取出白球，第 k+1 次取黑球，则的分布列为 )., 1 , 0( )() 1( )(1() 1( )(mk knnn mnkmmm kp? ? ? = + = 4.（1）. 3,

22、1 3 5 151515 )( 5 1 5 1 5 1 = = c cccc kxp kkk （2）. 5 3 5 1 31 3 1 = = k xp （3）. 5 2 5 1 5 . 25 . 0 2 1 = = 180 11 8 . 1180 180 ! )8 . 1 ( )99. 0()01. 0( nknk k kkk e k cnxp，这里 =8 . 101. 0180np. 欲使 += = 1 8 . 1 01. 099. 01 ! 8 . 1 nk k e k ，查泊松分布表，可知 n+1=7，因而至少应配备 6 名工人. 第 2 章习题答案 总 6 页第 2 页 9.设=（ =

23、1,2,3） ，则 i a需要调整部件ii,20. 0)(,10. 0)( 21 =apap .30. 0)( 3 =ap 由于a1，a2，a3相互独立，因此，有 ,504. 0)3 . 01 ()2 . 01 () 1 . 01 ()()()()(0 321321 =apapapaaapxp )()()(1 321321321 aaapaaapaaapxp+= =0.10.80.7+0.90.20.7+0.90.80.3=0.398, )()()(2 321321321 aaapaaapaaapxp+=0.092， )()()()(3 321321 apapapaaapxp=0.10.20.

24、3=0.006. 因此，x的概率分布为 x 0 1 2 3 p 0.5040.3980.0920.006 10. f(x)为一阶梯状函数，则x可能取得值为f(x)的跳跃点：1，1，3 即有, 2 . 08 . 01)03()3()3( , 4 . 04 . 08 . 0)01 () 1 () 1(, 4 . 0)01() 1() 1( = = ffxp ffxpffxp x 1 1 3 p 0.4 0.4 0.2 11.（1）由于，所以有1)(lim= + xf x , 1)2/exp(lim 2 =+ + axba x 即=1，又由于x为连 续型随机变量，f(x)应为x的连续函数，应有 a

25、baxbaxfxf xxx +=+= + )2/exp(lim)(lim0)(lim 2 000 所以. 1, 0=+abba 代入之值，得 ba, = . 0, 0 , 0,2/exp1 )( 2 x xx xf （2）对函数f(x)求导，得x的概率密度 = . 0, 2/1 , 0, 2/ )( xe xe xf x x 13由 3 2 = kxp得 3 1 = dxxxxp037. 0)1 (129 . 0 2 1 9 . 0 = dxxxxp 15. ), 200 1 ( ex （1） 200 100 1)100()100( =efxp= 2 1 1 e； （2） 300 200 1

26、)300( =exp= 5 . 1 2 3 = ee. 16.解法1 用随机变量法：令表示第i 次掷骰子出现的点数，i =1,2. 显然x i x 1和x2独立同 分布， 则方程变为.它有重根的充要条件 是，有实根的充要条件是，故 )2 , 1; 6 , 2 , 1(, 6/1=ijjxp i ?0 21 2 =+xxxx 04 2 2 1 = xx04 2 2 1 xx )4, 42, 1(04 12122 2 1 =xxuxxpxxpq4, 42, 1 1212 =+=xxpxxp = 4421 1212 =+=xpxpxpxp=.18/16/16/16/16/1=+ 由全概率公式可 第

27、2 章习题答案 总 6 页第 3 页 得pxxpp=04 2 2 1 4 2 1 2 x x = = = 6 1 1 i pjxpjx x x= 1 2 1 2 4 pxp1 1= = 4 1 2 x+pxp2 1= 4 22 2 x+pxp3 1= 4 32 2 x+pxp4 1= 4 42 2 x pxp5 1= + 4 52 2 0)(=tn. （1）由于t是非负随机变量，可见当t0)(=tn t etnpttpttptf =10)(11)(. 于是，t服从参数为的指数分布. （2） t t t e e e tp tp tp ttp ttpq 5 5 10 5 10 5 5,10 510

28、 = = =. 18.设x为考生的外语成绩，由题设知),(nx，其中=72.现在求2.由题设 ,977. 0) 24 (,023. 0) 24 (1 7296 ,023. 096= = x pxp 由的数值表，可见)(x 24 =2，因此12=.这样xn(72, 122). 所求概率为 = =11 12 7284 12 7260 8460 x p x pxp 682. 01841. 021) 1 (2) 1() 1 (=. 19.（1）;9236. 0)43. 1 () 35 300250 35 300 ()250(= = pp （2）) 3535 300 35 ()( xx pxxp =+=

29、xpap. （1）由题设条件，知()1 . 0 1 =abp，. 于是，由全概 001. 0)|( 2 =abp2 . 0)|( 3 =abp 第 2 章习题答案 总 6 页第 4 页 率公式，有. = = 3 1 0642. 0)|()()( i ii abpapbp （2）由条件概率定义（或贝叶斯公式） ，知009. 0 )( )|()( )|( 22 2 = bp abpap bap. 21.由题设，y其中), 3(pb, 4 1 2)( 2 1 2 1 2 1 0 = =xdxdxxfxpp 故 .64/9)4/3()4/1 (2 122 3 =cyp 22. p 0.3 0.2 0.

30、40.1 2 )2(x 0 2 2 4 x 0 2 2 3 p 0.2 0.7 0.1 2 )2(x 2 0 2 2 4 )2cos(x 1 1 )2cos(x 1 1 11 p 0.7 0.3 23.因为 )., 2 , 1( 34, 1 ,2, 0 , 14, 1 2 sin?= = = = =n nk nk nk k 所以，) 2 sin(xy =只有3个可能取值1，0，1，而取这些值的概率分别为 ,15 2 16/11 1 8 1 2 1 2 1 2 1 11731 1173 = =+=+=+=+=?xpxpxpyp . 15 8 16/11 1 2 1 2 1 2 1 2 1 951

31、1 , 3 1 4/11 1 4 1 2 1 2 1 2 1 6420 95 642 = =+=+=+=+= = =+=+=+=+= ? ? xpxpxpyp xpxpxpyp 于是，) 2 sin(xy =的分布列为 15 8 3 1 15 2 101 . 24. ),2 , 0(ux0)(0=yfy y 时，; 当 , 40 y ;2)()()()()( 2 yyfyxpyxpyypyf xy = . 1)(,4=yfy y 时 故 = , 0 10, 4 1 )( 其它 y y yfy 25.应先求出fy(y)，再对y求导即得fy(y) 因 = . 1, , 1, 0 )( yinyxp

32、 y yepyypyf x y 故当 而 = y x y dxeyxpyfy ln 0 ,ln)(,1时./1)()( 2 yyfyf yy = 因此 = . 11 , 1, 0 )( 2 yy y yfy 第 2 章习题答案 总 6 页第 5 页 26.假设随机变量 x 具有连续的分布函数，证明:)(xf(xfy =在区间（0,1）上服从均匀 分布. 解 先求 y 的分布函数. 因1)(0xf，单调非降. 连续，故)(xfy =的反函数存在. 当时，0y0)()()(=pyxfpyfy， 当时, 10 yyyffyfxpyxfpyfy= )()()()( 11 当时. 1y1)()()(=p

33、yxfpyfy 于是 从而 y 的密度函数为 = . 0,)(ln 2 1 exp 2 1 ; 0, 0 )(2 yy y y yfy （ 2 ） y=2x2+1 的 分 布 函 数1; 0)(,1.12)( 2 =+=yyfyyxpyf yy 当时当时 ， , 2 2 2 1 2 1 2 1 12)( 2 1 2 1 2 1 0 22 2 22 = =+= y y yxx y dxedxe y x y pyxpyf = = . 1, 0 , 1, ) 1(2 1 )( . 1, 2 2 , 1, 0 )( 4 1 2 1 0 2 2 y ye y yfy ydxe y yf y y yx y

34、 的概率密度为故即 （3）xy =的分布函数 .)(yxpyypyfy= ,0; 0)(,0时当时当=yyfy y = y y y y xx y dxedxeyxypyxpyf. 2 2 2 1 )( 22 22 于是，y的概率密度函数为 = . 0, 2 , 0, 0 )()( 2 2 1 ye y yfyf y yy （二）补充题答案（二）补充题答案 1.（1）由条件可知，当时，1x0)(=xf；, 8 1 ) 1(=f . 8 5 4 1 8 1 111=xp 易见，在x的值属于的条件下，事件) 1 , 1() 11(1xxx的条件概率为 . 2/ ) 1(111+=xxxxp 于是，对

35、于, 11x有 16 55 2 1 8 5 1111111,11 + = + = xx xxxpxpxxxpxxp 16 75 16 55 8 1 11)( + = + +=+= xx xxpxpxf. 对于有f（x）=1. 从而 , 1x + = . 11 1116/ )75( 10 )( x xx x xf 若 若 若 第 2 章习题答案 总 6 页第 6 页 （2）x取负值的概率 .16/7)0(0)0(0=fxpfxpp 2用a表示有效，由题设知 ., 2 , 1 , 0, ! 5 )(, ! 3 )(, 4 1 )(, 4 3 )( 53 ?= ke k akxpe k akxpap

36、ap kk 应用贝叶斯公式，得 .8887. 0 0842. 025. 02240. 075. 0 2240. 075. 0 )2()()2()( )2()( )2( + = =+= = = axpapaxpap axpap xap 3.（1）按第一种方式：记为“第 个人承包的20台机器不能及时维修” ，则所 求概率为 易知 i ai)4 , 3 , 2 , 1( =i ).( 4321 aaaap ( )0175. 0)99. 0()01. 0()()( 20 20 2 20 14321 = = kk k k apaaaap （2）按第二种方式：以x表示这80台机器中需要维修的机器的台数，则

37、不能及时维修的 概率为 . ( )0091. 0)99. 0()01. 0()4( 80 80 4 80 = = kk k k xp 从上述计算结果可以看出，还是以第二种方式为好. 因按第二种方式3个人共同维修80 台机器不能及时维修的概率较小. 4. ; 0)(, 0=xfx20 x, );3( 4 1 ) 3 ( 3 8 4 1 0 ) 3 ( 0 ) 3 ( )2( )2( )( 32 3 2 2 2 3 2 2 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 2 xx x x x x x x x x dxxx dxxx dx dydx xf x xx xxx = = = = 1)(,

38、2=xfx. = ., 0 ; 20),2( 4 3 )( 2 其它 故 xxx xf 5. x的分布函数为 = 1, 1 10),0( 0, 0 )( x xxxp x xf 设, 2 . 1),1 , 0),1 , 0, 21 =+ixxxx i 且由题设得 ).()()()()()( 22221111 xxxxpxfxxfxxxxpxfxxf+=+=+=+ 令 ，得 0x).( )()( lim )()( lim)( 2 22 0 11 0 1 xf x xfxxf x xfxxf xf xx = + = + = 从而, 对任意，有，当) 1 . 0(xcxf)( 1 , 0x时，显然0

39、)(= x f; 另一方面 . 1)() 10() 1 ( 1 0 = 第 3 章习题答案 总 8 页第 1 页 第三章 多维随机向量及其概率分布 (一)基本题答案 (一)基本题答案 1、设 x 和 y 的可能取值分别为 . 2 , 1 , 0; 3 , 2 , 1 , 0,=jiji则与 因盒子里有 3 种球，在这 3 种球中任取 4 个，其中黑球和红球的个数之和必不超过 4.另一方面，因白球只有 2 个，任取的 4 个球中，黑球和红球个数之和最小为 2 个，故有 ji与 ? 且 , 42+ji./),( 4 7 4 223 ccccjyixp jiji = 因而 或0),(=jyixp2(

40、+jiji 于是 , 0)0, 0( 1111 =yyxxpp, 0)0, 0( 2112 =yyxxpp .35/1/)0, 0( 4 7 2 2 1 2 0 33113 =ccccyyxxpp 同法可求得联合分布律中其他的pij，得下表 0 1 2 3 0 0 0 4 7 2 2 0 2 2 3 /cccc 4 7 1 2 0 2 3 3 /cccc 1 0 4 7 2 2 1 2 1 3 /cccc 4 7 1 2 1 2 2 3 /cccc 4 7 0 2 1 2 3 3 /cccc 2 4 7 2 2 2 2 0 3 /cccc 4 7 1 2 2 2 1 3 /cccc 4 7 0

41、 2 2 2 2 3 /cccc0 y x 0 1 2 3 0 0 0 3/35 2/35 1 0 6/35 12/35 2/35 2 1/35 6/35 3/35 0 x y 即 2、x 和 y 都服从二项分布，参数相应为(2,0.2)和（2,0.5）.因此 x 和 y 的概率分布分别为 . 04. 032. 064. 0 210 x 25. 05 . 025. 0 210 y 由独立性知，x 和 y 的联合分布为 0 1 2 0 0.16 0.08 0.01 1 0.32 0.16 0.02 2 0.16 0.08 0.01 x y 3、y 的分布函数为显知有四个可能值： ).0(0)()

42、,0(1)(= yyfyeyf y ),( 21 xx ,112, 10, 0).1 , 1 (),0 , 1 (),1 , 0(),0 , 0( 1 21 =eypyypxxp易知 ,212, 10, 1, 02, 11, 0 21 2121 =eeypyypxxpyypxxp ,212, 10, 1 21 21 =eeypyypxxp .22, 11, 1 2 21 =eypyypxxp 于是，可将x1和x2联合概率分布列表如下： 0 1 0 1 1 e 21 ee 1 0 2 e x1pp x2 第 3 章习题答案 总 8 页第 2 页 4、 = = n m mnpnxp 0 ),()(

43、 = = n m mnmn e mnm pp 0 )!( ! )1 ( ()., 2 , 1 , 0( ! 1 ! )1 ( )!( ! ! ! 0 ?=+= = = n n e pp n e pp mnm n n e n n n mnm n m n 即 x 是服从参数为的泊松分布. = = = = mn mnmn mn mmmnmn mn p m ep e mnm pp myp )!( )1 ( !)!( ! )1 ( )( )., 2 , 1 , 0( , ! )( ! )( )1 ( ?= m m ep ee m ep pm p m 即 y 是服从参数为p 的泊 松分布. 5、由定义 f

44、（yx,）=p = xy dxdyyxyyxx.),(, 因为（yx,）是分段函数，要正确计算出 f（yx,） ，必须对积分区域进行适当分块： 等 5 个部分. 10 , 1; 10 , 1; 1, 1; 10 , 10 ; 00xyyxyxyxyx或 （1）对于 有 f（, 00xy 2 1,),(xyxxpyxf=; （5）对于 有 , 1, 1yx1),(=yxf. 故x和y的联合分布函数 =yxyxfyx或 ),(yxf= + xy ts dsdtze 00 )2( )()(2 00 2 00 2ytxs y t x s eedtedse = = )1)(1 ( 2yx ee 即 =

45、., 0 , 0, 0),1)(1 ( ),( 2 其它 yxee yxf yx （2）p()() + x, 0)(,0;)(= + xfxedyexf x x xy x 时 即 = . 0, 0 , 0, )( x xe xf x x （2） 2/11 1 2 1 0 1 21),(1 + +=+ eedyedxdxdyyxfyxp yx x x y 8、 （1） （i）,时， ;),()(计算根据公式 + =dyyxfxf x 0x当时10; 0)(=xxfx当 ()();24 . 224 . 2)2(8 . 4)( 2 0 2 0 xxxydyxyxf x x x =0)(,1=xfx

46、x 时当 第 3 章习题答案 总 8 页第 3 页 即 = ., 0 ; 10),2(4 . 2 )( 2 其它 xxx xfx （ii） 利用公式计算. 当 + =dxyxfyfy),()(; 0)(,0=yfy y 时,10时当 y 1 1 2 ) 2 2(8 . 4)2(8 . 4)( y y y x xydxxyyf = = 2 2 2 1 28 . 4 2 y yy );43(4 . 2) 2 2 2 3 (8 . 4 2 2 yyy y yy+=+=当时， 1y. 0)(=yfy 即 + = .0 ; 10),43(4 . 2 )( 2 其它 yyyy yfy . 8 5 2 1

47、1),(1) 2 1 , 2 1 (1) 2 1 () 2 1 ()2( 1 2 1 2 2 1 2 1 = + dxdydxdxdyyxfyxpyxp 9、本题先求出关于x 的边缘概率密度，再求出其在2=x之值. 由于平面区域 d 的 面积为 )2( x f , 2 1 2 1 =dx x s e d 故（x,y）的联合概率密度为 = ., 0 ;),(, 2 1 ),( 其它 dyx yxf 易知，x 的概率密度为 + = , 0 ,1, 2 1 ),()( 2 其它 ex x dyyxfxfx 故. 4 1 22 1 )2(= = x f 10、 （1）有放回抽取：当第一次抽取到第个数字时，第二次可抽取到该数字仍有十种可能 机会，即为 k ).9 , 1 , 0( 10 1 ?=ikyixp （2）不放回抽取： （i）当第一次抽取第)90( kk个数时，则第二次抽到此（