波利亚的解题理论

1、,波利亚解题理论,没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得我们探究的地方。 美G. 波利亚,*波利亚的生平 *波利亚的数学教育观 *波利亚关于解题的研究,美国著名数学家、教育家。出生于匈牙利的布达佩斯。早在中学时代，就显示出卓越的数学才能，曾先后在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理学和哲学。1912年在布达佩斯获约特沃斯洛伦得大学哲学博士学位。1914年，在苏黎世瑞士联邦理工学院任教,1928年任教授，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，先在布朗大学任教。1942年后一直在斯坦福大学任教。1953年起，任该校退休教授。,波利亚的重要数学著作有怎样解题、不等式(与哈代、李

2、特伍德合著)、数学的发现多卷、数学与猜想多卷、数学分析中的问题和定理(与塞格合著)、数学物理中的等周不等式(与塞格合著)等。,波利亚在众多的数学分支：函数论、变分学、概率论、数论、组合数学以及计算数学和应用数学领域中都颇有建树，共发表200多篇著名论文，以他的名字命名的波利亚计数定理则是近代组合数学的重要工具。波利亚还是杰出的数学教育家，他对数学思维一般规律的研究，堪称是对人类思想宝库的特殊贡献。为了表彰波利亚对数学的杰出贡献，1963年美国数学协会授予他以功勋奖(Distinguished Services Award),1968年美国教育电影图书协会授予他以数学物理最高荣誉奖(Top Ho

3、nor of Mathematics and Physics)。他并先后当选为美国国家科学院院士和法国科学院通讯院士等。,一、波利亚的数学教育观,1、中学数学教育的根本目的：“教会学生思考”； 2、教师教学应遵循学习过程的三个原则： 主动学习：“学东西的最好方式是发现它” 最佳动机：对所学知识的兴趣 循序渐进：探索，阐明，吸收 3、数学教师具备两方面的知识：数学内容知识； 数学教学法知识；,一、波利亚的数学教育观,4、给数学教师的十条建议： 1. 要对所讲的课题有兴趣; 2. 要懂得所讲的课题; 3. 要懂得学习的途径发现; 4. 要观察学生的脸色,弄清他们的期望和困难, 置身于他们之中; 5

4、. 不仅要传授知识,而且要教给学生才智,思维的方式和工作习惯; 6. 要让他们学习猜测; 7. 要让他们学习证明; 8. 要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征; 9. 不要立即吐露你的全部秘密让学生在你说出来之前先去猜,尽量让他们自己找出来; 10. 要建议,不要强迫别人去接受.,二、波利亚关于解题的研究,解题过程分为以下四个阶段: 1. 弄清问题 2. 拟订计划 3. 实现计划 4. 回顾,1 、弄清问题 （1）未知数是什么?已知数据是什么？条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? （2）画张图,并引入适当的符号. （3）把

5、条件的各部分分开,并把它们写下来.,2、拟定计划 （1）考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道一个可能用得上的定理? （2）考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. （3）能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素? （4）能否用不同的方法重新叙述它? （5）回到定义去. （6）如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题. （7）是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?,3. 实现计划 （1）实现你的求解计划,检验每一步骤. （2）你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确

6、的?,4、回顾 （1）能否检验这个论证? （2）你能否用别的方法导出结果? （3）能不能一下子看出它来? （4）能不能把这结果或方法用于其他问题?,例 在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，点P为ABC内切圆上的一个动点求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值和最大值,解题过程： 第1弄清问题 条件(已知)： (1) c=10； (2) cosA/cosB=b/a=4/3 ； (3)点P为ABC内切圆上的动点 问题(未知)： 求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值和最大值,第2拟订计划 回忆原来有没有见过同类问题(没有)，但见过相

7、关的问题： (1)已知三角形的某些边角关系，判断三角形的形状、解三角形等(知三求一，已知的三个边角元素中至少有一个是边)，题目基本符合 (2)如果三角形可以确定，那么此题就是求这个三角形的某个特征曲线上的动点到三个顶点的距离的平方和的最值问题,第4回顾 （1）在方法上，本题是使用“解析法”解决三角问题的一个成功案例. （2）在数学思想上，本题是数形结合数学思想的一个成功应用. （3）在基础知识的使用上，本题主要用到了“余弦定理”、“勾股定理”、“参数方程”和“三角函数的性质”等.,波利亚解题过程的四个阶段: 1. 弄清问题认识、并对问题进行表征的过程 ，是成功解决问题的一个必要前提 2. 拟订计划是探索解题思路的发现过程，是关键环节和核心内容。 3. 实现计划是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心” 4. 回顾是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作。为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法 .,值得注意的四个方面 (1)只要学生按照这个过程去寻找解法，久而久之，不仅可以提高解题能力，而且还可以养成规范的思维习惯并不是所有的题目都要像表中那样“面面俱到” (2)解题教学中，在教给学生学习方法