-现代控制理论-刘豹第三版-第三章

1、3.1 能控性的定义,3.2 线性定常系统的能控性判别,3.3 线性连续定常系统的能观性,3.4 离散时间系统的能控性与能观性,3.5 时变系统的能控性与能观性,3.6 能控性与能观性的对偶关系,3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型,3.8 线性系统的结构分解,3.9 传递函数阵的实现问题,3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观 性之间的关系,3.1 能控性的定义,1线性连续定常系统的能控性定义,线性连续定常系统：,如果存在一个分段连续的输入 ，能在有限时间区间 内，使系统由某一初始状态 ，转移到指定的任一终端状态工 ，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此

2、系统是状态完全能控的， 或简称系统是能控的。,几点说明：,1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻 ，初始状态为 ，而任意终端状态就指定为零状态。即,2)也可以假定 =0，而工 为任意终端状态，换句话说，若存在一个无约束控制作用 ，在有限时间 内，能将 由零状态驱动到任意 。在这种情况下，称为状态的能达性。,3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一的，因为我们关心的只是它能否将 驱动到 ，而不计较 的轨迹如何。,2线性连续时变系统的能控性定义,线性连续时变系统：,3离散时间系统,这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：,3.2 线性定常系统的能控性判别,3.

3、2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别,1单输入系统,具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：,线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型 ，再根据 阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定其能控性。,(1),为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以 剖析。,1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为：,2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为：,3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素 却为0，其微分子方程组为：

4、,2具有一般系统矩阵的多输入系统,系统的状态方程为：,(12),3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性,1单输入系统,线性连续定常单输入系统：,其能控的充分必要条件是由 A、b 构成的能控性矩阵：,满秩，即 。否则，当 时，系统为不能控的。,2多输入系统,对多输入系统，其状态方程为：,其能控的充分必要条件是矩阵：,式中,B 为 阶矩阵； 为 r 维列矢量。,的秩为 。,(14),(15),3.3 线性连续定常系统的能观性,3.3.1能观性定义,能观性所表示的是输出 反映状态矢量 的能力，与控制 作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输 出方程出发，即,如果对任意给定的输

5、入 ，在有限观测时间 ,使得根据 期间的输出 能唯一地确定系统在初始时刻的状态 ，则称状态 是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完 全能观测的，或简称是能观的。,(1),3.3.2 定常系统能观性的判别,定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的 C 阵，判别其能观性，另一种方法是直接根据 A 阵和 C 阵进行判别。,1转换成约旦标准型的判别方法,线性时不变系统的状态空问表达式为：,现分两种情况叙述如下：,(1)A为对角线矩阵,(2),这时式(2)用房承租形式表示，可有：,(3),(4),从而可得

6、结构图如图所示。将式(3)带入输出方程式(4)，得：,(2)A 为约旦标准型矩阵,以三阶为例：,这时，状态方程的解为：,由式(5)可知，当且仅当输出矩阵C中第一列元素不全为零时，y( t ) 中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。,2直接从A、C阵判断系统的能观性,约旦标准型 系统具有串联型 的结构，如图所示：,3.4 离散时间系统的能控性与能观性,3.4.1 能控性矩阵 M,离散时间系统的状态方程如下：,(1),3.4.2 能观性矩阵N,离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。,式中, 为 维列矢量；C 为 输出矩阵，其余同式(6)。,(2),当系统为单输入系统时，式中 为标量控制

7、作用控制阵 为 维列矢量；G为系统矩阵 ； 为状态矢量 。,根据3.3节中能观性定义，如果知道有限采样周期内的输出 ，就能唯一地确定任意初始状态矢量 ，则系统是完全能观的，现根据此定义推导能观性条件。从式(1)，有：,若系统能观，那么在知道 时，应能确定出 ， ，现从式(7)可得：,(3),写成矩阵形式：,有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于 。这个系数矩阵称为 能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即,(4),(5),3.5 时变系统的能控性与能观性,3.5.1 能控性判别,1.有关线性时变系统能控性的几点说明,这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。,3)根据能控性定义，可以导出

8、能控状态和控制作用之问的关系式。,4)非奇异变换不改变系统的能控性。,2)定义中的 ，是系统在允许控制作用下，由初始状态 转移到 目标状态(原点)的时刻。,1)定义中的允许控制 ，在数学上要求其元在 区间是 绝对平方可积的，即,5)如果 是能控状态，则 也是能控状态， 是任意非零实数。,7)由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成 状态空间中的一个子空间。此子空间称为系统的能控子空间， 记为 。,6)如果 和 是能控状态，则 也必定是能控状态。,2线性连续时变系统的能控性判别,时变系统的状态方程如下：,为非奇异的。,系统在 上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵,为非奇异的

9、。,(1),(2),3.5.2 能观性判别,1有关线性时变系统能观性的几点讨论,2)根据不能观测的定义，可以写出不能观测状态的数学表达式：,这是一个很重要的关系式，下面的几个推论都是由它推证出来的。,3)对系统作线性非奇异变换，不改变其能观测性。,5)如果 和 都是不能观的，则 也是不能观的。,1)时间区间 是识别初始状态 所需要的观测时间，对时变系统来说，这个区问的大小和初始时刻 的选择有关。,4)如果 是不能观测的， 为任意非零实数，则 也是不能观 测的。,6)根据前面分析可以看出，系统的不能观测状态构成状态空间的一个子,(3),2线性连续时变系统能观性判别,为非奇异的。,在 上状态完全能

10、观测的充分必要条件是格拉姆矩阵,3.5.3 连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的 判别法之间的关系,(5),众所周知，一个矩阵：,因此，有 这个矩阵的列矢量线性无关与 非 奇异等价。,式中， 为列矢量，当且仅当由 构成的格拉姆矩阵 为非奇异时， 列矢量是线性无关的。现在,3.6 能控性与能观性的对偶关系,能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。,3.6.1 线性系统的对偶关系,有两个系统，一个系统 为：,另一个系统 ：为：,若满足下述条件

11、，则称 与 是互为对偶的。,式中， 为 维状态矢量； 各为r与m维控制矢量； 各为 与 维输出矢量； 为 系统矩阵； 各为， 与 ， 维控制矩阵； 各为 与 维输出矩阵。,3.6.2 对偶原理,3.6.3 时变系统的对偶原理,时变系统的对偶关系和定常系统稍有不同，且其对偶原理的证明也复 杂得多。,对偶原理是现代控制理论中一个十分重要的概念，利用对偶原理可以 把系统能控性分析方面所得到的结论用于其对偶系统，从而很容易地得到 其对偶系统能观性方面的结论。,系统 和 是互为对偶的两个系统， 则 的能控性等价于 的能观性， 的能观性等价于 的能控性。或者说，若 是状态完全能控的(完全能观的)，则 是状

12、态完全能观的(完 全能控的)。,3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型,3.7.1 单输入系统的能控标准艰,如果系统是状态完全能控的，即满足：,对于一般的 维定常系统：,1能控标准 型,(1),若线性定常单输入系统：,是能控的，则存在线性非奇异变换：,(2),(3),使其状态空间表达式(1)化成：,(4),称形如式(4)的状态空间表达式为能控标准 型。其中 ， 为特征多项式：,的各项系数。,若线性定常单输入系统：,2.能控标准 型,(6),相应的状态空间表达式(6)转换成：,(7),是能控的，则存在线性非奇异变换：,(8),(10),(11),并称形如式(8)的状态空间表达式为能控标准

13、 型。,式(9)中的 是系统特征多项式：,的各项系数，亦即系统的不变量。,式(11)中的是 相乘的结果，即：,(12),3.7.2 单输出系统的能观标准型,与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即 有：,系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。,若线性定常系统：,是能观的，则存在非奇异变换：,(13),(14),1能观标准 型,状态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准 型和能观标 准 型，它们分别与能控标准 型和能控标准 型相对偶。,使其状态空间表达式(13)化成：,(15),(17),(18),取变换阵 ：,直接验证，或者用对偶原理来证明。证明过程如下：,首先构

14、造 的对偶系统,然后写出对偶系统 的能控标准 型，的状态空间表达式的能观标准 型即是 的能控标准 型，即,(19),的能控标准I型对应的系数阵；,2能观标准 型,(20),若线性定常单输出系统：,是能观的，则存在非奇异变换,式中， 为系统 的能控标准II型对应的系数阵；,(21),使其状态空问表达式(20)变换为：,(22),(24),(25),称形如式(22)的状态空间表达式为能观标准 型。,3.8 线性系统的结构分解,3.8.1 按能控性分解,设线性定常系统,(1),是状态不完全能控，其能控性判别矩阵：,的秩,则存在非奇异变换：,(2),将状态空间表达式(1)变换为：,(3),(5),(6

15、),可以看出，系统状态空间表达式变换为式(3)后，系统的状态空间就被分解成能控的和不能控的两部分，其中 维子空问：,是能控的，而 维子系统：,是不能控的。对于这种状态结构的分解情况如图所示，因为 对 不起作用， 仅作无控的自由运动。显然，若不考虑 维子系统，便 可得到一个低维的能控系统。,至于非奇异变换阵：,(7),其中 个列矢量可以按如下方法构成，前 个列矢量 是 能控性矩阵M中的 个线性无关的列，另外的 个列 在 确保 为非奇异的条件下，完全是任意的。,3.8.2 按能观性分解,设线性定常系统：,其状态不完全能观的，其能观性判别矩阵,的秩,(8),则存在非奇异变换：,(9),将状态空间表达

16、式(8)变换为：,(10),(12),(13),可见，经上述变换后系统分解为能观的 ，维子系统：,结构图如下。显然，若不考虑 维不能观测的子系统，便得到一个 。维的能观系统。,和不能观的 ，维子系统：,非奇异变换阵 是这样构成的，取,(14),3.8.3 按能控性和能观性进行分解,1)如果线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对该系统同时按能 控性和能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、 不能控能观、不能控不能观四部分。当然，并非所有系统都能分解成有这 四个部分的。,2)变换矩阵R确定之后只需经讨一次变换便可对系统同时按能控性 和能观性进行结构分解但是R阵的构造需要涉及较多

17、的线性空间概念。,3)结构分解的另一种方法：先把待分解的系统化约旦标准型，然后按 能空判别法则和能管判别个状态变量的能控型和能观性，最后按能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类排列，即可组成 相应的子系统。,3.9 传递函数阵的实现问题,3.9.1 实现问题的基本概念,对于给定传递函数阵 W(s)，若有一状态空间表达式：,则称该状态空间表达式为传递函数阵W(s)的一个实现。,使之成立,3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现,(1),3.7节已经介绍，对于一个单输入单输出系统，一旦给出系统的传递函数，便可以直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。本节介绍如何将 这些标准

18、型实现推广到多输入多输出系统。为此，必须把 维的传递函,数阵写成和单输入单输出系统的传递函数相类似的形式，即,式中， 为 维常数阵；分母多项式为该传递 函数阵的特征多项式。,显然W(s)是一个严格真有理分式的矩阵，且当 时，W(s)对 应的就是单输入单输出系统的传递函数。,(2),对于式形式的传递函数阵的能控标准型实现为：,(3),(4),(5),与此类推，其能观标准型实现为：,(6),(7),(8),式中， 和 。为 阶零矩阵和单位矩阵； 为输入矢量的维数。,3.9.3最小实现,1.最小实现的定义,传递函数W(s)的一个实现：,如果W(s)不存在其它实现：,(9),(10),使 的维数小于 的维数，则称式(9)的实现为最小实现。,2.寻求最小实现的步骤,传递函数阵W(s)的一个实现：,为最小实现的充分必要条件是(A，B，C)既是能控的又是能观的：,这个定理的证明从略。根据这个定理可以方便的确定任何一一个具有严格的真有理分式的传递函数阵W(s)的最小实现。一般可以按照如下步骤来进行。,1)对给定传递函数阵W(s)，先初选出一种实现(A，B，C)：通常最方便的是选取能控标准型实现或能观标准型实现。,2)对上面初选的实现 ( A，B，C )，找出其完全能控且完全能观部分 ，于是这个能控能观部分就是W(s)的最小实现。,3.1