函数的奇偶性（一）课件

1、1.3.2 函数的奇偶性,引 例,1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象,解:,f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-2)=f(2),f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-1)=f(1),f(-x)=(-x)2=x2 f(-x)=f(x),思考 :(1)这个函数图象有什么特征吗？ (2)从解析式上如何体现上述特征？,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.,1. 偶函数的概念,2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2), f(-

2、1),f(1)及f(-x),解:,f(-2)=(-2)3=-8, f (2)=8 f(-2)= - f(2),f(-1)=(-1)3=-1, f(1)=1 f(-1)= - f(1),f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=- f(x),(-x,-y),(x,y),如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.,2.奇函数的概念,如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.,(1)奇、偶函数定义的反过来也成立,即若f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立.若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x)

3、 成立.,(2)判断函数是否具有奇偶性.首先要看函数的定义域是否关于原点对称,即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提,注意事项,(3) 函数的奇偶性是函数的整体性质;而函数的单调性是函数的局部性质.,例1.判断下列函数的奇偶性,定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数。,（2）函数 是定义在 上的偶函数,则该函数的值域是_.,定义域对称的非零常数函数仅是偶函数,而零函数既是奇函数又是偶函数.,3.奇偶函数图象的性质:,(2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数,奇偶函数图象的性质可用于： 判断函数的奇偶性. 简化函数图象的画

4、法,(1)奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.,知识探究,思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶函数？若存在，这样的函数有何特征？有多少个？,f(x)=0,思考2:若f(x)是在原点有意义的奇函数，那么 f(0)的值如何？,f(0)=0,思考3:复合函数奇偶性如何？,例2. 判断下列函数的奇偶性,(1) f(x)=x3+2x； (2) f(x)=2x4+3x2；,解:,f(-x)=(-x)3+2(-x),= -x3-2x,= -(x3+2x),= - f(x)，,f(x)为奇函数,f(-x)=2(-x)4+3(-x)2,=2x4+3x2

5、,f(x)为偶函数,函数定义域为R,解:,函数定义域为R,= f(x)，,(4) f(x)=x+1,根据奇偶性, 函数可划分为四类:,奇函数;偶函数; 既奇又偶函数; 非奇非偶函数.,解:函数定义域为R f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1, f(-x)f(x),且f(-x) f(x). f(x)为非奇非偶函数.,解:函数定义域为 0 ,+) 定义域不关于原点对称， f(x)为非奇非偶函数,判定函数的奇偶性的步骤： (1)先求函数的定义域； 若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数. 若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步; (2)计算f(x)化向 f ( x )

6、的解析式； 若等于 f ( x ),则函数是偶函数, 若等于f ( x ),则函数是奇函数, 若不等于 ,则函数是非奇非偶函数 (3)结论.,有时判定f(-x)=f(x)比较困难,可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=1.,练习：判断下列函数的奇偶性,f(x)为奇函数.,解:定义域为x|x0,即 f(-x)= - f(x),(2)f(x)=5,解:f(x)的定义域为R. f(-x)=f(x)=5,f(x)为偶函数.,(4)f(x)=|x+1|-|x-1|,f(x)既是偶函数, 又是奇函数.,解:函数的定义域为-1,1,例3.已知f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x22x,求当 x0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x)的图象.,解:f(x)是奇函数,f(-x)=f(x).,当x0时,f(x)=x22x,当x0时,-x0,f(-x) = (-x)2-2(-x) = x2+2x,即 -f(x)= (x2+2x), f(x)=-x2-2x.,复习回顾,1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数. 如果都有f(-x)=f(x) f(x)为偶函数.,一个函数为奇函数它的图象关于原点对称.,一个