2012年辽宁省高考数学试卷（理科）

1、2012年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集U=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，集合A=0，1，3，5，8，集合B=2，4，5，6，8，则（UA）（UB）=（）A5，8B7，9C0，1，3D2，4，62（5分）复数=（）ABCD3（5分）已知两个非零向量，满足|+|=|，则下面结论正确的是（）ABC|=|D+=4（5分）已知命题p：x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0，则p是（）Ax1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0Bx1，x2R，（f（x2）f（x1）（x

2、2x1）0Cx1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0Dx1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）05（5分）一排9个座位坐了3个三口之家若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A33!B3（3!）3C（3!）4D9!6（5分）在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A58B88C143D1767（5分）已知sincos=，（0，），则tan的值是（）A1BCD18（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A20B35C45D559（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A1BCD410（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C

3、现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）ABCD11（5分）设函数f（x）（xR）满足f（x）=f（x），f（x）=f（2x），且当x0，1时，f（x）=x3又函数g（x）=|xcos（x）|，则函数h（x）=g（x）f（x）在上的零点个数为（）A5B6C7D812（5分）若x0，+），则下列不等式恒成立的是（）Aex1+x+x2BCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为14（5分）已知等比数列an为递增数列，且a52=a10，2（an+an+2）=5an+1，则数列an的通项公式an=1

4、5（5分）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为16（5分）已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c角A，B，C成等差数列（）求cosB的值；（）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值18（12分）如图，直三棱柱ABCABC，BAC=90，AB=AC=AA，点M，N分别为AB和BC的中点（）证明：MN平面AACC；（）若二面角

5、AMNC为直二面角，求的值19（12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”（）根据已知条件完成下面22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计（）将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）P（ K2k）

6、0.050.01k3.8416.63520（12分）如图，已知椭圆C0：，动圆C1：点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点（）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（）设动圆C2：与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，证明：为定值21（12分）设f（x）=ln（x+1）+ax+b（a，bR，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切（I）求a，b的值；（II）证明：当0x2时，f（x）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答是用2B铅笔在答题卡上

7、把所选题目对应题号下方的方框涂黑22（10分）选修41：几何证明选讲如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交O于点E证明：（）ACBD=ADAB；（）AC=AE23选修44：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x2）2+y2=4（）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（）求圆C1与C2的公共弦的参数方程24选修45：不等式选讲已知f（x）=|ax+1|（aR），不等式f（x）3的解集为x|2x1（）求a的值；（）若恒成立，求k的

8、取值范围2012年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2012辽宁）已知全集U=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，集合A=0，1，3，5，8，集合B=2，4，5，6，8，则（UA）（UB）=（）A5，8B7，9C0，1，3D2，4，6【分析】由题已知全集U=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，集合A=0，1，3，5，8，集合B=2，4，5，6，8，可先求出两集合A，B的补集，再由交的运算求出（UA）（UB）【解答】解：由题义知，全集U=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9

9、，集合A=0，1，3，5，8，集合B=2，4，5，6，8，所以CUA=2，4，6，7，9，CUB=0，1，3，7，9，所以（CUA）（CUB）=7，9故选B2（5分）（2012辽宁）复数=（）ABCD【分析】进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，再进行复数的乘法运算，化成最简形式，得到结果【解答】解：=，故选A3（5分）（2012辽宁）已知两个非零向量，满足|+|=|，则下面结论正确的是（）ABC|=|D+=【分析】由于|和|表示以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，再由|+|=|可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，从而得出结论【解答】解：由两个两个向量的

10、加减法的法则，以及其几何意义可得，|和|表示以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度再由|+|=|可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，故有故选B4（5分）（2012辽宁）已知命题p：x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0，则p是（）Ax1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0Bx1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0Cx1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0Dx1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照

11、选项即可得出正确选项【解答】解：命题p：x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故p：x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0故选：C5（5分）（2012辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A33!B3（3!）3C（3!）4D9!【分析】完成任务可分为两步，第一步，三口之家内部排序，第二步，三家排序，由分步计数原理计数公式，将两步结果相乘即可【解答】解：第一步，分别将三口之家“捆绑”起来，共有3！3！3！种排法；第二步，将三个整体排列顺序，共有3！种排法故不同的作法种数为3！3！3！3！=3!4故选

12、 C6（5分）（2012辽宁）在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A58B88C143D176【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11= 运算求得结果【解答】解：在等差数列an中，已知a4+a8=16，a1+a11=a4+a8=16，S11=88，故选B7（5分）（2012辽宁）已知sincos=，（0，），则tan的值是（）A1BCD1【分析】由条件可得 12sincos=2，求得sin2=1，可得2的值，从而求得tan 的值【解答】解：已知，12sincos=2，即sin2=1，故2=，=，tan=1故选：A8（5分）

13、（2012辽宁）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A20B35C45D55【分析】先画出满足约束条件 的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案【解答】解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3yz=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D9（5分）（2012辽宁）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A1BCD4【分析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当i=99

14、，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可【解答】解：第1次判断后循环，S=1，i=2，第2次判断后循环，S=，i=3，第3次判断后循环，S=，i=4，第4次判断后循环，S=4，i=5，第5次判断后循环，S=1，i=6，第6次判断后循环，S=，i=7，第7次判断后循环，S=，i=8，第8次判断后循环，S=4，i=9，第9次判断不满足98，推出循环，输出4故选D10（5分）（2012辽宁）在长为12cm的线段AB上任取一点C现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）ABCD【分析】设AC=x，则0x12，若矩形面积为小于32，则x8或x4，从而利用几何概

15、型概率计算公式，所求概率为长度之比【解答】解：设AC=x，则BC=12x，0x12若矩形面积S=x（12x）32，则x8或x4即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm2的概率为P=故选 C11（5分）（2012辽宁）设函数f（x）（xR）满足f（x）=f（x），f（x）=f（2x），且当x0，1时，f（x）=x3又函数g（x）=|xcos（x）|，则函数h（x）=g（x）f（x）在上的零点个数为（）A5B6C7D8【分析】利用函数的奇偶性与函数的解析式，求出x0，x时，g（x）的解析式，推出f（0）=g（0），f（1）=g（1），g（）=g（）=0，

16、画出函数的草图，判断零点的个数即可【解答】解：因为当x0，1时，f（x）=x3所以当x1，2时2x0，1，f（x）=f（2x）=（2x）3，当x0，时，g（x）=xcos（x），g（x）=cos（x）xsin（x）；当x时，g（x）=xcosx，g（x）=xsin（x）cos（x）注意到函数f（x）、g（x）都是偶函数，且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，f（）=f（）=，f（）=（2）3=，g（）=g（）=g（）=0，g（1）=1，g（1）=10，根据上述特征作出函数f（x）、g（x）的草图，函数h（x）除了0、1这两个零点之外，分别在区间，0，0，1，1，上各有一个零点共有6个零

17、点，故选B12（5分）（2012辽宁）若x0，+），则下列不等式恒成立的是（）Aex1+x+x2BCD【分析】对于A，取x=3，e31+3+32，；对于B，令x=1，计算可得结论；对于C，构造函数，h（x）=sinx+x，h（x）=cosx+10，从而可得函数在0，+）上单调增，故成立；对于D，取x=3，【解答】解：对于A，取x=3，e31+3+32，所以不等式不恒成立；对于B，x=1时，左边=，右边=0.75，不等式成立；x=时，左边=，右边=，左边大于右边，所以x0，+），不等式不恒成立；对于C，构造函数，h（x）=sinx+x，h（x）=cosx+10，h（x）在0，+）上单调增h（x）

18、h（0）=0，函数在0，+）上单调增，h（x）0，；对于D，取x=3，所以不等式不恒成立；故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）（2012辽宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为38【分析】通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可【解答】解：由三视图可知，几何体是底面边长为4和3高为1的长方体，中间挖去半径为1的圆柱，几何体的表面积为：长方体的表面积+圆柱的侧面积圆柱的两个底面面积即S=2（34+13+14）+21212=38故答案为：3814（5分）（2012辽宁）已知等比数列an为递增数列，且a52=a10，2（an+an+2）=

19、5an+1，则数列an的通项公式an=2n【分析】通过，求出等比数列的首项与公比的关系，通过2（an+an+2）=5an+1求出公比，推出数列的通项公式即可【解答】解：，a1=q，2（an+an+2）=5an+1，2（1+q2）=5q，解得q=2或q=（等比数列an为递增数列，舍去）故答案为：2n15（5分）（2012辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为4【分析】通过P，Q的横坐标求出纵坐标，通过二次函数的导数，推出切线方程，求出交点的坐标，即可得到点A的纵坐标【解答】解：因为点P，Q的横坐标分别为4，

20、2，代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2由x2=2y，则y=，所以y=x，过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y=4x8，y=2x2 联立方程组解得x=1，y=4 故点A的纵坐标为4故答案为：416（5分）（2012辽宁）已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算【解答】解：正三棱锥PABC，PA，PB，PC两两垂直，此正三

21、棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，圆O的半径为，正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥PABC的体积V=SABCh=SPABPC=222=ABC为边长为2的正三角形，SABC=h=正方体中心O到截面ABC的距离为=故答案为 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）（2012辽宁）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c角A，B，C成等差数列（）求cosB的值；（）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值【分析】（）在ABC中，由角A，B，C成等差

22、数列可知B=60，从而可得cosB的值；（）（解法一），由b2=ac，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；（解法二），由b2=ac，cosB=，根据余弦定理cosB=可求得a=c，从而可得ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值【解答】解：（）由2B=A+C，A+B+C=180，解得B=60，cosB=；6分（）（解法一）由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，又cosB=，sinAsinC=1cos2B=12分（解法二）由已知b2=ac及cosB=，根据余弦定理cosB=解得a=c，B=A=C=60，sinAsinC=12分18（12分）（20

23、12辽宁）如图，直三棱柱ABCABC，BAC=90，AB=AC=AA，点M，N分别为AB和BC的中点（）证明：MN平面AACC；（）若二面角AMNC为直二面角，求的值【分析】（I）法一，连接AB、AC，说明三棱柱ABCABC为直三棱柱，推出MNAC，然后证明MN平面AACC；法二，取AB的中点P，连接MP、NP，推出MP平面AACC，PN平面AACC，然后通过平面与平面平行证MN平面AACC（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA为x，y，z轴，建立直角坐标系，设AA=1，推出A，B，C，A，B，C坐标求出M，N，设=（x1，y1，z1）是平面AMN的法向量，通过，取，设=（x2，y

24、2，z2）是平面MNC的法向量，由，取，利用二面角AMNC为直二面角，所以，解【解答】（I）证明：连接AB、AC，由已知BAC=90，AB=AC，三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以M为AB中点，又因为N为BC的中点，所以MNAC，又MN平面AACC，因此MN平面AACC；法二：取AB的中点P，连接MP、NP，M、N分别为AB、BC的中点，所以MPAA，NPAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC，又MPNP=P，因此平面MPN平面AACC，而MN平面MPN，因此MN平面AACC（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，设AA=1，则AB=AC=

25、，于是A（0，0，0），B（，0，0），C（0，0），A（0，0，1），B（，0，1），C（0，1）所以M（），N（），设=（x1，y1，z1）是平面AMN的法向量，由，得，可取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，得，可取，因为二面角AMNC为直二面角，所以，即3+（1）（1）+2=0，解得=19（12分）（2012辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”（）根据已知条件完成下面22列联表，并据此资

26、料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计（）将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）P（ K2k）0.050.01k3.8416.635【分析】（I）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与3.841比较即可得出结论；（II）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由于XB（3，），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可【解答】解：（

27、I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算，得：K2=3.03，因为3.033.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关（II）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率是0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由题意XB（3，），从而分布列为X0123P所以E（X）=np=3=D（X）=npq=3=20（12分）（2012辽宁）如图，已知椭圆C0：，动圆C1：点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点（

28、）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（）设动圆C2：与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，证明：为定值【分析】（）设出线A1A的方程、直线A2B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆C0上，化简即可得到M轭轨迹方程；（）根据矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，可得A，A坐标之间的关系，利用A，A均在椭圆上，即可证得=a2+b2为定值【解答】（）解：设A（x1，y1），B（x1，y1），A1（a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为直线A2B的方程为y=（xa）由可得：A（x1，y1）在椭圆C0上，代入可得：；（）证明：设

29、A（x3，y3），矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等4|x1|y1|=4|x3|y3|=A，A均在椭圆上，=t1t2，x1x3，=a2+b2为定值21（12分）（2012辽宁）设f（x）=ln（x+1）+ax+b（a，bR，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切（I）求a，b的值；（II）证明：当0x2时，f（x）【分析】（I）由y=f（x）过（0，0），可求b的值，根据曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切，利用导函数，可求a的值；（II）由（I）知f（x）=ln（x+1）+，由均值不等式，可得，构造函数k（x）=ln（x+1）x，可得ln（x+1）x，从而当x0

30、时，f（x），记h（x）=（x+6）f（x）9x，可证h（x）在（0，2）内单调递减，从而h（x）0，故问题得证【解答】（I）解：由y=f（x）过（0，0），f（0）=0，b=1曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切y|x=0=a=0；（II）证明：由（I）知f（x）=ln（x+1）+由均值不等式，当x0时，令k（x）=ln（x+1）x，则k（0）=0，k（x）=，k（x）0ln（x+1）x，由得，当x0时，f（x）记h（x）=（x+6）f（x）9x，则当0x2时，h（x）=f（x）+（x+6）f（x）9=h（x）在（0，2）内单调递减，又h（0）=0，h（x）0当0x2时，f（x）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑22（10分）（2012辽宁）选修41：几何证明选讲如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交O于点E证明：（）ACBD=ADAB；（）AC=AE【分析】（I）利用圆的切线的性质得CAB=