第二章 1控制系统的数学模型

1、,自动控制理论,电 子 教 研 室,反馈控制的系统基本组成,串联校正,数学模型,引 言,什么是控制系统的 ？,描述系统内部物理量（或各变量）之间关系的数学表达式。,在经典控制理论中，一般指系统的输出量、输入量以及它们的各阶导数之间关系的数学表达式。也称为系统的动态特性方程。,深入了解系统的动态特性，准确建立它们的数学模型称建模。,任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。,引 言,建立控制系统数学模型的方法 ：,机理分析法,实验辨识法

2、,对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。,引 言,分析法建立系统数学模型的几个步骤：,建立物理模型。 列写原始方程。利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等） 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。,引 言,建立控制系统数学模型的方法 ：,实验法：,人为给系统施加某种测试信号，测量并记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法也称为系统辨识。,输入（已知）,输出（测量）,引 言,数学模型的表示形式：,引 言,第一节 控制系统的时域数学

3、模型,一、线性系统的微分方程,例1：如图所示，电路由电阻R、电感L和电容C组成无源网络，试列写以ur(t)为输入量，以uc(t)为输出量的网络微分方程。,解：,设回路电流为i(t) ，由KVL列写回路方程为,消去中间变量i(t),第一节 控制系统的时域数学模型,二阶线性微分方程,第一节 控制系统的时域数学模型,例2：如图所示为一弹簧阻尼系统，图中质量为m的物体受到外力F的作用，产生位移y，求该系统的输入-输出描述。,第一节 控制系统的时域数学模型,据牛顿第二定律：,列写系统微分方程的步骤：,1、 分析系统：确定哪些是输入，哪些是输出。,2、 根据运动机理，列写每一个元件的运动方程。,3、消去中

4、间变量，求出只含有输入， 输出量及各阶导数之间关系的微分方程，并化成标准形式。即输出在左输入在右按降幂排列。,第一节 控制系统的时域数学模型,第一节 控制系统的时域数学模型,描述线性定常系统微分方程：,二、线性系统的性质,线性系统的重要性质是可以应用叠加原理，即具有可叠加性和均匀性。,设有线性微分方程为：,第一节 控制系统的时域数学模型,当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为c1(t),当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为c2(t),则当f(t)=f1(t)+ f2(t)时，方程的解必为 c(t)=c1(t)+ c2(t),当f(t)=Af1(t)时，A为常数，则方程的解为 c(t) =

5、A c1(t),可叠加性,均匀性,第一节 控制系统的时域数学模型,两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。,结论：,第一节 控制系统的时域数学模型,三 、线性定常微分方程的求解,求解方法：经典法、拉氏变换法、借助计算机求解,第一节 控制系统的时域数学模型,解：,第一节 控制系统的时域数学模型,取拉氏变换：,第一节 控制系统的时域数学模型,若初始UC(0)=0，则：,即：,进行拉氏逆变换:,零输入响应(U0=0),零状态响应 （Uc(0)=0）,暂态响应,稳态响应,网络的响应=零状态响应+零输入响应

6、,结论：,网络的响应=稳态响应+暂态响应,第一节 控制系统的时域数学模型,拉氏变换法求解线性定常微分方程的步骤：,1、考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量的s代数方程.(ts),2、由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式.,3、对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解. (st),第一节 控制系统的时域数学模型,一、按系统的控制方式分类,开环控制,闭环控制 复合控制,按给定值操纵的开环控制,按干扰补偿操纵的开环控制,第二节 自动控制系统的类型,第二节 自动控制系统的类型,(1) 按给定值操纵的开环控制,根据给定值的大小去直

7、接控制被控对象。,适用范围：控制精度要求不高或系统各环节特性相当稳定、干扰因素很少的场合。,(2)按干扰补偿操纵的开环控制,第二节 自动控制系统的类型,用来克服主干扰，其设计与被控对象的具体特性有关，是一种专用的控制装置。,闭环控制,是一种最基本又最重要的典型控制方案。,第二节 自动控制系统的类型,复合控制,按干扰补偿的复合控制,按输入给定补偿的复合控制,(1)按干扰补偿的复合控制,第二节 自动控制系统的类型,(2)按输入给定补偿的复合控制,第二节 自动控制系统的类型,二、按系统输入量的运动规律分类,定值控制 程序控制 随动控制,第二节 自动控制系统的类型,克服各种干扰因素的影响，确保被控量等

8、于恒定的给定值。,系统的给定值是一个变化规律预知的时间函数。,系统的给定值是一个不可预知的随机变量，要求系统的输出以一定的精度跟随输入量而变化,三、按系统的特性分类,线性控制系统,第二节 自动控制系统的类型,系统中各组成元件的状态或特性可以用线性微分方程来描述。,满足叠加定理，具有叠加性和齐次性，系统时间响应的特征与初始状态无关。,若系统的微分方程的系数是常数，称为线性定常系统；反之，称为线性时变系统。,非线性控制系统,四、按系统信号的形式分类,连续控制系统,第二节 自动控制系统的类型,系统各部分的输入和输出信号都是时间变量的连续函数。其运动状态或特性一般用微分方程来描述。,离散控制系统,系统

9、的某一处或几处信号是以脉冲序列或数码的形式传递的系统。,离散控制系统,使用采样开关（采样器）将连续信号转换为脉冲形式的系统，也称为脉冲控制系统。,使用数模转换器将连续信号转换为数字信号，并用数字计算机或数字控制器进行控制和信号处理的系统，简称数字控制系统。,采样数字控制系统,采样控制系统,第二节 自动控制系统的类型,五、按输入量的数量分类,单输入单输出系统（SI-SO）,多输入多输出系统（MI-MO）,第二节 自动控制系统的类型,六、其他分类,确定系统与不确定系统,集中参数系统与分布参数系统,对控制系统的基本要求,稳定性是保证控制系统正常工作的先决条件。一个稳定的控制系统，其被控量偏离期望值的初始偏差应随时间的增长逐渐减小或趋于零。,稳定性,快速性 准确性,第二节 自动控制系统的类型,快速性,对系统的过渡过程的形式和快慢的要求，一般称为系统的动态性能。,准确性,过渡过程结束后，被控量达到的稳态值与期望值之差，称为系统的稳态误差。（是衡量控制系统控制精度的重要指标）,第二节 自动控制系统的类型,小 结,一、控制系统的类型 二、对控制系统的要求 三、线性定常控制系统时域数