长春市2016届高三质量监测(一)文科数学

1、长春市普通高中2016届高三质量监测（一）数学试题卷(文科)考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效. 4. 考试结束，只需上交答题卡.第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 复数（是虚数单位）等于A. 1B. 2C. D. 3. 抛物线的准线方程为A. B. C. D. 4. 已知向量满足，

2、则 A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是A. “”是“函数是奇函数”的充要条件；B. 若：，则：，；C. 若为假命题，则均为假命题； D. “若，则”的否命题是“若，则”.6. 若实数满足，则的最小值为A. B. C. D. 7. 执行如图所示的程序框图，输出的为A. B. C. D. 8. 在中，则的面积为A. B. C. D. 9. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 10. 已知函数，则其图像为A. B.C. D.11. 函数，下列判断正确的是A. 的最小正周期为B. 是奇函数C. 的一个对称中心为D. 的一条对称轴为12. 设是定义在上的

3、偶函数，对，都有，且当时，若在区间内关于的方程恰有3个不同实根，则的取值范围是A. B. C. D. 第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 利用分层抽样的方式在学生总数为1200人的年级中抽出20名同学，其中有女生8人，则该年级男生的人数约为_. 14. 已知，则_. 15. 设椭圆的左右焦点分别为. 若椭圆上存在点使. 则椭圆的离心率的取值范围是_. 16. 已知一个四面体的所有棱长都为2，则

4、该四面体的外接球表面积为_. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，. 求数列的通项公式； 设，求数列的前项和. 18. （本小题满分12分）为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：睡眠时间（小时）人数24842女生：睡眠时间（小时）人数15653男生： 现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率； 完成下面列联表，并回答是否有的把握认为“睡眠时间与性别有关”？睡

5、眠少于7小时睡眠不少于7小时合计男生女生合计P(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 （，其中）19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，平面，. 过的截面交于点，若为等边三角形，求出点的位置； 在条件下，求四棱锥与三棱柱的体积比. 20. （本小题满分12分）已知椭圆的方程为，离心率，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1. 求椭圆的方程； 为曲线上的三个动点，在第一象限，关于原点对称，且，问的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.21. （

6、本小题满分12分）已知函数. 判断函数的单调性； 设，若函数存在零点，求实数的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲.已知中，以点为圆心，以为半径的圆分别交于两点，且为该圆的直径. 求证：； 若，求的长. 23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程选讲.已知曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为. 写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； 设点为曲线上的动点，求点到直线距离的最大值. 24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.已知函数. 若不等式恒成立，求的取值范围；

7、 当时，求不等式的解集. 长春市普通高中2016届高三质量监测（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. C3. D4. D5. D6. B7. A 8. C9. B10. A11. B12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与集合的性质. 【试题解析】A题意可知，集合，故选A.2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算. 【试题解析】C ，故选C. 3. 【命题意图】本题考查抛物线的准线的概念，是对学生的基础知识的直接考查.【试题解析】D由题意，抛物线的准线为，故选D.4. 【命题意图】本题主要对向量的基本运

8、算进行考查.【试题解析】D ，则，故选D.5. 【命题意图】本题是对逻辑问题的综合考查，全面考查考生对各种逻辑问题的理解. 【试题解析】D选项A中，由奇函数定义可知，“”是“函数是奇函数”的既不充分也不必要条件；选项B中，若：，则：，；选项C中，若为假命题，只能判定中至少有一个为假命题；选项D的说法正确，故选D. 6. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识.【试题解析】B图为可行域，而目标函数可化为，即为该直线在轴上的截距，当直线过时，截距取得最大值，此时取得最小值为，故选B.7. 【命题意图】本题考查程序框图的基本运作过程，同时通过程序框图也对数列中的裂项求和做出考查.

9、【试题解析】A由程序框图，当时，还应该进入循环，而当时，不再进入循环，故输出结果为，故选A. 8. 【命题意图】本题主要考查解三角形，以及利用余弦定理搭建三角形中边与角的关系式. 【试题解析】C由题意，根据余弦定理可得，故，故选C. 9. 【命题意图】本题主要考查考生对三视图的理解，以及简单几何体表面积的计算. 【试题解析】B由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角三角形，高为的三棱锥，且顶点在底面上的投影为斜边的中点，据此可求得该几何体的表面积为.故选B. 10. 【命题意图】本题考查考生对图像特征的理解，以及利用求导等手段发现函数特点的方法. 【试题解析】A函数为奇函数，且，可推出在原点处切

10、线斜率为0，故选A. 11. 【命题意图】本题考查三角变换公式，以及中各个量对函数图像的影响. 【试题解析】B由题可知，故选B. 12. 【命题意图】本题主要考查函数图像、函数零点，通过指数函数和对数函数以及函数周期的表达式，来构建函数与函数关系. 【试题解析】A由题意可知，的图像如右图所示，若要保证有三个交点，只需，即，. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 720 14. 615. 16. 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查分层抽样的主要知识. 【试题解析】由于样本容量为20，所以其中的男生人数为12，从而年级男生人数为（人）. 14. 【命题意图】本题考查对数

11、运算的基本性质. 【试题解析】由条件可知，故. 15. 【命题意图】本题通过平面几何的性质考查椭圆离心率的求取，对学生的运算求解能力提出很高要求，是一道中档题. 【试题解析】以线段为直径的圆与椭圆有公共点，所以，即，所以.16. 【命题意图】本题考查了球的内接几何体问题，特别涉及到了正方体的局部几何体的外接球问题.【试题解析】已知四面体棱长为2，可知其外接球的半径为，从而其表面积为. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用.【试题解析】 (1) 设公差为，有，解得，所以. （6分）(2) 由(1)知，

12、所以. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 选取的20名女生中，“睡眠严重不足”的有2人，设为，睡眠时间在的有4人，设为. 从中选取3人的情况有 ，其中恰有1人“睡眠严重不足”的有12种，因此3人中恰有一个为“严重睡眠不足”的概率为 （6分）(2) 睡眠少于7小时睡眠不少于7小时合计男生12820女生14620合计261440所以没有的把握认为“睡眠时间与性别有关”（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以三棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过

13、分层设计，考查了体积运算等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1) 由题意，在三棱柱中，由平面且可得，故点的位置为的三等分点，且靠近处. （6分）(2) 由(1)可知，所以，所以所求两个几何体的体积比为. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 由题意，又，可解得，因此椭圆的标准方程为. （5分）(2) 由题意知，设，设由，消去得，所以同理可得，所以当，即时，取最小值，此时. （12分）21. (本小题满分12分)【命

14、题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：(1) ，当时，则在上单调递增；当时，令，得，则在上单调递减，在上单调递增. （4分） (2) 令，则，令，当无限靠近于0时，趋近于. ，令可得，可知时，单调递减，时，单调递增. 因此的值域为，即为，因此函数存在零点时，实数的取值范围是. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】 (1) 因为，所以，又因为，所以，所以，所以. （5分）(2) 由(1)可知，从而，由，得. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用曲线的参数方程的几何意义求解曲线上点到直线的距离等内容. 本小题考查考生的方