(2)周期信号的频谱

1、.,复习,1、傅里叶级数的三角形式 2、傅里叶级数的指数形式 3、傅里叶系数的奇偶性,.,3.3 周期信号的频谱,一、 周期信号的频谱,如果将 ， 的关系绘成下面的线图，便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱（单边）。,如果将 ， 的关系绘成下面的线图，同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱（双边）。,.,例 3.3-1,试画出f(t)的振幅谱和相位谱。,解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据,可知，其基波频率=(rad/s)，基本周期T=2 s，=2、3、 6 分

2、别为二、 三、六次谐波频率。且有,.,其余,.,图 3.3-1 (a)振幅谱； (b) 相位谱,.,图 3.3-2 信号的双边频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱,.,二、 周期矩形脉冲的频谱,设有一幅度为1，脉冲宽度为 的周期性矩形脉 冲，其周期为 ，求其复傅里叶系数。,图 3.3-3 周期矩形脉冲,.,.,-取样函数,1.它是偶函数。,2. 当 时， 。,3.当 时，函数值为0。,它是无限拖尾的衰减振荡。,.,该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为：,.,第一个零点时谱线的序号：,零点的位置：,相邻谱线的间隔：,第一个零点的位置：,.,由上图 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特

3、点： 第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。 第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有的各次谐波分量，而决不含有非的谐波分量。 第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随n的变化有起伏变化，但总的趋势是随着n的增大而逐渐减小。 当n时，|Fn|0。,.,1、各谱线的幅度按包络线 的规律变化。 在 各处，即 的各处， 包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等 于零。,2、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 它可分解为无限多个频率分量。,周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 :,通常

4、把频率范围 称为周期矩形脉冲 信号的带宽，用符号 表示，即周期矩形脉冲信 号的频带宽度为 。,.,3、周期相同，脉冲宽度不同时信号的频谱： 谱线间隔不变，但零点位置变化。 周期不同，脉冲宽度相同时信号的频谱： 零点位置不变，谱线间隔变化。 相邻谱线的间隔 零，周期信号的 离散频谱 非周期信号的连续频谱。,.,.,.,思考：,看作是周期性矩形脉冲 时的情况，其偶次谐波恰恰落在频谱包络线的零值点，所以它的频谱只包含基波和奇次谐波分量。,.,周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数:,周期三角脉冲信号的傅里叶级数:,.,三、 周期信号的功率,周期信号是功率信号，归一化平均功率为 :,这是时域上的表达式。,将 的

5、傅里叶级数展开式代入上式得：,下面我们来讨论频域上的表达式？,.,将被积函数展开，在展开式中具有形式 的余弦项，其在一个周期内的积分等于零；具有 形式的项，当 时，其积分值为零，对于 的项，其积 分值为 ，因此上式的积分为：,.,上式等号右端的第一项为直流功率，第二项为各次谐波的功率之和。因此，周期信号的功率等于直流功率与各次谐波功率之和。,由于 是 的偶函数，且 ，上式可改写为：,.,上两式称为帕斯瓦尔恒等式。,它表明，对于周期信号，在时域中求得的信号功率与 在频域中求得的信号功率相等。,.,例 3.3-2 试计算下图所示信号在频谱第一个零点以内各分量的功率所占总功率的百分比。,解 ： 由上图可求得信号 的功率：,将 展开为指数型傅里叶级数：,.,其频谱如下图所示，频谱的第一个零点在 ， 这时,0.2,