数理金融初步

1、(第一章)从6张牌中随机提取2张牌。 如果知道两张花色不同，他们是a的条件概率是多少？解：设第一次提取a的事件为A1，第二次提取不同花色a的事件为A2，则为p(A1A2)=P(A1)p(A2/A1 )因为p (a1 )=4/52=1/13p (a2/a1 )=3/52-13=3/39=1/13，所以p(A1A2)=1/169事实证明，在7a、b独立的情况下，a)A和Bc b)Ac和Bc也是独立的证明：因为p(B) p(Bc)=1，p(B/A) P(Bc/A)=1，所以p (b ca )=p (a )=p (a ) 1- p (b/a ) =p (a )因为- p (a ) p (b )=p (

2、a ) 1- p (b ) =p (a ) p (bc )，所以a和b c是独立的(b ) p (a c ) p (b c )=p (b c ) p (a CB ) 因为c )=p (bc )-p (a ) p (b c )=p (b c ) 1- p (a ) =p (b c ) p (ac )，所以a c和b c是独立的。九四辆公共汽车载着152名学生从同一学校出发去足球场。 四辆车分别载着39、33、46、34名学生。 如果从152名学生中任意选出1人，记录被选中x的学生所乘坐的车的学生数。 四辆公共汽车司机也随机选出一人，司机驾驶的汽车上的学生人数为y。你认为a)e(x )和E(Y )

3、哪个大？求b)e(x )和E(Y )。解： a)E(X )大。 b )问题意识x取39、33、46、34。 y可以取39、33、46、34。 X=39，p(x)=39/152，x=33，p(x)=33/152，x=46，p(x)=46/152，x=34，p(x)=34/152，同样地，p(Y=39)=1/4P(Y=33)=1/4，P(Y=46)=1/4，P(Y=34)=1/4e (x )=39 x 39/15233 x33/15246 x46/15234 x34/152=5882/152=38.697e (y )=39x1/433 x1/446 x1/434 x1/4=38十二个选手比赛士兵的

4、球，一个选手赢了两次，比赛就结束了。 假设各选手赢各游戏的概率相等，各游戏的结果是独立的。 求比赛总站数的期望值和方差。解：以x为比赛的总站数，x取2，3时，p(x=2)=1/2x1/2x2=1/2，p(x=)=1/2x1/2 1/2x1/2=1/2E(X)=2x1/2 3x1/2=5/2、x2=4,9、9、p(x2=4)=1/2、p(x2=9)=1/2、E(x2)=4x1/2 9x1/2=13/2var (x )=e (x 2)- e (x ) 2=13/2-(5/2) 2=1/411 .证书证明：12一名律师必须决定是取固定费用5000美元，还是取胜诉报酬25000美元(输了就什么都得不到

5、)。 他估计赢的概率为0.3，求他收到的费用的平均和分散，如果a )固定费用b )胜诉报酬费用。从题意来看，x=5000，p(x=5000)=1，E(x)=5000x1=5000，E(x2)=50002x1=25000000，var(x)=E(x2)-E (因为2=0，所以从s=0. b )问题知道x=0，25000，p(x=0)=1-0.3=0.7，p(x=25000)=0.3，E(x)=0.7x025000x0.3=7500，e (x 2)=0x 0.7 (25000 ) 2x 0.3=187500000，var (x )=e (x 2)- e (x ) 2=131250000S=根号下v

6、ar(x)=11456.43914 .证明：证明：假设18只股票的价格在任何规定的时间内概率性地增减1或1，并且不同时期的股票变化是独立的。 x是股票在第一期间内增加或减少的数量，y是第三期间内累计上升的数量，求出x、y的相关性。解： E(X)=0，E(X2)=1，var(x)=E(X2)-E(X)2=1E(Y)=0，E(Y2)=3，var(y)=E(Y2)-E(Y)2=3由于E(XY)=1，Cov(X，Y)=E(X，Y)-E(X)E(Y)=1，所以x，y表示正相关性。(2章)设4x为正规的随机变量，平均为u，方差为2，y=a bx，如果y和x遵循相同的分布，则求出a和b的值(a不等于0 )，

7、求出Cov(x，y ) .解： E(X)=u、var(x)=2、y=a bx，所以E(Y)=a bu、var(y)=b2u2，另外，由于x和y遵循相同的分布，所以a bu=u、2=b22，a不等于0，所以b=-1、a=2uCov(x，y)=cov(x，bx)=cov(x，a) bCov(x，x)=-2。5成年男性的血液收缩压力遵循平均值为127.7，标准差为19.2的正态分布。 a )求a)68%的成年男性的血液收缩压的取法。 b )成年男性血液收缩压的95%取值的范围。 c )成年男性血液收缩压力的c)99.9%取值的范围。解： a )设陈年男子的血液收缩压为x，e为对应的正规概率变量，则E

8、=(X-127)/19.2因为u=127.7，=19.2，|=19=0.682，所以-1=(E-127.7)/19.2=1，即108.5=E，所以值的范围是 108.5，146.9 根据b )表，p|E|=2=0.9544，即-2=(e-127.7 )/19.2=2，89.3=e=166.1，因此取值的范围 89.3，166.1 c) p|E|=3=0.9974，即-3=(E-127.7)/19.2=3，解为70.1=E=185.3，所以取值的范围 70.1，185.3 。第四章1若10%的名义利率分别为： a )半年一次利息的复利b )季度一次利息的复利c )连续复利那个有效利率分别是多少？

9、解： a ) reff=(1r/2 ) 2-1=10.25 % b ) reff=(1r/4 ) 4-1=10.38 % c ) e r-1=10.522把钱存入银行，银行支付的名义利率是10%。 如果利率是连续复利利率，存多少钱是原来的两倍？解： pert=2p e10%t=2 t=6.93，达到原来的两倍需要7年如果三利率是5%，一年计算一次利息的话，要把你的钱增加到原来的四倍需要多少年？ 利率变成4%的话需要几年？解： p(1r)n=4pr=5%时，(1 0.05)n=4，n=28.41。 当然r=4%，(1 0.04)n=4，n=35.35如果4利率是年复利利率r，请用它给出一个公式来

10、估计你的钱几年会变成原来的3倍。解： lim p(1 r/n)nt=pert pert=3p、ert=3 t=lin3/r假设五年名义利率固定为6%，每月计入一次利息。 在今后的60个月里，每月投资多少钱，60个月后需要得到100000美元？解： p (1r/12 ) 2(1r/12 ) 60 )=100000 px1r/12 1- (1r/12 ) 60 /1-(1r/12 )=100000因为px 1.005 (1- 1.35 )/- 0.05=100000 p=10000/70.37=1421.46，所以每个月需要投资1421.46美元。6投资的年现金流：-1000，- 1200，800

11、，900，800 .年利率为6%。 对于既能借款又能存款的人来说，这是有价值的投资吗？解：现值=-1000-1200/(160 % ) 800/(160 % ) 2900/(160 % ) 3800/(160 % ) 4=-1000 (-1132.08 ) 712755.6633.67=-30.750，所以不值得投资。85年间，面额为10000美元，利率为10%的债权，价值为10000美元。 今后五年，每六个月向所有者支付500美元。 然后，在这十次支付的最后支付本金10000美元。 如果每月计算一次利息的利率是a)6% b)10% c)12%的话，就求现值。解： (r=6%时，b=1/(1.

12、0.6)=0.94 PV (a )=500 x (0.94 ) 6500 x (0.94 ) 18500 x (0.94 ) 60x (0.94 ) 100=1085244=1329在r=10%时，b=1/(10.1 )=0.91pv (a )=500 x 0.91 6500 x 0.91 12500 x 0.91 6010000 x 0.91 60=653=687(r=12%，b=1/(10.12 )=0.89 PV (a )=500 x 0.89 6500 x 0.89 12500 x 0.89 6010000 x 0.89 60=4939=5029朋友购买了新价值4200美元的音频系统。

13、 他预付了1000美元预付款，一个月后每月支付160美元，共计支付24个月。 那么，支付的有效利率是多少？解：假设每月支付的利率是r，那么B=1/(1 r )所以160(B B2 B24) 1000=4200因为160xb (1- b 24 )/(1- b )=3200 b (1- b 24 )/(1- b )=20r=1- b/b，所以1/1 r1-(1/1 r)24/(1-1/1 r)=20，所以reff=1 r-1=r=1.5%12假设向银行贷款120000美元，银行领取2个百分点的费用。 估计利率为每月0.5%，接下来的36个月，每月支付累计利息，最后只支付本金120000美元。 那么

14、，这笔贷款的有效利率是多少？了解：每月支付利息120000x0.5%=600美元的话，则为600/(1r ) 2600/(1r ) 3600/(1r ) 36120000/(1 r)36=120000x98%，r=0.6%13用以下两种方法偿还贷款。 一种是现在一次偿还所有债务，另一种是现在偿还10000美元，然后10年后还10000美元。 以下名义偿还连续利率，最好是哪种偿还方法： a)2% b)5% c)10%解：在r=2%的情况下，10000e -2 % X10=10000e 0.2=8187.36000，在r=5%的情况下，10000e-rt=10000e-5%x10=6065.360

15、00，r=10%的情况下，10000e -rt=10000e -10 % X10=3678.8600023请考虑以下两种现金流。 每个现金流将在I年后第I次支付。 是100，140，131和90，160，120如果不知道利率的话，说哪个现金流好呢？解：设利率为r，则 100/(1r ) 140/(1r ) 2131/(1r ) 3- 90/(1r ) 160/(1r ) 2120/(1r ) 3=11/(1r ) 3-20/(1r)210/(1r)t=1/(1r )，00即，优选第一种。24 a )初始成本为100的投资，两年后收益为110，求出该投资的年收益率。 b )初始成本为100的投资

16、，2年后或收入为120或收入为100，有两种可能的结果，以求得年收益率的期望。解a)100(1 r)2=110的话，r=0.05 b)100(1 r1)2=120、r1=0.095、100(1r2)2=100、r2=0、E(r)=1/2r1 1/2r2=0.0526初始成本为100的投资，第一年度末收益率为40，第二年度末收益率为70，求此投资的收益率，第一年度末收益率为70，第二年度末收益率为40，收益率是多少？解：设第一种投资的收益率为r1，第二种投资的收益率为r2，则为40/(1 r1) 70/(1 r1)2=100，r1=0.06=6%70/(1 r2) 40/(1 r2)2=100，r2=0.75=75%28一个初始成本为100的投资，第I周期末收到的收益是Xi (I=1，2，2 )，X1，X2是相互独立的正规概率变量，平均为60，方差为25。 这个投资回报率超过10%的概率是多少？解： E(X1 X2)=120，Var(X1 X2)=50，p (x1x 2110 )=p (e (110-120 )/5 )=p (x1x2- 10/5 )=1- o (-10/5 )=0.9