高等数学-习题答案-方明亮-第八章

1、高等数学方明亮版习题8-11设有一个面薄板（不计其厚度），占有面上的闭区域，薄板上分布有面密度为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷解 用一组曲线将分成个小闭区域，其面积也记为.任取一点,则上分布的电量.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为其中的直径2. 设其中；又其中试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系解由二重积分的几何意义知，表示底为、顶为曲面的曲顶柱体的体积；表示底为、顶为曲面的曲顶柱体的体积由于位于上方的曲面关于面和面均对称，故面和面将分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为由此可知3. 利用二重积分定义证明：(1) ；(2) ；(3) 其中，、为两个无

2、公共内点的闭区域.证(1)由于被积函数，故由二重积分定义得(2) (3) 因为函数在闭区域上可积，故不论把怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割时，可以使和的公共边界永远是一条分割线。这样在上的积分和就等于上的积分和加上的积分和，记为令所有的直径的最大值，上式两端同时取极限，即得4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1) 与，其中积分区域是由轴、轴与直线所围成；(2) 与，其中积分区域是由圆周所围成；(3) 与，其中是三角形闭区域，三顶点分别为；(4) 与，其中.解(1)在积分区域上，故有，根据二重积分的性质，可得(2)由于积分区域位于半平面内，故在上有从而(3) 由于积分区域

3、位于条形区域内，故知上的点满足，从而有因此(4) 由于积分区域位于半平面内，故在上有，从而有因此5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) 其中；(2) 其中；(3) 其中；(4) 其中.解(1) 在积分区域上，从而，又的面积等于，因此(2) 在积分区域上，从而，又的面积等于，因此(3) 在积分区域上，的面积等于，因此(4) 在积分区域上，从而，又的面积等于，因此习题8-21. 计算下列二重积分：(1) ，其中；(2) ，其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域；(3) ，其中；(4) 其中是顶点分别为，和的三角形闭区域解(1) (2) 可用不等式表示为，于是(3) (4) 可用不等式表示为

4、，于是2. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) ，其中是由两条抛物线，所围成的闭区域；(2) ，其中是由圆周及轴所围成的右半闭区域；(3) ，其中；(4) ，其中是由直线，及所围成的闭区域解(1)可用不等式表示为，于是(2)可用不等式表示为，于是(3) ，其中，于是(4)可用不等式表示为，于是3. 化二重积分为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域是：(1) 由直线及抛物线所围成的闭区域；(2) 由轴及半圆周所围成的闭区域；(3) 由直线，及双曲线所围成的闭区域；(4) 环形闭区域解(1)直线及抛物线的交点为和，于是或(2)将用不等式表示为，于是可将化为；

5、如将用不等式表示为，于是可将化为(3)三个交点为、和，于是或(4) 将划分为块，得 或4. 改换下列二次积分的积分次序：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) 解(1)所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式(2) 所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式(3) 所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式(4) 所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式(5) 所给二次积分等于二重积分，其中，可改写为，于是原式(6) 所给二次积分等于二重积分，将表示为，其中，于是原式5. 计算由四个平面，所围成柱体被平面及截得的立体的体积解此立体为一

6、曲顶柱体，它的底是面上的闭区域，顶是曲面，因此所求立体的体积为6. 求由曲面及所围成的立体的体积解所求立体在面上的投影区域为所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：7. 画出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域是：(1) ； (2) ；(3) ，其中； (4) 解(1) 在极坐标中，故 (2) 在极坐标中，故 (3) 在极坐标中，故(4) 在极坐标中，直线的方程为，故，于是8. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解(1) 用直线将积分区域分成、两部分：，于是原式 (2) 在极坐标中，直线和的方程分别是和。因此，又，于是原式 (3

7、) 在极坐标中，直线的方程为，圆的方程为，因此，故原式(4) 在极坐标中，直线的方程为，抛物线的方程为，即；两者的交点与原点的连线的方程是。因此，故原式9. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解(1) 在极坐标中，故原式 (2) 在极坐标中，故原式 (3) 在极坐标中，抛物线的方程为，即；直线的方程是，故，故原式(4) 在极坐标中，积分区域，于是原式10. 利用极坐标计算下列各题：(1) ，其中是由圆周所围成的闭区域；(2) ，其中是由圆周，及直线，所围成的在第一象限内的闭区域.解(1) 在极坐标中，故原式 (2) 在极坐标中，故原式11. 选用

8、适当的坐标计算下列各题：(1) ，其中是由直线，及曲线所围成的闭区域；(2) ，其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3) ，其中是由直线，所围成的闭区域；(4) ，其中是圆环形闭区域解(1) 选用直角坐标，故 (2) 选用极坐标，故(3) 选用直角坐标，(4) 选用极坐标，故12. 求由平面，以及球心在原点、半径为的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图8-21）解 习 题8-31. 化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是:(1) 由双曲线抛物面及平面，所围成的闭区域；(2) 由曲面及平面所围成的闭区域；(3) 由曲面及所围成的闭区域；(4) 由曲面，所围成的在第一卦限

9、内的闭区域.解 (1) 可用不等式表示为：，因此(2) 可用不等式表示为：，因此(3) 可用不等式表示为：，因此(4) 可用不等式表示为：，因此2. 计算，其中是由曲面，与平面，和所围成的闭区域.解 可用不等式表示为：，因此3. 计算，其中为平面，所围成的四面体.解 可用不等式表示为：，因此4. 计算，其中为球面及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解 可用不等式表示为：，因此5.计算，其中是由平面，以及抛物柱面所围成的闭区域.解 可用不等式表示为：，因此6. 计算，其中是由锥面与平面所围成的闭区域.解 在面上的投影区域，.于是7. 利用柱面计算下列三重积分:(1) ，其中是由曲面及所围成

10、的闭区域；(2) ，其中是由曲面及平面所围成的闭区域.解 (1) 在面上的投影区域，利用柱面坐标，可用不等式表示为：，因此(2) 由及消去得，从而知在面上的投影区域为，利用柱面坐标，可表示为：，因此8. 利用球面坐标计算下列三重积分:(1) ，其中是由球面所围成的闭区域;(2) ，其中闭区域由不等式，所确定.解 (1) (2) 在球面坐标系中，不等式，即，变为，即；变为，即，亦即.因此可表示为,于是9. 选用适当的坐标计算下列三重积分:(1) ，其中为柱面及平面，所围成的在第一卦限内的闭区域；(2) ，其中是由球面所围成的闭区域；(3) ，其中是由曲面及平面所围成的闭区域;(4)，其中闭区域由

11、不等式，所确定.解 (1) 利用柱面坐标，可表示为：，因此(2) 在球面坐标系中，球面的方程为，即.可表示为,于是(3) 利用柱面坐标，可表示为：，因此(4) 在球面坐标系中，可表示为,于是习题8-41. 求球面含在圆柱面内部的那部分面积.解上半球面的方程为由曲面的对称性得所求面积为2. 求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.解由解得，故曲面在面上的投影区域被割曲面的方程为，于是所求曲面的面积为：3. 求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积.解设第一卦限内的立体表面位于圆柱面上的那一部分的面积为，则由对称性知全部表面的面积为故全部表面积为4. 设薄片所占的闭区域如下，求均匀薄片的质心:(

12、1) 由，所围成；(2) 是半椭圆形闭区域；(3) 是介于两个圆之间的闭区域.解(1)设质心为于是故所求质心为(2)因对称于轴，故质心必位于轴上，于是因此所求质心为() 因对称于轴，故质心必位于轴上，于是故所求质心为5. 设平面薄片所占的闭区域由抛物线及直线所围成，它在点处的面密度，求该薄片的质心.解求得于是所求质心为6. 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这片薄片的质心.解面密度，由对称性知于是所求质心为7. 利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心(设密度): (1) ；(2) ；(3) 解 (1) 曲面所围立体为圆锥体，其顶点在原点，并关于

13、轴对称，又由于它是匀质的，因此它的质心位于轴上，即立体的体积为.故所求质心为. (2) 立体由两个同心的上半球面和面所围成,关于轴对称,又由于它是匀质的,故其质心位于轴上，即立体的体积为.故所求质心为.(3) 由于立体匀质且关于平面对称，故，所求质心为8. 设球体占有闭区域，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的质心. 解在球面坐标系中，可表示为球体内任意一点处的密度大小为由于球体的几何形状及质量分布均关于轴对称，故可知其质心位于轴上，因此故球体的质心为.9. 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域如下，求指定的转动惯量:(1) ，求；(2) 由抛物线与直线所围

14、成，求和；(3) 为矩形闭区域，求和.解(1) 令，则上式(2) () 10. 已知均匀矩形板(面密度为常量)的长和宽分别为和，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.解11. 一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域由曲面和平面所围成,(1) 求物体的体积；(2) 求物体的质心；(3) 求物体关于轴的转动惯量.解(1) (2) () 12. 求半径为、高为的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量(设密度).解13. 设面密度为常量的匀质半圆环形薄片占有闭区域，求它对位于轴上点处单位质量的质点引力.解由于关于轴对称，且质量均匀分布，故 因此引力为：14. 设均匀柱体密度

15、为，占有闭区域，求它对于位于点处的单位质量的质点的引力.解由柱体的对称性和质量分布的均匀性知引力沿轴的分量复习题A一、填空题1. 设是正方形区域，则_.2. 已知是长方形区域，又已知，则_.3. 若是由和两坐标轴围城的三角形区域，则二重积分可以表示为定积分，那么_.4. 若，那么区间_.5. 若，则区间_.二、选择题1. 设是由和所围成的三角形区域，且，则( ). A；A. B. C. D. 2. 设是正方形区域， 是的内切圆区域， 是的外接圆区域， 的中心点在点，记则的大小顺序为( ) B；A. B. C. D. 3. 将极坐标系下的二次积分:化为直角坐标系下的二次积分，则( ) D；A.

16、; B. ;C. ; D. .4. 设是第二象限内的一个有界闭区域，而且.记则的大小顺序为( ) C；A. B. C. D. 5. 计算旋转抛物面在那部分曲面的面积的公式是( ) CA. ; B. ;C. ; D. .三、计算题1. 计算二重积分，其中是长方形区域. 解 2. 计算二重积分，其中是长方形区域.解 3. 计算重积分，其中是由和所围成的三角形区域.解 4. 计算重积分，其中是由和所围成的三角形区域.解 5. 计算重积分，其中是长方形区域.解 6. 计算重积分，其中是由和所围成的区域.解 7. 计算重积分，其中是由和所围成的区域.解 8. 计算重积分，其中是由和所围成的区域.解 9.

17、 将二重积分化为两种顺序的二次积分，积分区域给定如下:(1) 是以为顶点的三角形区域;(2) 是区域;(3) 是区域;(4) 是由和所围成的区域;(5) 是由和所围成的区域.解 (1) (2) (3) (4) (5) 10. 将二重积分化成在直角坐标下两种顺序的二次积分，并进一步化成在极坐标下的二次积分，其中积分区域给定如下:(1) 是区域;(2) 是区域;(3) 是区域;(4) 是由和所围成的区域.解 (1) (2) (3) (4) 11. 设是长方形区域，试证明: (设连续).证明 12. 将二重积分化为二次积分，其中是半圆区域.解 13. 交换下列积分的顺序:(1) ;(2) ;(3)

18、;(4) ;(5) .解 (1) (2) (3) (4) (5) 14. 交换下列积分的顺序，并化为极坐标下的二次积分:(1) ;(2) ;(3) ;(4) .解 (1) (2) (3) (4) 15. 计算积分(是常数).解 16. 计算积分.解 17. 计算积分，其中是区域.解 18. 计算积分，其中是区域.解 19. 用二重积分计算以下图形的面积:(1) 由所围成;解 (2) 由所围成;解 (3) 由极坐标下不等式及所确定.解 20. 用二重积分计算下列曲面所围立体的体积:(1) 及;解 (2) 及;解 (3) ，三坐标平面及平面.解 21. 求均匀半椭圆的质心.解 所以质心为22. 求均匀半圆环的质心.解 所以质心为复习题B1. 证明:证明 上式左端的二次积分等