数学思想方法与高考答题（通用）

1、数学思想方法与高考答题（一）为什么说分类讨论思想是重要的高考思想？许多高考试题，题中头绪繁多，初看似一团乱麻.如不分门别类地讨论，那将是“剪不断，理还乱”，难以找到正确答案.【例1】（06年全国一卷.12题）设集合I=1，2，3，4，5，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 （ ）种A.50 B.49 C.48 D.47【解析】由于“B中最小的数大于A中最大的数”，所以我们以集合B为标准进行分类讨论.B可以是单元素集，也可以是2，3，4元的集合.但是不可能等于全集I，否则A将是空集与题意不符.（1）B为单元素集.若B=5，则A是1，2，3，4的非空

2、子集，有25-1=15种；同理，若B=4，3，2时，A依次有23-1=7，22-1=3，21-1=1种.于是B是单元素集时，相应的集合A有15+7+3+1=26种；（2）B为二元素集.则B=5，4、5，3、5，2、4，3、4，2或3，2，共6种情况，相应的集合A依次有7，3，1，3，1，1种，共16种；3B为三元素集.则B=5，4，3、5，4，2，5，3，2，4，3，2. 相应的集合A依次有3，1，1，1种，共6种.4B为四元素集.只有5，4，3，2一种情况，相应的集合A只有1个.于是不同的选择方法共有：26+16+6+1=49种，故选B.【评注】分类讨论思想类似于军事上的“分割包围，各个击破

3、”.既是一口难吞，何不多啃几口，分而食之呢？许多试题可以利用分类讨论思想解决，其奥妙在于：虽然在全局范围内，没有足够的条件去解决问题，但在我们恰当地分类之后，在每个局部范围内，都相应地增加了一个解题条件，所以原来无法解决的问题，现在可以解决了.（二）选择科学的分类标准，是简化计算的关键所在.【例2】（06.陕西卷.16题）13.某校从8名教师中选派4名去4个边远地区支教（每地1人）.其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方法有 种【分析】有关的8个人中，只有甲、乙、丙受到限制，所以优先考虑这3个人.而在这3个人中，又以乙为标准分类最为简洁合理.【解析】如果乙去，则甲、丙都不去.

4、余下的5人中还须选3人，有种选派方法；如果乙不去，而甲、丙都去，则余下的5人中还须选2人，有种选派方法；如果甲、乙、丙都不去，显然有种选派方法；于是共有240+240+120=600种不同的选派方法.【例3】4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一道作答，选甲题答对得100分，答错得-100分；选乙题答对得90分，答错得-90分.若4位同学的总分为零，则这4位同学不同得分的种数为 （ ）A.48 B.36 C.24 D.18【分析】题中已经暗示了最恰当的分类标准，就是“4位同学的总分为零”.故有如下三种不同的情况.【解析】若四位同学都选甲题，其总分为零必须2

5、人答对，另2人答错，有种可能；若四位同学都选乙题，其总分为零也必须2人答对，另2人答错，也有种可能；若四位同学中有2人选甲题，另2人选乙题，其总分为零必须各有1人答对，另1人答错，有种可能；所以，这4位同学不同得分的种数为：6+6+24=36.故选B.【例4】从6人中选4人到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中甲、乙两人不能去巴黎，则不同的选择方法共有 （ ）种A.300 B.240 C.144 D.96【分析】从总体来说，这是一个6选4的排列问题，但是如分类标准选择不当，解法会相当繁杂.什么是好的分类标准呢？【解析】除甲、乙外，从其余

6、四人中先选1人去巴黎，有种方法，所剩5人中再选3人去其余3个城市，有种分派方法，故共有=240种选择方法，故选B.【例4】甲、乙两公交车往返于相距24公里的A、B两地之间，现两车分别从两地同时驶出，甲每小时行驶36公里，乙每小时行驶24公里，到达异地后立即返回，若不计转向时间，他们相遇的次数为 （ ）A.4 B.5 C.6 D.7【分析】本题数据不大，可是思绪繁杂.静心思考一下，两车相遇无非两种情况，第一次相会共走全程1次，以后各次相会都需共走全程2次，故以此为标准进行分类.【解析】第一次相遇，因为两车相向而行，共走全程24公里，需要24（36+24）=0.4小时.以后各次相遇，两车先背向共走

7、24公里再相向共走24公里，也就是每48公里才得再相遇一次，需0.8小时；它们再相遇四次共需3.2小时.故在四小时内，它们共相遇1+4=5次，故选B.【例5】过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）对A.18 B.24 C.30 D.36【分析】如图的15条直线中，有6条在上、下底面，3条在侧棱，其余6条在面对角线上，应按这3种直线及其相互之间的关系进行分类.【解析】在上、下底面中，和任意一条侧棱异面的直线各有两条，共6对；和上底任意一边异面的下底边各有两条，共6对；和任意一条面对角线异面的上、下底边及侧棱各有3条，共18对；6条面对角线彼此异面的有（36）2=9对.以上共计3

8、6对，故选D.【例6】从4名男生3名女生中选出3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中至少有一名女生，则选派方案共有（ ）种A.108 B.186 C.216 D.270【分析】“至少有一名女生”的反面是“没有女生”.前者有3种情况，而后者只一种情况.所以解这种类型的试题，应该实施“正难则反”的策略.【解析】不受限制的选派方案共有（种），其中没有女生的选派方案有（种）.故“至少有一名女生” 的选派方案共有210-24=186（种）.故选B.小结：分类的原则是：1.既无交叉现象，又有互补关系.这样分类可以保证计算中既不重复，又无遗漏.2.使计算尽可能简便.（三）正确实施分类讨论，需预防题设陷阱.

9、【例7】（06.全国2卷.12题文科）5名志愿者分别到三所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分配方法共有 （ ）种A.150 B.180 C.200 D.280【分析】本题与以上各例都不一样，因为它涉及“平均分配”这种特殊形式，所以极容易犯错误.这类试题的标准解法是；【解析】这5个人的分配方法可以是1，1，3；也可以是1，2，2.1，1，3的分配方法有种；1，2，2的分配方法有种.故不同的分配方法共有：60+90=150种.选A.【评注】在本题解法中，许多人对第2 步算法中除以感到不可理解.为说明这个道理，请比较如下两例及其解法就明白了.16本不同的书，分给甲、乙、丙3人。有多少

10、种不同的分配方法？显然，有种不同的分配方法.2.6本相同的书，分给甲、乙、丙3人。有多少种不同的分配方法？谁都明白，这题与上题不是一样的，相应的分配方法应当少一些.这是因为，如果6本书互不相同，则同样是2本，但不同的书在相同的人手里，应该算不同的分法；可是现在所有的书相同，彼此交换多少次也不能叫分法不同.按照上一题的算法，实际上已经照顾到了甲、乙、丙3人中的不同分配顺序，这个顺序共有种.现在这6本书相同，所以分配方法应当是上一题分法的.因而本题的解法是：种.【例8】从集合1，2，3，11中任选两个元素作为椭圆方程中的m和n，则能够落在矩形区域B=（x，y）x11且y9内的椭圆个数为 （ ）A.

11、43 B.72 C.80 D.90【分析】对于本题，许多同学在求解过程中容易犯如下错误：【解析】m可为1，2，10这十个数字之一，有种选择方法；n可为1，2，8这八个数字之一，有种选择方法；因此，能够落在矩形区域B=（x，y）x11且y0,即n215n+450.解得：由于nN+,知n4或n11,即编号为5,6,7,8,9,10的球不存在.3.盒子里到底有多少个球？ 因为盒子的容量最大值为35，且“符合题意的球都在盒中”，故我们可以认定：盒中共有35个球，其编号依次为1,2,3,4;11,12,35,36,37,38, 39,40,41.以上是准备工作，好比决战之前的火力侦察，现在心中有数了，可以开始解题.【解答】 (1)设事件A：任取一球，其重量大于号码数.显然，基本事件总数为m=35,由an=5n+150，得nn,即5n+15n,得：n218n+450. n15.即n=1,2或16,17,4