湖南省岳阳市第一中学2020届高三数学上学期第三次质检（期中）试题 理（含解析）（通用）

1、湖南省岳阳市第一中学2020届高三数学上学期第三次质检（期中）试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别利用一元二次不等式的解法以及二次函数的值域化简集合，根据交集的定义可求出【详解】集合，则故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法

2、运算化简，可得复数对应坐标，从而可得答案【详解】，复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数几何意义，是基础题解题时一定要注意应用，注意运算的准确性，否则很容易出现错误.3.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值【详解】模拟执行程序框图，第一次运行：满足条件，；第二次运行：满足条件，；第三次运行：满足条件，；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：，不满足判断框的条件，退出循环故最后输出的值为

3、4,故选A【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.已知命题，命题，则（ ）A. 命题是假命题 B. 命题是真命题C. 命题是真命题 D. 命题是假命题【答案】C【解析】当时，则不等式成立，即命题是真命题，当时，不成立，即命题是假

4、命题，是真命题，所以命题是真命题，故选.5.函数的单调递增区间是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，结合，解不等式即可求得答案【详解】由得：，所以即的单调递增区间为故选A【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，属于中档题.函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，(1)由 可求得函数的减区间；（2）由可求得增区间6.已知，且，则的最小值是A. 4 B. 12 C. 16 D. 18【答案】C【解析】【分析】变形，利用基本不等式可得结果，注意等号成立的条件【详解】因为所以当且仅当时，取等号即的最小值是16，故选C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等

5、式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.7.若 ，则（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】A【解析】试题分析：由，得或，所以，故选A【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式【方法点拨】三角函数求值：“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系视频8.函数 为奇函数，该函数的

6、部分图像如右图所表示，、分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为函数为奇函数，所以所以函数可化为由 ，设函数周期为T，可得所以，所以函数的解析式为代入四个选项可得是该函数图象的一条对称轴考点：1函数图象的识别2三角函数的性质3解三角形的知识9.观察，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，可发现原函数都是偶函数，得到的导函数是奇函数，可归纳出偶函数的导函数为奇函数，从而可得到答案【详解】由中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； 中，原函数为偶函数，导

7、函数为奇函数； 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；，我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数若定义在上的函数满足，则函数为偶函数，又为的导函数，则奇函数，故，即，故选A【点睛】本题考查的知识点是归纳推理，及函数奇偶性的性质，属于中档题归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化

8、规律的归纳.10.已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，, 则球的表面积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】在 中， ，由正弦定理可得平面截球所得圆的半径（即的外接圆半径）， 又球心到平面的距离 球的半径 ，故球O的表面积 故选D【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】由三视图可得到几何体的直观图如图所示，平面平面，四棱锥的高为1，四边形是边长为1的正方形，分别计算各侧面积，即可得出结论【详解】由三视图可

9、知，几何体的直观图如图所示，平面平面，四棱锥的高为1，四边形是边长为1的正方形，则，综上可知，面积最大的侧面的面积为，故选B【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12.在数列中，若数列满足，则数列的最大项为A. 第5项 B. 第6项 C.

10、第7项 D. 第8项【答案】B【解析】【分析】利用累加法求出数列的通项公式，可得，进一步利用，建立不等式组，从而可得结果【详解】数列中，得到：，上边个式子相加得：，解得：当时，首项符合通项故：数列满足，则，由于，故：，解得：，由于是正整数，故故选B【点睛】本题主要考查递推公式求数列的通项公式、累加法的应用，数列最大项的求法，属于难题由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加法求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推公式，可构造

11、等比数例，进而得出的通项公式.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的最大值是_【答案】4【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分由可得，由得，平移直线， 由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大将代入目标函数得，故答案为4【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是

12、虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值14.设，是夹角为的单位向量，则_【答案】【解析】【分析】将平方，利用平面向量数量积公式以及平面向量数量积的运算法则，求出的值，从而可得结果【详解】，是夹角为的单位向量，且，则，故答案为【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义与运算，是基础题向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.15.设a0，若an且数列an是递增数列，则实数a的范围是_【答案】2a3【解析】由an是递增数列，得解得2a316.对于

13、函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】曲线存在“优美点”，等价于当时， 关于原点对称的函数图象与当时的图象有交点，求得时函数关于原点对称函数的解析式，联立，解得，由基本不等式可得的范围【详解】，若曲线存在“优美点”，等价于当时， 关于原点对称的函数图象与当时的图象有交点，当时，关于原点对称的函数解析式为，由与联立，可得在有解，由，当且仅当时，取得等号，即有，则的取值范围是，故答案为【点睛】本题主要考查基本不等式的应用、转化与划归思想的应用，以及新定义的理解和运用，属于难题遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点

14、，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，且公差，；求数列的通项公式；若成等比数列，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】 由，得,两式相减，即可发现为等比数列，从而求出的通项公式；由中数列的通项公式，把，和代入，再根据等比数列的性质求出，从而求得公差，得到的通项公式，然后再利用等差数列的求和公式求其前项和【详解】由，得,相减得：，即，则,当时，数列是等比数列，.，,由题意，而,设，得或舍去,故.【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，根据

15、数列的递推法求其通项公式，还考查了等差数列的前项的和，属于中档题已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.18.中，分别是内角所对的边，且满足求角的值；若，边上的中线，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由，根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，化简可得，由于，可求，进而可求的值；由，结合平面向量数量积的运算可得，解得的值，根据三角形面积公式即可得结果【详解】

16、，由正弦定理得：，即，从而，即：，又中，故，得.由，得：，从而或舍，故.【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是，集合（）若，且，求的值；（）若，且，记，求的最小值【答案】（），；（）.【解析】试题分析：（

17、）由方程的根求出函数解析式，再利用函数的单调性求出最值；（）由方程有两相等实根1，求出的关系式，消去得到含有参数函数解析式，进一步求出，再由的单调性求出最小值.试题解析：（）由，可知1分又，故1和2是方程的两实根，所以3分 解得，4分所以，当时，即5分当时，即6分（）由题意知方程有两相等实根1，所以，即， 8分所以，其对称轴方程为，又，故9分所以，10分11分14分又在单调递增，所以当时，16分考点：二次函数的解析式、二次函数在闭区间上的最值，函数的单调性.20.如图，在中，分别为的中点，的延长线交于现将沿折起，折成二面角，连接（1）求证：平面平面CBD；（2）当时，求二面角大小的余弦值【答案

18、】（I）证明略（II）【解析】（I）证明：在，又E是CD的中点，得AFCD。 3分折起后，AECD，EFCD，又AEEF=E，AE平面AED，EF平面AEF，故CD平面AEF， 6分又CD平面CDB，故平面AEF平面CBD。 7分（II）方法一：解：过点A作AHEF，垂足H落在FE的延长线上。CD平面AEF，所以CDAH，AH平面CBD。8分以E为原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，过E与AH平行的直线为z轴建立如图空间直角坐标系数。9分由（I）可知AEF即为所求二面角的平面角，设为，并设AC=a，可得11分得13分故二项角ACDB大小的余弦值为14分方法二：解：过点A作AHEF，垂

19、足H落在FE的延长线，CD平面AEF，所以CDAH，AH平面CBD。 9分连接CH并延长交BD的延长线于G，由已知ACBD，得CHBD，即CGB=90，因此CEHCGD，则故12分又AECD，EFCD，AEF即为所求二面角的平面角，13分故二项角ACDB大小的余弦值为14分21.已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：当时，【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）(3)见解析【解析】分析：（1）求出导函数，由可确定增区间，由可确定减区间；（2）即为，即，因此只要求得的最大值即可；（3）不等式可变形为，只要分别证明，其中，即能证明题设不等式详解：（1）的定义域为，且.由 ，在单调递增，在单调递减；（2）解：， ，令，由，在单调递增，在单调递减，；（3）证明：等价于.令，则，令则，在单调递增，在单调递增，令，则，在单调递减，当时，即.点睛