天津市十二重点中学2020届高三数学下学期毕业班联考试题（二）理（含解析）（通用）

1、天津市十二重点中学2020届高三数学下学期毕业班联考试题（二）理（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：如果事件、互斥，那么一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解绝对值不等式求出集合中的范围，根据为整数求得集合；再根据并集定义求得结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，其中涉

2、及到绝对值不等式的求解问题，属于基础题.2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据约束条件做出可行域，将问题转化成在轴截距最大的问题，可知当过点时截距最大，代入点坐标求得的最大值.【详解】根据约束条件可得如下图阴影部分所示的可行域： 则当在轴截距最大时，取最大值由平移可知，当过点时，截距最大由得：本题正确选项：【点睛】本题考查线性规划中型的最值的求解，关键是将问题转化为直线在轴截距的最值问题，通过平移来解决.3.执行如图所示的程序框图，若输入的值为9，则输出的结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】按照程序框

3、图运行程序，直到时，输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入，不满足，循环则，不满足，循环则，不满足，循环则，满足，输出结果本题正确选项：【点睛】本题考查程序框图中根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.4.设，则“”是“”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式分别求出的范围，根据解集的包含关系和充要条件的判定方法得到结果.【详解】 ，则 ，则 是的必要不充分条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够确定解集之间的包含关系，属于基础题.5.已知为直角三角形，点为斜边的中点，

4、点是线段上的动点，则的最小值为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将利用线性运算进行拆解，根据向量数量积的运算律和已知中的长度关系，将问题转化为与有关的二次函数问题，通过求解二次函数最小值得到结果.【详解】由图形可知：为直角三角形，斜边为 ，即且，则又为中点 且设，则当时，本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积取值范围的求解，关键是能够通过线性运算将所求数量积向已知模长和夹角的向量进行转化，利用向量共线定理，构造出二次函数的形式，从而可以利用二次函数最值的求解方法得到结果.6.已知函数 ,令，则的大小关系为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式

5、可判断出函数为偶函数且在上单调递增；将的自变量都转化到内，通过比较自变量大小得到的大小关系.【详解】定义域为且为上的偶函数当时，则在上单调递增；，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数性质比较大小的问题，能够通过函数的解析式得到函数的奇偶性、单调性，将问题转化为自变量之间的比较是解决问题的关键.7.已知抛物线：的焦点为双曲线：的顶点，过点的直线与抛物线相交于、两点，点在轴上，且满足，若，则的面积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用双曲线顶点求出抛物线方程；根据，可知与中点连线垂直于；直线与抛物线联立后，借助韦达定理求出，从而可表示出，利用垂直关系求得，从而三角形面积

6、可求.【详解】由题意可知 当直线斜率不存在时，不合题意可设直线为：，且，联立，整理得：，由得： 若，则，设中点为，则点坐标为由可知 ，即由椭圆对称性可知，当，仍成立本题正确选项：【点睛】本题考查抛物线中三角形面积的求解问题，关键是能够通过长度的等量关系分析得到，从而得到斜率之间的关系，使得问题得以求解.8.已知函数的图象过点，且在上单调，把的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当且时，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】代入点求出，根据平移关系和在上单调，确定，从而得到；找到区间内的对称轴，由对称性可得的值，进而代入求得结果.详解】过点 ，即又 又的图象向右平移个单位

7、后与原图象重合 在上单调 令，解得，当时，为的一条对称轴又当，且时，本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数解析式，再利用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9.是虚数单位，复数=_【答案】【解析】【分析】根据复数除法运算的运算法则求解即可.【详解】【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.10.在二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中常数项等于_【答案】28【解析】【分析】根据二项式系数和为求得，再利用二项式

8、展开式通项公式求得结果.【详解】由题意得：二项式系数和 则展开式通项公式为：当，即时常数项：本题正确结果：【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的问题，关键是能够通过二项式系数和的性质求得.11.已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积为_【答案】【解析】【分析】先求圆锥侧面积，再求球半径，即得球体积.【详解】因为圆锥侧面积为，因此【点睛】本题考查圆锥侧面积、球表面积与体积，考查基本分析求解能力，属基础题.12.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为设点在上，点在上，则的最小值为

9、_【答案】【解析】【分析】利用参数表示点坐标，将问题转化为求到的距离的最小值；利用点到直线距离公式表示出，利用三角函数知识求得最值.【详解】由可得： 设则的最小值即为到的距离的最小值当时，本题正确结果：【点睛】本题考查距离的最值问题的求解，涉及到极坐标与直角坐标的互化，解题关键是将问题转化为点到直线距离的最值问题，通过参数方程的意义，利用三角函数的知识来求解.13.若 则的最小值是_【答案】【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【详解】则，即 由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相

10、等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.14.已知函数，函数有四个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】将问题转化为与有四个不同的交点的问题；画出图象后可知，当与在和上分别相切时，两切线斜率之间的范围即为所求的范围，利用导数几何意义和二次函数的知识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范围.【详解】有四个零点等价于与有四个不同的交点当时，当时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增 当时，此时由此可得图象如下图所示：恒过，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点即临界状态为与两段图象分别相切当与相切时，可得：当与相切时设切点坐标为，则又恒过，则即，解得： 由图象可知：【

11、点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围的问题，其中还涉及到导数几何意义的应用、二次函数的相关知识.解决零点问题的常用方法为数形结合的方法，将问题转化为曲线与直线的交点问题后，通过函数图象寻找临界状态，从而使问题得以求解.三、解答题：本大题6小题，共80分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15.在中，角、所对的边分别为、，且（）求角的值；（）若,，求的面积【答案】（）；（）【解析】【分析】（）利用切化弦和正弦定理可得，从而求得；（）利用余弦定理构造方程求得，代入三角形面积公式求得结果.【详解】（）由得 （）， 整理可得，解得【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应

12、用，属于常规题型.16.为响应党中央号召，学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛。现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，王同学从中任取3道题解答.（）求王同学至少取到2道乙类题的概率;（）如果王同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立，已知王同学恰好选中2道甲类题，1道乙类题，用表示王同学答对题的个数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（）；（）见解析【解析】【分析】（）至少取到道乙类题的情况可分为：取到道和道乙类题，分别计算出两种情况的取法，根据古典概型求得结果；（）首先确定所有可能的取值，再分别计算每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用数

13、学期望的公式求得期望.【详解】（）设“王同学至少取到道乙类题”为事件王同学取到道乙类题共有种取法王同学取到道乙类题共有种取法（）的所有可能取值为【点睛】本题考查古典概型的概率问题求解、离散型随机变量的分布列、数学期望的计算，属于常规题型.17.如图所示，在多面体中，四边形为平行四边形，平面平面，,，点是棱上的动点.（）当时，求证平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若二面角所成角的余弦值为，求线段的长.【答案】（）见解析；（）；（）【解析】【分析】（）通过平行四边形证得，从而根据线面平行的判定定理证得结果；（）通过作，可满足空间直角坐标系建立的条件，从而建立坐标系，利用直线与平面所成角的向

14、量求法求得结果；（）根据向量共线的性质用表示出点坐标；利用二面角的向量求法建立方程，求得的值，根据与的长度关系确定最终结果.【详解】（）由已知得且， 则四边形为平行四边形 四边形为平行四边形 又平面，平面 平面（）过点作交于点， 过点作交于点平面平面，平面平面，平面平面 以为原点建立如图的空间直角坐标系则，设平面的法向量为，即令 ， 又 直线与平面所成角的正弦值为（）， 设平面的法向量为，即，令 ，又可取平面的法向量解得 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角的求解、利用二面角求解未知量的问题.其中利用二面角求解未知量时，通常采用向量共线的性质表示出未知量

15、，再根据二面角来构造方程，从而求得未知量.18.设是等差数列的前项和，满足，是数列的前项和，满足 （）求数列,的通项公式；（）令，设数列的前项和，求的表达式【答案】（），；（）【解析】【分析】（）根据等差数列性质求得，进而得到公差；利用等差数列通项公式求得；根据可证得数列为等比数列，利用等比数列通项公式求得；（）对于奇数项和偶数项进行分组求和；奇数项采用裂项相消法求和，偶数项通项采用错位相减法求和；分别求得结果后再作和即可.【详解】（）是等差数列且 当时， 当时，又 ，即是以为首项，为公比的等比数列 （） 设前项中奇数项和为，偶数项的和为-得： 【点睛】本题考查等差和等比数列通项公式的求解、数

16、列求和问题，涉及到的求和方法有分组求和法、裂项相消法、错位相减法.关键是要明确不同求和方法所试用的通项形式，分组求和法主要适用于通项为和差运算的形式；裂项相消法主要适用于分母为因式乘积形式且两因式差为定值；错位相减法适用于通项为等差与等比数列乘积的形式.19.已知椭圆C的方程为，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.（）求椭圆C的方程；（）过动点的直线交轴的负半轴于点，交C于点(在第一象限)，且是线段的中点，过点作x轴的垂线交C于另一点，延长线交C于点.(i)设直线，的斜率分别为，证明：；(ii)求直线的斜率的最小值.【答案】（）；（）(i)见解析；(ii)【解析】【分析】（）根据抛物线焦

17、点坐标求得，再利用离心率和的关系求得，进而得到椭圆方程；（）(i)利用为线段中点表示出点坐标，再根据椭圆对称性得到点坐标；利用两点连线斜率公式表示出和，从而结论可证；(ii)将直线方程与椭圆方成立联立，利用韦达定理可用和表示出，利用同理可求得，进而利用两点连线斜率公式写出所求斜率，结合基本不等式求出最小值.【详解】（）抛物线的焦点是 且 ，椭圆的方程（）(i)设，那么是线段的中点 ，(ii)根据题意得：直线的斜率一定存在且设直线为，则直线为联立，整理得：利用韦达定理可知： 同理可得 当且仅当即为时，等号成立直线斜率最小值为【点睛】本题考察了椭圆问题中的定值类问题、最值类问题的求解，其中还涉及利

18、用椭圆几何性质求解标准方程的问题.本题整体计算量略大，易造成计算错误；解决最值问题的关键是能够将所求问题利用参数进行转化，变成关于某一参数的函数问题，通过求解函数最值求得所求问题的结果，20.已知函数（）当时，求在点处的切线方程；（）若，求函数的单调区间；（）若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（）；（）见解析；（）【解析】【分析】（）利用函数和导函数的解析式求得切点和切线斜率，从而得到切线方程；（）通过导数可知单调性由的符号决定；分别在、两种情况下判断导函数的正负，从而得到原函数的单调区间；（）通过变量迁移可将问题变为在上恒成立的问题；由与的符号易判断；构造函数，根据导函数正负可知时满足题意；而当时，由于存在使得，从而可知时，不等式不成立；由此总结可得结果.【详解】（）当时， ，函数在点处的切线方程为（）由题意，（）当时，令，得；，得所以在单调递增，单调递减（）当时，令，得；，得或所以在单调递增，在，单调递减（）令，当时，单调递增，则则对恒成立等价于即，对恒成立