高考数学分类专题复习之07数列求和

1、第七讲第七讲数列求和数列求和 高考在考什么高考在考什么 【考题回放】【考题回放】 1.设f (n) 22 2 2 L 2 A. 47103n10(nN)，则f (n)等于（ D ） D. 2 n 22 (8 1) B.(8n11) C.(8n31) 777 2 n4(81) 7 2. 等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（B） A9 B10 C11 D12 3.）数列an的前n项和为Sn，若an A1 B 1 ，则S5等于（B） n(n1) 511 C D 6630 S3 1 S6 4.设Sn是等差数列an的前n项和，若 ，则 S63S12 A. 3111

2、 B. C. D. 10389 解析解析: :由等差数列的求和公式可得 S 3 3a 1 3d1 ,可得a 1 2d且d 0 S 6 6a 1 15d3 所以 S 6 6a 1 15d27d3 ,故选 A S 12 12a 1 66d90d10 * 5.已知数列an、bn都是公差为 1 的等差数列， 其首项分别为a 1 、b1，且a1b 1 5，a 1 ,b 1 N 设 c n a bn （n N*） ，则数列cn的前 10 项和等于（） A55 B70C85D100 解：数列an、bn都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为a 1 、b1，且a1b 1 5，a 1 ,b 1 N 设 * c

3、n a bn （n N*） ， 则 数列cn的 前 10 项 和 等 于a b 1 a b2 L a b 10 =a b1 a b11 L a b19 ， a b1 a 1 (b 1 1) 4，a b 1 a b 11 L a b 19 =456L 1385，选 C. 6.对正整数n，设曲线y xn(1 x)在x2 处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列 的公式是 解：y nxn1 an 的前n项和 n 1 (n1)xn，曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线的斜率为 k=n2n-1-(n+1)2n 切点为（2，-2 ）,所以切线方程为 y+2 =k(x-2),令 x=0 得 an=

4、(n+1)2 ,令 bn= 前 n 项和为 2+2 +2 +2 =2 -2 高考要考什么高考要考什么 1直接用等差、等比数列的求和公式求和。 23nn+1 nnn a n a 2n.数列n 的 n1 n 1 na 1 (q 1) n(a 1 a n )n(n 1) 公比含字母时一定要讨论S n na 1 dS n a 1 (1qn) (q 1) 22 1q (理)无穷递缩等比数列时，S a 1 1 q 2错位相减法求和：如：a n 等差,b n 等比,求a 1b1 a 2b2 a nbn的和. 3分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 4合并求和：如：求100

5、99 98 97 2 1的和。 5裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项： 222222 1111111 () n(n 1)nn 1(2n 1)(2n 1)2 2n 12n 1 1111n11 nn! (n 1)!n! n(n 1)(n 2)2 n(n 1)(n 1)(n 2)(n 1)!n!(n 1)! nn(n 1)(2n 1)n(n 1) 23 6公式法求和 k k 62 k1k1 2 n 7倒序相加法求和 突突 破破 重重 难难 点点 【范例【范例 1 1】设数列an满足a 1 3a 2 3 a 3 3 2n1a n n * * ，aN N 3 （

6、）求数列an的通项；（）设bn 解 (I)a 1 3a 2 3 a 3 .3 2n1 n ，求数列b n的前 n项和S n a n nn1 a n , a 1 3a 2 32a 3 .3n2a n1 (n 2), 33 nn111 3n1a n (n 2).a n n (n 2). 3333 1 * 验证n 1时也满足上式，an n (nN ). 3 n23n (II) b n n3 ，Sn13 23 33 .n3 3S n 132 233334.n3n1 - ： 2S n 33 3 3 n3 23nn1 33n1n13 n3n1，S n 3n13n1 13244 【变式】【变式】已知二次函数

7、y f (x)的图像经过坐标原点，其导函数为f (x) 6x2，数列an的前 n 项和 为S n ，点(n,S n )(n N )均在函数y f (x)的图像上。 （） 、求数列a n 的通项公式； （） 、设b n 1m ，Tn是数列bn的前 n 项和，求使得Tn对所有nN都成立的最小正整数 m； a nan1 20 点评：点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题 的能力和推理能力。 解：解： （）设这二次函数f(x)ax+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x 2,得 2 a=3 , b= 2,所以f(x)3x22

8、x. 2 又因为点(n,Sn)(n N )均在函数y f (x)的图像上，所以Sn3n2n. 3 n 1) 2(n 1)6n5. 当n2时，anSnSn1（3n2n）（ 当n1时，a1S131261 5，所以，an6n5 （nN） 2 2 2 （）由（）得知bn 33111 ()， a n a n1 (6n 5)6(n 1) 52 6n 56n 1 故 Tn b i i1 n1 2 1111111(1 ) () . () （1）. 77136n 56n 126n1 因此，要使 11m1m （1）（nN）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满 26n120220 足要求的最小正整数m为 10

9、. 2 0的两个根， 【范例【范例 2 2】已知数列an中的相邻两项a2k1，a2k是关于x的方程x (3k 2 )x3kg 2kk ， 2， 3， L ) 且a2k1a2k(k 1 （I）求a1，a2，a3，a7；（II）求数列an的前2n项和S2n； 1 sinn(1)f (2)(1)f (3)(1)f (4)(1)f (n1) 3，T n （）(理)记f (n) ， 2sinna aa aa aaa 1234562n12n 求证： 15 T n (nN N* *) 624 2k2k 0的两个根为x 1 3k，x 2 2k， （I）解：方程x (3k 2 )x3kg 当k 1时，x 1 3

10、，x 2 2，所以a 1 2； 当k 2时，x 1 6，x 2 4，所以a 3 4； 当k 3时，x 1 9，x 2 8，所以a 5 8时； 当k 4时，x 1 12，x 2 16，所以a 7 12 （II）解：S2n 3n23n a 1 a 2 L a 2n (36L 3n)(2 2 L 2 )2n12 2 2n 111(1)f (n1) （III）证明：T n ，L a 1a2 a 3a4 a 5a6 a 2n1a2n 所以T 1 11115 ，T2 a 1a2 6a 1a2 a 3a4 24 1 111111(1)f (n1) 当n3时，T n ， L L 6a 3a4 a 5a6 a

11、2n1a2n 6a 3a4 a 5a6 a 2n1a2n 111 1 1 111 L ， 32n n66g2622 66g26 1 511511(1)f (n1) L 同时，T n L 24a aa aaa24a 5a6 a 7a8 a 2n1a2n562n12n 12 511 1 1 515 L 13n n249g2922 249g224 综上，当nN*N*时， 15 T n 624 * * 【变式】【变式】在数列an中，a 1 2，a n1 4a n 3n1，nN N （）证明数列ann是等比数列； （）求数列an的前n项和Sn； （）证明不等式Sn14Sn，对任意nN N皆成立 * *

12、解、 （）证明：由题设an1 4an3n1，得an1(n1) 4(ann)，nN N * * 又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列 n1n1 （）解：由（）可知ann 4，于是数列an的通项公式为an 4 n 4n1n(n1) 所以数列an的前n项和Sn 32 （）证明：对任意的nN N， * * 4 n1n(n1)4n11(n1)(n2)1 S n1 4S n 4 (3n2n4)0 2322 3 所以不等式Sn14Sn，对任意nN N皆成立 【点睛】【点睛】本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公 式、不等式的证明等基础知识，

13、考查运算能力和推理论证能力 【范例【范例 3 3】已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x+2x的图象上，其中=1，2，3， （1）证明数列lg(1+an)是等比数列； （2）设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项； （3）记bn= 2 * * 112 ，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1. a n a n 23T n 1 22a n 11，两边取对数得 解： （）由已知an1 an 2an， a n1 1 (a n 1)Q a 1 2 lg(1 a n1) 2lg(1 an )，即 lg(1a n1) 2 lg(1a n ) lg(1a n

14、 )是公比为 2 的等比数列. （）由（）知lg(1 an) 2n1lg(1 a1) 2n1lg3 lg321a n 32 （*） 012n-1 2 n1n1 32323232T n (1a 1)(1a2 )(1+a n ) 3122 由（*）式得a n 32n1 +2n-1=32n-1 1 1111112 () a n1 2 a n a n 2a n 2a n a n1 2 （）Q an1 a02anan1 an(an 2) 又bn 1111 b n 2() a n a n 2a n a n1 11111111 +) 2() a 1 a 2 a 2 a 3 a n a n1 a 1 a n1

15、 2n S n b 1 b 2 +b n 2( Q a n 32n11,a 1 2,a n1 31S n 1 2 1. 3T n 1 2 31 2n 又T n 32n1S n 【变式】【变式】已知数列xn满足x 1 x 2 1，并且 x n1 x n （为非零参数，n 2， 3， 4， ） x n x n1 （）若x 1 ，x 3 ，x 5 成等比数列，求参数的值； x 1k x 2k x nk k （）设01，常数kN N且k3证明(nN N) kx 1 x 2 x n 1 解： （I）由已知x 1 x 2 1,且 x 3 xxxxx 2x 3 ,43x 4 3,54x 5 6. x 2 x 1 x 3 x 2 x 4 x 3 226 若x1、x3、x5成等比数列，则x3 x 1x5 ,即.而 0,解得 1. （II） 证明： 设an x n1 xx n1,由已知， 数列a n是以 21为首项、为公比的等比数列， 故n1, x n x 1 x n x nk