高考数学二轮复习 专题检测9 分段函数,剪不断理还乱

1、9 9分段函数，剪不断理还乱分段函数，剪不断理还乱 2，x1， 1设函数f(x) 1log2x，x1， 1x 则满足f(x)2 的x的取值范围是_ 答案0，) 解析当x1 时，22，解得x0，所以 0x1； 1 当x1 时，1log2x2，解得x ， 2 所以x1.综上可知x0. (a3)x5，x1， 2已知函数f(x)2a，x1 x 范围是_ 答案(0,2 1x 是(，)上的减函数，那么a的取值 a30， a352a， 2 解得 0a2. 3设函数g(x)x2(xR R)， g(x)x4，xg(x)， f(x)则f(x)的值域是_ g(x)x，xg(x)， 9 答案 ，0(2，) 4 解析由

2、xg(x)得x2 时，f(x)8. 当x(，1)(2，)时，函数的值域为(2，) 9 当1x2 时， f(x)0. 4 9 当x1,2时，函数的值域为 ，0 4 9 综上可知，f(x)的值域为 ，0(2，) 4 2x (1x0)， 4已知f(x) x (00， 2 5设函数f(x) log 2(x)，xf(m)， 则实数m的取值范围是_ 解析若m0，则mf(m)，得 log2mlog2m，即 log2m0,0mf(m)得 log 2(m)log2(m)，解得 m1. xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 _ 3 答案(，2(1， ) 4 x 2，x2(xx)

3、1， 解析f(x) 222 xx，x2(xx)1， 222 3 x2，1x ， 2 即f(x) 3 xx，x ， 2 2 2 f(x)的图象如图所示，由图象可知c的取值范围为 3 (，2(1， ) 4 log2x，x0， 7已知函数f(x) f(x2)1，x0， 答案2 则f(3)的值为_ 解析f(3)f(1)1f(1)22. 2 x 2ax，x2， 2 8已知函数f(x) x 若f(f(1)3a，则a的取值范围是_ 2 1，x2， 答案13a，解得1a3. 22 2 ，x2， 9 已知函数f(x)x (x1)3，x2. 实数k的取值范围是_ 答案(0,1) 若关于x的方程f(x)k有两个不同

4、的实根， 则 解析画出分段函数f(x)的图象如图所示， 结合图象可以看出，若f(x)k有两个不同的实根，也即函数yf(x)的图象与yk有两 个不同的交点，k的取值范围为(0,1) 10 设f(x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 ， 在 区 间 1,1 上 ，f(x) ax1，1x0， bx2，0x1， x1 答案10 13 其中a，bR.若f f ，则a3b的值为_ 22 解析因为f(x)的周期为 2， 33 1 所以f f2f， 222 1 1 即f f. 22 1112 又因为fa1，f 2221 1b4 所以a1. 23 2 整理，得a (b1) 3 又因为f(

5、1)f(1)， b2 所以a1，即b2a. 2 将代入，得a2，b4. 所以a3b23(4)10. x2xa，x0， 2 2 b4 ， 3 1 2 b 其中a是实数，设A(x1，f(x1)， B(x 2，f(x2)为该函数图象上的两点，且 x 1x2. (1)指出函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值； (3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围 解(1)函数f(x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为1,0)，(0，) (2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f(x1)，点B处的切线斜率为f

6、(x2)， 又当点A处的切线与点B处的切线垂直时， 有f(x1)f(x2)1. 当x0 时，对函数f(x)求导，得f(x)2x2， 因为x1x20，所以(2x12)(2x22)1， 所以 2x120. 1 因此x2x1 (2x12)2x22 2 (2x12)(2x22)1， 当且仅当(2x12)2x221， 31 即x1 且x2 时等号成立 22 所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2x1的最小值为 1. (3)当x10 时，f(x1)f(x2)， 故x10x2. 当x10时， 函数f(x)的图象在点(x2，f(x2)处的切线方程为ylnx2 (xx2)， 即y x 2 2

7、 x 2 x 2 lnx21. 两切线重合的充要条件是 1 2x12， x2 lnx 21x 2 1a， 1 由及x10x2知，0 2. x 2 由得， alnx 2 1 121ln 1 1 1 221. x 2 4x22x2 11 2 令t ，则 0t2，且attlnt. x 2 4 1 2 设h(t)ttlnt(0t2)， 4 2 11(t1) 3 因为h(t)t1 0， 2t2t 所以h(t)(0ln 21.而当t(0,2)且趋 近于 0 时，h(t)无限增大，所以a的取值范围是(ln 21，)， 故当函数f(x)的图象在点A、B处的切线重合时，a的取值范围是(ln 21，) xa. 1

8、2(2013湖南)已知a0，函数f(x) x2a (1)记f(x)在区间0,4上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式； (2)是否存在a，使函数yf(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互 垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由 解(1)当 0xa时，f(x) 当xa时，f(x) 因此， ax ； x2a xa . x2a 3a 20，f(x)在(a，)上单调递增 (x2a) 1 若a4，则f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)f(0) . 2 当x(0，a)时，f(x) 若 0a4，则f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增 所以g(a)m

9、axf(0)，f(4) 14aa1 而f(0)f(4) ， 242a2a 4a 故当 0a1 时，g(a)f(4)； 42a 1 当 1a4 时，g(a)f(0) . 2 4a 42a，01. (2)由(1)知，当a4 时，f(x)在(0,4)上单调递减，故不满足要求 当 0a4 时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增 若存在x1，x2(0,4)(x1x2)，使曲线yf(x)在(x1，f(x1)，(x2，f(x2)两点处的切线互 相垂直 则x1(0，a)，x2(a,4)，且f(x1)f(x2)1. 3a3a 即 221. (x12a)(x22a) 3a 亦即x12a.(*) x 22a 3a3a ，1.由x 1(0，a)，x2(a,4)得 x 12a(2a,3a)， x 22a