数值分析(计算方法)总结

1、第一章 绪论 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差 x=|x-x*|是x*的绝对误差，e=x*-x是x*的误差，x=x-x*，为x*的绝对误差限（或误差限） er=ex=x*-xx为x* 的相对误差，当|er|较小时，令 er=ex*=x*-xx*相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：r 即：er=|x*-x|x*x*=r绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x*的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x*的第一位非零数字共有n位，则称近似值 x*有n位有效数字，或说 x *精确到该位。例：设x=3.1415926那么x*=3,1x=0.14159260.510

2、0,则x*有效数字为1位，即个位上的3，或说 x *精确到个位。科学计数法：记x*=0.a1a2an10m其中a10,若x-x*0.510m-n，则x*有n位有效数字，精确到10m-n。由有效数字求相对误差限：设近似值x*=0.a1a2an10m（a10）有n位有效数字，则其相对误差限为12a1101-n由相对误差限求有效数字：设近似值x*=0.a1a2an10m（a10）的相对误差限为为12（a1+1）101-n则它有n位有效数字令x*、y*是x、y的近似值，且|x*-x|x、|y*-y|(y)1. x+y近似值为x*+y*,且x+y=x+（y）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y近

3、似值为x*-y*,且x+y=x+（y）3. xy近似值为x*y*,xyx*y+y*(x)4. (xy)x*y+y*(x)|y*|21避免两相近数相减2避免用绝对值很小的数作除数3避免大数吃小数4尽量减少计算工作量第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a) 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a出发， 按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(xk)=f(a+kh)的符号，若f(xk)0(而f(xk-1)0),则有根区间缩小为xk-1,xk (若f(xk)=0，xk即为所求根), 然后从xk-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满

4、足精度：|xk-xk-1|E为止，此时取x*(xk+xk-1)/2作为近似根。2.二分法设f(x)的有根区间为a,b= a0,b0, f(a)0.将a0,b0对分，中点x0= (a0+b0)/2),计算f(x0)。对于给定精度，即b-a2klnb-a-ln()ln23.比例法一般地，设 ak,bk为有根区间，过(ak, f(ak)、 (bk, f(bk)作直线，与x轴交于一点xk,则：x=a-f(a)fb-f(a)*(b-a)1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式），使该点列收敛到方程的根

5、。这正是迭代法的基本思想。 事先估计:|x*-xk|L1-L|x1-x0|事后估计|x*-xk|11-L|xk+1-xk|局部收敛性判定定理：设x*为方程x=x的根，(x)在x*的某一邻域内连续， 且(x*)0xk+2cb+b2-4ac ,b0 设迭代 xk+1 = g(xk) 收敛到g(x) 的不动点（根） x* 设 ek = xk - x*若limkek+1ekp=C，则称该迭代为p （不小于1）阶收敛，其中 C (不为0)称为渐进误差常数第三章 解线性方程组直接法列主元LU分解法：计算主元Si=aik-r=1k-1lirurk，i=k,k+1n选主元Sik=maxkinSiu1j=a1j

6、，（j=1,2n)li1=ai1u11，（i=2,3n)ukj=akj-m=1k-1lkmumj，j=k,k+1,n，即为上式主元lik=1ukkaik-m=1k-1limumk，i=k+1,k+2,n 对于Ax=b，三角分解A=LU，Doolittle分解：L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵；Crout分解：L为下三角矩阵，U为单位上矩阵。可分解为：Ly=b，下三角方程组Ux=y，上三角方程组若利用紧凑格式可化为：Ux=yy1=b1yk=bk-m=1k-1lkmym，（k=2,3n） Cholesky平方根法：系数矩阵A必须对称正定AX=bLy=bLTx=y(其中A=LLT)l11=a11，

7、li1=ai1l11(i=2,3n)lkk=akk-m=1k-1lkm2，lik=1lkk(aik-m=1k-1limlkm)(i=k+1,k+2n，k=2,3n) 改进Cholesky分解法：A=LDLTL=1l211l31l321ln1ln2ln(n-1)1，D=d1d2dn。由A=L(DLT)A=1l211l31l321ln1ln2ln(n-1)1，D=d1d1l21d1l31d1ln1d2d2l32d2ln2d3ln3dn，逐行相乘lij=1dj(aij-k=1j-1likdkljk)，（j=1,2i-1)di=aii-k=1j-1lik2dk，（i=1,2n)为减少计算量，令cij=

8、lijdj，可改为：cij=aij-k=1j-1cikljklij=cijdjdj=aii-k=1i-1ciklik(i=2,3n，j=1,2i-1)，等价于Ly=bLTx=D-1y其中：D-1=1d11d21dn 追赶法：Ax=d(A=LU),可化为Ly=d,Ux=yA=a1c1b1a2c2an-1bn-1cn-1anbn=1l21ln-11ln1u1c1u2c2un-1cn-1unu1=b1li=aiui-1ui=bi-lici-1，（i=2,3n) 向量范数：A1=i=1nxi，1-范数A2=i=1nxi2，2-范数或欧氏范数A=limp+xp=max1inxi，-范数矩阵范数：A1=m

9、ax1jni=1naij，列范数A2=maxATA，谱范数A=max1inj=1naij，行范数谱半径:A=max1ini为特征值,且AA,若A为对称阵则：A=A2收敛条件：谱半径小于1条件数：Cond=A-1*A，Cond2A=maxmin第四章 解线性方程组的迭代法Jacobi迭代：xi(k+1)=1aii(bi-j=1i-1aijxjk-j=i+1naijxjk),(i=1,2n;k=0,1,2) 基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代:xi(k+1)=1aii(bi-j=1i-1aijxjk+1-j=i+1naijxjk),(i=1,2n;k=0,1,2)迭代收敛：谱半径小

10、于1，范数小于1能推出收敛但不能反推 逐次超松弛迭代（SOR）:xi(k+1)=xi(k)-aii(bi-j=1i-1aijxjk+1-j=i+1naijxjk),(i=1,2n;k=0,1,2)或：xi(k+1)=1-xik+aii(bi-j=1i-1aijxjk+1-j=i+1naijxjk),(i=1,2n;k=0,1,2) 当=1时，就是基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代（加权平均）。第五章 插值法 Lagrange插值法：ljxi=0，ij1，i=j，则ljx=i=0nx-xixj-xi构造插值函数：Lnxi=fxi=yi，i=0,1n，令Lx=l0xy0+l1xy1

11、+ln(x)yn 则：y=Lnx=j=0nljxyj=j=0ni=0ijn(x-xi)(xj-xi)yj 若记：wx=x-x0x-x1x-xn=i=0n（x-xi） 则可改为：ljx=wn+1(x)x-xjwn+1(xj)，则Lnx=j=0ni=0ijn(x-xi)(xj-xi)yj=j=0nw(x)x-xjw(xj)yj 则插值余项：Rnx=fx-Lnx=fn+1n+1!wn+1(x) 逐次线性插值法Aitken （埃特金法）：L 0,1k,lx=L0,1kx+L0,1k-1x-L0,1kxxl-xkx-xk=1xl-xkf(xl)x-xlf(xk)x-xk Newton插值法： N(x)=

12、a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+an(x-x0)(x-x1)(x-xn)并满足N(x)=f(x) 差商的函数值表示：fx0,x1xk=i=0kf(xi)wk+1(xi) 差商与导数的关系：fx0,x1xk=fn()n! 则：fx=fx0+fx0,x1w1x+fx0,x1xnwnx+fx,x0,x1xn+1wn+1x 等距节点Newton插值公式： Newton向前插值：Nna+th=fx+k=1nky0tk，其中tk=tt-1(t-k+1)k! 余项：Rnx=fn+1hn+1tn+1，t=x-x0h Newton向后插值：Nnxn+th=fxn+k=1nkynt+k-1k

13、 余项：Rnx=fn+1hn+1t+nn+1 Hermite插值：Hx=j=0njxyj+j=0njxyj jx=Ax+Blj2x，jx=Cx+Dlj2(x) 可得：ix=1-2x-xik=0kin1xi-xkli2(x)ix=x-xili2(x) 插值余项：R2n+1x=fx-H2n+1x=f2n+22n+2!wn+12(x) 待定系数：Hx=L0,1n(Aitken)+x-x1*x-x2*x-xn*(Ax+B) 三次样条插值：（三弯矩构造法） 记sxi=Mi对s积分两次并满足插值条件，hi=xi-xi-1，i=hihi+hi+1，i=hi+1hi+hi+1 对于附加弯矩约束条件：21222

14、32n-2n-12M1M2M3Mn-1=6fx0,x1,x2-1M06fx1,x2，x36fx2,x3，x46fxn-2,xn-1,xn-n-1MniMi-1+2Mi+iMi+1=6fxi-1,xi,xi+1 对于附加转角边界条件：21121222n-12n-112M0M1M2Mn-1Mn=6fx0,x1-m0h1fx0,x1，x2fx1,x2，x3fxn-2,xn-1,xnmn-fxn-2,xn-1,xnhn 对于附加周期性边界条件：200121222n-22n-2n-1n-22M0M1M2Mn-2Mn-1=6fx0,x1-fxn-1,xnh1+hnfx0,x1，x2fx1,x2，x3fxn

15、-3,xn-2,xn-1fxn-2,xn-1,xnsx=Mi-1(xi-x)36hi+Mi(x-xi-1)36hi+fxi-1-Mi-1hi26xi-xhi+fxi-Mihi26x-xi-1hi 上式保证了s(x)在相邻两点的连续性第六章 函数逼近与曲线拟合 主要求法方程第七章 数值积分与数值微分 求积公式具有m次代数精度的充要条件：abxkdx=i=0nAixik，k=0,1n，abxm+1dxi=0nAixim+1 插值型求积公式abfx=dxi=0nAif(xi)求积系数公式：Ai=ablixdx，i=0,1n Newton-Cotes（等分） 梯形求积公式（n=1），具有1次代数收敛精

16、度abfxdxb-a2fa+fb 误差公式：E1f=-b-a312f() 抛物型求积公式（Simpson求积公式，n=2），具有3次代数收敛精度abfxdxb-a6fa+4fa+b2+fb 误差公式E2f=-b-a52880f（4）() Newton求积公式（Simpon3/8法则） 具有3次代数收敛精度Nfb-a8fa+3fa+h+3fa+2h+fb，h=b-an Cotes求积公式（n=4），具有5次收敛精度abfxdxb-a907fa+32fa+h+12fa+2h+32fa+3h+7fb，h=b-an 误差公式E4f=-2（b-a)945(b-a4)6f（6）() 节点数为奇数时，代数精

17、度为n;为偶数时，代数精度为n+1。代数精度都是奇数。 复化梯形求积公式：Tnf=h2fa+2i=1n-1fxi+f(b) 截断误差：Ern(f)=-b-a12h2f() 复化Simpson公式：Snf=h6fa+2i=1n-1fxi+4i=0n-1fxi+12+f(b) 截断误差：Esnf=-b-a2880h4f4() 复化Cotes求积： Cnf=h907fa+14i=1n-1fxi+32i=1n-1fxi+h4+12i=1n-1fxi+h2+32i=1n-1fxi+3h4+7fb 截断误差：Ecnf=-2b-a945h46f6() 若一个复化积分公式的误差满足 limh0Rfhp=C且C

18、 0，则称该公式是 p 阶收敛的。 复化求积公式（需要2n+1个求积节点） Romberg求积算法：Sn=43T2n-13TnCn=1615S2n-115SnRn=6463C2n-163Cn 复化梯形求积公式：T2nf+13T2nf-Tnf=Sn(f) 复化Cotes求积公式：C2nf+163C2nf-Cnf=Rn(f) Gauss型求积公式： 内积公式：p,n+1=abpxn+1xxdx 截断误差：Enf=f2n+1()2n+2!abn+1x2xdx，（a,b） 高斯求积公式代数精度为2n+1 Gauss-Legendre求积公式（注意区间（-1,1），变换可得）：形如：-11fxdxi=0nAif(xi)求积系数可通过代数精度或插值型求积公式求积系数公式求出，亦可由下式求得：Ai=21-xi2pn+1x2，i=0,1n 截断误差：Enf=22n+3n+1!42n+32n+