5第三章轴向拉压变形

1、1,上一讲回顾,许用应力 极限应力 n安全因数 强度条件 (变截面) (等截面) 由强度条件解决的几类问题 强度校核 截面设计 确定承载能力 等强原则与最轻重量设计 连接部分的强度计算（假定计算法）,2,材料力学分析的基本过程,外力,材料性能,强度准则,3,第三章 轴向拉压变形,3-1 引言,3-3 桁架的节点位移,3-2 拉压杆的变形与叠加原理,4,思考：为什么要研究变形？下述问题是否与变形相关？,各杆内力？,A点位移? 是否与力F 同方向？,3-1 引言,5,3-2 拉压杆的变形与叠加原理,纵向变形：杆件沿轴向或载荷方向的变形 横向变形：垂直于轴向或载荷方向的变形, 杆件受轴向载荷时，其轴

2、向与横向尺寸均发生变化。,6, 拉压杆的轴向变形与胡克定律,拉压刚度,线弹性范围适用,7, 拉压杆的横向变形与泊松比,横向正应变,试验表明：在比例极限内，横向正应变与轴向正应变成正比 一般 符号相反。,定义：,泊松比,8, 关于泊松比, 1821年，纳维首次用分子理论研究各向同性弹性体的 平衡问题，其基本方程中只包含一个弹性常数。, 1825年，柯西把纳维的理论推广到各向异性弹性体， 当退化到各向同性弹性体时得到两个弹性常数。但柯 西认为纳维的单常数理论才是正确的。, 1829年，泊松用纳维柯西方法讨论板的平衡问题时 指出，各向同性弹性杆受到单向拉伸，产生纵向应 变，同时会联带产生横向收缩，此

3、横向应变为-x， 并证明=1/4。纳维柯西泊松的单常数理论,9, 1833年，格林研究电磁波在弹性介质表面上的反射与 折射时，首次用能量法证明，各向同性弹性材料的应 变能函数中应当包括两个弹性常数。, 许多人进行试验来验证泊松比为1/4的理论结论 维尔泰姆(1848)：试验结果表明接近1/3； 基尔霍夫(1859)：测出了三种钢材和两种黄铜， 1/4； 科尔纽(1869)：光学干涉法测出玻璃=0.237;, 1879年，马洛克测出了一系列材料的泊松比，指出泊松 比是独立的材料常数，否定了单常数理论。,10,常见材料的性能参数,对于各向同性材料，弹性模量E、泊松比 与剪切模量G 存在如下关系：,

4、11, 横向应变中的横向：横截面上任意一点沿面内任意方向, 泊松比：对于大多数各向同性材料00.5, 关于横向变形的两点说明,铜泡沫： = 0.39,12,例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。,思考：当圆管受拉时，外径减小，内径增大还是减小？,13,例：已知E， ， D，d，F，求D和d的改变量。,解：,先求内周长,设ds 弧长改变量为du,14,圆管横截面积变不变？,圆管体积变不变？,15,一般情况下，材料受拉体积会增加，所以我们推断泊松比小于0.5。橡胶与石蜡是两种受拉时体积几乎无变化的材料，因此其泊松比接近于极限值0.5。另一方面，软木的泊松比接近于0，即拉伸时横向几乎不收缩。,1

5、6,矢量推力结构设计+橡胶材料本构模型,17, 多力杆的变形与叠加原理 (superposition principle),求整段杆的变形：,方法：分段求变形，再相加。,步骤：1、分段求轴力；(截面法) 2、分段求变形； 3、求代数和。,变形叠加法,18,长度分解计算变形然后叠加,19,解：距端点x处截面的轴力为,总伸长为,例：已知 ，求,(1) 为常量,dx 微段伸长,20,解：(a)取长度为x的杆段为分离体；,(c)轴力,(e)总伸长：,(b)分离体内再取微段 ，微段载荷,(2) 为变量,(d) 微段伸长：,例：已知 ，求 （续）,需两次积分，第一次求轴力，第二次求总伸长。,21, 计算拉

6、压杆变形的第二种方法载荷叠加法, 几组载荷同时作用所产生的总效果，等于各组 载荷单独作用产生的效果总和。,22,+,=,注意：分解后须保持构件平衡,载荷分解的方式,23,叠加原理：几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和。,叠加原理的适用范围,*材料线弹性,*小变形,*结构几何线性,24, 从数学上理解叠加法,当函数是线性函数时，叠加原理成立,1、线弹性：物理线性应力与应变的关系,2、小变形：几何线性用原始尺寸进行受力分析 (几组外力之间没有耦合作用),25,叠加原理成立。,叠加原理不成立。,材料线性问题，,材料非线性问题，,26,3-3 桁架的节点位移,例：已知 ,

7、求桁架节点A的水平与铅垂位移,解：1、轴力与变形分析,(拉),(缩短),(压),(伸长),27,2、节点A的位移的精确计算 及其困难。,位移求法：杆1伸长 到 点， 杆2伸长 到 点， 以B、C为圆心作圆交于A点,计算困难：解二次方程组；在几 何构形变化的同时内 力也在变化，需迭代 求解。,28,小变形：与结构原尺寸相比 为很小的变形。,实用解法： *按结构原几何形状与尺 寸计算约束反力与内力； *采用切线代圆弧的方法 确定节点位移。,3、小变形问题实用解法,作业题 14 说明其精度与工作量,29,4、节点位移计算,30,例：ABC刚性杆，B为杆中点，求节点C的位移。,然后画B点位移,思考：BB,CC铅垂向下，刚性杆ABC杆为什么能伸长？,再画C点位移,答：切线代圆弧的近似。,1,解：先计算杆1内力 与伸长,31,例：画出节点A的位移,杆两端均为可动点情形： 平移+变形(伸长或缩短)+ 转动(切线代圆弧),32,提问,33,零力杆：求A点的位移。,34,提问,35,*设想固定BD中点 和BD方位,例：求A，C相对位移,*D点随OD 杆变形发 生位移，DC杆平 移、伸长、转动， 由对称性，C点到 达C点。,36,纵向变形与横向变形的定义 纵向变形与横向变形的定义泊松比 拉压杆变形的求解方法 变形叠加