1987A盐存储问题-赵轶星

1、1987A 盐储存问题在几乎15年的时间里，美国一个中西部的州把在冬天用在路上的盐储存在圆形的拱顶里。图1表明了盐在过去是怎么储存的。前卸式装载车沿着盐坡进入拱顶，可以把盐带入或者带出拱顶。用前卸式装载车的铲斗，可以把盐堆积到25到30英尺高。最近，一个专家组认为这样的方法是不安全的。如果前卸式装载车太靠近盐堆的边缘，盐就可能会移动，装载车可能会被抛向加固拱顶的挡墙。专家组这样建议，如果盐是用装载车堆起来的，那么盐堆应该被限制在最大高度为15英尺内。建立一个这种情况的数学的模型，并且找出盐堆的拱顶的建议的最大高度。图1. 盐储存拱顶图专家评论这个题目是由Maynard Thompson（印第安

2、纳大学数学系）提供的。印第安纳州是题目里提到的州。156份论文中只有31份是解决这个问题的，因此可以分析这个题目比1987年另一个题目更难。两支特等奖的队伍（来自University of Colorado和Moorhead State University(MN)）认为能安全堆积到（至少）英尺，比专家组的建议的15英尺增加了相当的多，即增加了40%的盐存储量。盐储存问题小题大做摘要根据专家组建议的安全高度，我们找到盐堆的最大高度大约为21.7英尺。我们建立一个运用了装载策略的模型来得到有三个参数的方程，这个方程用来求最大高度。我们确定了这个方程在解的附近是稳定的。三个参数的值在10%的范围内

3、变化仅会引发解的值在8%的范围内变化。我们执行一个计算机模型来生成盐堆的三维图像，用来计算体积和反映我们的装载策略。问题重述一个中西部的州必须要储存盐来应付冬天。历史上，盐是被用前卸式装载车储存在圆形拱顶的建筑里。盐被堆积到25到30英尺高。最近，一个专家组认为盐堆高于15英尺时用前卸式转载车是不安全的。我们在强调专家组建议的“绝对”安全下使盐堆的存储量最大来解决这个问题。假设l 拱顶的底部不会承受任何侧向负荷。l 加固强会承受任何4英尺高的侧向负荷l 盐堆的高度是通过测量拱顶的基部面积得到l 专家组的“绝对安全”限制的建议是，能让前卸式装载车在盐堆表面的任何地点行走都不出现滑行。定义一个非颗

4、粒粘性物质（盐）的临界（或者滑动）角是物质堆积时会滑动的最大的角，这个角是根据水平线测量的。例如。当一团物质放置的倾斜度接近临界角时，会导致物质的流动，直到得到新的临界角。临界角是依赖于物质的。因此这里有两个值得注意的角。对于一个前卸式装载车，有一个铲斗的到达半径。分析一种分析（从微观角度）是建立一个模型，包括盐的物理参数，装载车的质量还有盐在振动和切边和压力的变化的情况下怎么表现的。另一种选择是从宏观上，它仅仅依赖于三个参数，但可能严密性低：l 盐的滑动角度（用度度量），我们用来表示；l 前卸式装载车在盐上的滑动角度（用度度量），我们用来表示；l 前卸式装载车的到达半径，我们用来表示。我们发

5、觉这三个参数可以推导出或者（也是更好地）实验地确定。更深一层。这个简化允许我们把重心放在使盐堆达到最大高度并且保持专家组的“绝对”安全的建议的方法上。模型设计首先，我们分析前卸式装载车。我们引用坐标，之前称为到达半径，定义装载车倾卸时铲斗可以达到的半径。这个坐标根据轮子的基部来量度。装载车可以根据盐堆临界角和装载车的到达半径来建立盐堆（见图1）。盐堆建立的高度是 。图1. 前卸式装载车在水平平面当装载车是在向上的斜坡（见图2）盐堆的高度是决定于，因此有。图2. 前卸式装载车在向上的斜坡上相反地，如果装载车是在向下的斜坡上，盐堆的高度是决定于，因此有。图3. 前卸式装载车在向下的斜坡上既然我们推

6、断到了装载车的极限，我们下一个要分析的是在拱顶里储存的盐堆。“绝对”安全的条件在图4中表示出来，其中是装载车在盐堆上的临界角。根据我们的假设，装载车应该能去到圆锥形表面的任何地方。角可以得到 。更进一步，因为25到30英尺的高度是可能的，并且假设的值大约是5英尺（见图5），我们有 。这个值可以推测装载车的接近半径为ft 。因为为10.5英尺，因此预计为5英尺或者是合理的。这些值都是我们用来决定盐堆的最大高度的。图4. 盐堆图5. 确定参数的值图6. 专家组对盐堆的建议我们相信图6代表了专家组的建议并且是一个安全表面。如果装载的操作遵循下列几条步骤，有可能储存更多的盐：l 填满拱顶，直到达到绝对

7、安全的限制。l 增加的盐放在盐表面的顶部，从门的对面开始，并且围绕拱顶的边缘操作。司机被命令绝对不要把装载车开到增加的盐上。l 新的卸下的盐要放在上次装载走的盐对面的位置l 为了保证盐堆的稳定，装载车要沿着斜坡行驶。要避免在斜坡上转弯，所有转弯需要在安全表面的顶部完成。l 最后，装载车要装填通向门口的斜坡的路径。如果遵循了这些简单的步骤，那么在满足“绝对”安全的条件下，拱顶可以储存更多的盐。半径为的拱顶里盐堆的最大的高度（用英尺度量）是运用之前得到的值，我们可以得到 ft。最后盐堆的横截面由图7表明图7. 最后盐堆的横截面模型的检验和估计测试一个模型意味着寻找一些方法验证它的有效性。因为安全性

8、是首要考虑到，我们建议建立一个真实的检验。这个包括在一个空旷的地方建立一个盐堆，使前卸式装载车能自由地滑下。根据实验得来的值，我们可以运用上面的方程得到一个三维图形（见图8）更近一步，这个图形可以用来作为我们概括出来的前卸式装载车技术的说明和指导。 为了估计盐堆的体积，我们应用辛普森规则来对图形表面积分。根据我们例子里的数值，它的体积是3,892 立方码（cu yd）。优点和缺点这个模型的优点是足够简洁。如果我们必须向门外汉解释我们如何得到我们的建议，我们能没有困难地向他阐述。模型里需要用到三个特定的参数，这些参数是容易被辨别的。这个模型的缺点也是它的简洁性。因为仅仅运用了宏观角度的参数，我们可能忽略了关键点。我们的敏感度分析推出： 。图8a. 安全的表面图8b. 第二层图8c. 回填运用推导出的，和的值，让他们变化10%，得到 ft 。大约是8%的变化。这些值表明了我们的模型是稳定的。参考文献Scott, Ronald F., and Jack J. Schoustra. 1986. Soil: Mechanics and Engineering. New York: McGraw-Hill.Sokolovskii, V.V. 196