江西省赣州市2015届高三数学一模试卷(理科)(解析版)

1、2015年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合a=x|x2x20，b=x|log4x0.5，则（）aab=bbacarb=rdab2在复平面内，复数对应的点的坐标为（）a（0，1）bcd3已知y=f（x）是定义在r上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）y=f（|x|）；y=f（x）；y=xf（x）；y=f（x）+xabcd4已知双曲线x2=1的两条渐近线的夹角为60，且焦点到一条渐近线的距离大于，则b=（）a3bcd5要从由n名成员组成的小组中任意选派3人去参加某次社会调查若在男生甲被选中

2、的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，则n的值为（）a4b5c6d76某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，（从第三项起每一项等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（）ac=a；i9bb=c；i9cc=a；i10db=c；i107已知向量，若向量满足与的夹角为120，则=（）a1bc2d8设an是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）a10b5c0d59一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a32b18c16d1010如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2a，b，若 f（x1）=f（x2），有，则（

3、）af（x）在上是减函数bf（x）在上是减函数cf（x）在上是增函数df（x）在上是减函数11过抛物线c：y2=2px（p0）的焦点且斜率为2的直线与c交于a、b两点，以ab为直径的圆与c的准线有公共点m，若点m的纵坐标为2，则p的值为（）a1b2c4d812已知函数f（x）=（a3）xax3在1，1的最小值为3，则实数a的取值范围是（）a（，1b12，+）c1，12d二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，513展开式中的常数项为14若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则m的值15a、b、c三点在同一球面上，bac=135，bc=2，且球心o到平面abc的距离为1，则此球o的体积

4、为16已知数列an满足，sn是其前n项和，若s2015=1007b，且a1b0，则的最小值为三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，且（）求角a的大小；（）若a=3，sinc=2sinb，求b、c的值18在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，平面pad平面abcd，pdpb，pa=pd（）求证：平面pad平面pab；（）设e是棱ab的中点，pec=90，ab=2，求二面角epcb的余弦值19某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为a，b，c，d，e五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，

5、该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为e的学生有8人（）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为a的人数；（）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望20已知椭圆e：的焦距为2，a是e的右顶点，p、q是e上关于原点对称的两点，且直线pa的斜率与直线qa的斜率之积为（）求e的方程；（）过e的右焦点作直线与e交于m、n两点，直线ma、na与直线x=3分别交于c、d两点，设acd与amn的面积分别记为s1、s2，求2s1s2的最小值21设函数f（x）=（e为自然对数的底），曲

6、线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=x+b（）求a、b的值，并求函数y=f（x）的单调区间；（）设x0，求证：f（x）请考生在第22、23、24两题中任选一题作答，并用2b铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分选修4-1：几何证明选讲22如图，已知ab为圆o的一条直径，以端点b为圆心的圆交直线ab于c、d两点，交圆o于e、f两点，过点d作垂直于ad的直线，交直线af于h点（）求证：b、d、h、f四点共圆；（）若ac=2，af=2，求bdf外接圆的半径选修4-4：坐标系与参数方程23已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重

7、合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合点a、b的极坐标分别为（2，）、（ar），曲线c的参数方程为为参数）（）若，求aob的面积；（）设p为c上任意一点，且点p到直线ab的最小值距离为1，求a的值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x|+|2xa|（）当a=1时，解不等式f（x）1；（）若不等式f（x）a2对任意xr恒成立，求实数a的取值范围2015年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合a=x|x2x20，b=x|log4x0.5，则（）aab=bbacarb=rd

8、ab【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】集合【分析】先根据不等式的解法求出集合a，再根据对数的单调性求出集合b，根据子集的关系即可判断【解答】解：x2x20，（x2）（x+1）0，解得1x2a=（1，2），log4x0.5=log42，0x2，b=（0，2），ba，故选：b【点评】本题考查了不等式的解法和函数的性质，以及集合的包含关系，属于基础题2在复平面内，复数对应的点的坐标为（）a（0，1）bcd【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数=i对应的点的坐标为（0，1），故选：a【点评】本题考查了复数的运算法则、几何

9、意义，属于基础题3已知y=f（x）是定义在r上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）y=f（|x|）；y=f（x）；y=xf（x）；y=f（x）+xabcd【考点】函数奇偶性的判断【专题】计算题【分析】由奇函数的定义：f（x）=f（x）逐个验证即可【解答】解：由奇函数的定义：f（x）=f（x）验证f（|x|）=f（|x|），故为偶函数f（x）=f（x）=f（x），为奇函数xf（x）=xf（x）=xf（x），为偶函数f（x）+（x）=f（x）+x，为奇函数可知正确故选d【点评】题考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，是基础题4已知双曲线x2=1的两条渐近线的夹角为60，且焦点到一条渐近线的

10、距离大于，则b=（）a3bcd【考点】双曲线的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出双曲线的渐近线方程，由夹角公式得到b的方程，再由焦点到渐近线的距离为b，解不等式可得b1，再解b的方程即可得到b【解答】解：双曲线x2=1（b0）的两条渐近线方程为y=bx，即有tan60=|=|=，设焦点（c，0）到一条渐近线的距离为d=b，即有b，解得b1，则有b22b=0，解得b=，故选c【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，同时考查两直线的夹角公式和点到直线的距离公式的运用，属于基础题5要从由n名成员组成的小组中任意选派3人去参加某次社会调查若在男生甲被

11、选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，则n的值为（）a4b5c6d7【考点】条件概率与独立事件【专题】计算题；概率与统计【分析】利用在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，建立方程，即可求n的值【解答】解：由题意，在男生甲被选中的情况下，只需要从其余n1人中选出2人，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中，即从其余n2人中选1人即可，故=0.4，n=6，故选：c【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础6某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，（从第三项起每一项等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（）a

12、c=a；i9bb=c；i9cc=a；i10db=c；i10【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】由斐波那契数列从第三项起每一项等于前两项的和，由程序框图从而判断空白矩形框内应为：b=c，模拟执行程序框图，当第8次循环时，i=10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出s的值，即可得判断框内应为i9【解答】解：由题意，斐波那契数列0，1，1，2，从第三项起每一项等于前两项的和，分别用a，b来表示前两项，c表示第三项，s为数列前n项和，故空白矩形框内应为：b=c，第1次循环：a=0，b=1，s=0+4=1，i=3，求出第3项c=1，求出前3项和s=0+1+1=2，a=1，b=1，满足

13、条件，i=4，执行循环；第2次循环：求出第4项c=1+1=2，求出前4项和s=0+1+1+2=4，a=1，b=2，满足条件，i=5，执行循环；第8次循环：求出第10项c，求出前10项和s，此时i=10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出s的值故判断框内应为i9故选：b【点评】本题考查的知识点是程序框图解决实际问题，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题7已知向量，若向量满足与的夹角为120，则=（）a1bc2d【考点】平面向量数

14、量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】运用坐标求解， =（x，y），得出x2y=5，根据夹角公式得出=，即=，整体代入整体求解即可得出=2选择答案【解答】解：设=（x，y），4=（1，2），|4|=，x+2y=5，即x2y=5，向量满足与的夹角为120=，即=，=，=2故|=2，故选：d【点评】本题综合考查了平面向量的数量积的运算，运用坐标求解数量积，夹角，模，难度不大，计算准确即可完成题目8设an是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）a10b5c0d5【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a

15、1+a10=0，则可求得数列的前10项和等于0【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d（d0），由，得，整理得：2a1+9d=0，即a1+a10=0，故选：c【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a32b18c16d10【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】结合直观图可得几何体是正方体的一半，根据正方体的棱长为4，计算几何体的体积【解答】解：由三视图知：几何体是正方体的一半，如图：已知正方体的棱长为2，几何体的体积v=43=32故选：a【点评】本题考查了由三视图求

16、几何体的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量10如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2a，b，若 f（x1）=f（x2），有，则（）af（x）在上是减函数bf（x）在上是减函数cf（x）在上是增函数df（x）在上是减函数【考点】正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件根据函数y=asin（x+）的图象特征，求得a+b=，再根据f（a+b）=2sin=，求得的值，可得f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性得出结论【解答】解：由函数图象的一部分，可得a=2，函数的图象关于直线x=对称，a+b=x1+x2由五点法作图可得2a+=0，2b+=，a+

17、b=再根据f（a+b）=2sin（2+）=2sin=，可得sin=，=，f（x）=2sin（2x+）在上，2x+（，），故f（x）在上是增函数，故选：c【点评】本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求解析式，函数y=asin（x+）的图象特征，正弦函数的单调性，属于中档题11过抛物线c：y2=2px（p0）的焦点且斜率为2的直线与c交于a、b两点，以ab为直径的圆与c的准线有公共点m，若点m的纵坐标为2，则p的值为（）a1b2c4d8【考点】抛物线的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】取ab的中点n，分别过a、b、n作准线的垂线ap、bq、mn，垂足分别为p、

18、q、m，作出图形，利用抛物线的定义及梯形的中位线性质可推导，|mn|=|ab|，从而可判断圆与准线的位置关系：相切，确定抛物线y2=2px的焦点，设直线ab的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理可得ab的中点m的纵坐标为，由条件即可得到p=4【解答】解：取ab的中点n，分别过a、b、n作准线的垂线ap、bq、mn，垂足分别为p、q、m，如图所示：由抛物线的定义可知，|ap|=|af|，|bq|=|bf|，在直角梯形apqb中，|mn|=（|ap|+|bq|）=（|af|+|bf|）=|ab|，故圆心n到准线的距离等于半径，即有以ab为直径的圆与抛物线的准线相切，由m的纵坐标为2，即n的纵坐标为2

19、，抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），设直线ab的方程为y=2（x），即x=y+，与抛物线方程y2=2px联立，消去x，得y2pyp2=0 由韦达定理可得ab的中点n的纵坐标为，即有p=4，故选c【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系、直线圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属中档题12已知函数f（x）=（a3）xax3在1，1的最小值为3，则实数a的取值范围是（）a（，1b12，+）c1，12d【考点】函数的最值及其几何意义【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】分析四个选项，可发现c、d选项中a可以取0，故代入a=0可排除a、b；再注意c、d选项，故将代入验证即可；从而得

20、到答案【解答】解：当a=0时，f（x）=3x，x1，1，显然满足，故a可以取0，故排除a，b；当时，所以f（x）在1，1上递减，所以，满足条件，故排除c，故选：d【点评】本题考查了函数的最值的求法及排除法的应用，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，513展开式中的常数项为80【考点】二项式系数的性质【专题】计算题；二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：的展开式的通项公式为tr+1=令155r=0，解得r=3，故展开式中的常数项为80，故答案为：80【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展

21、开式中某项的系数14若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则m的值【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用三角形的面积，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，若对应的区域为三角形，则m2，由，得，即c（m，m），由，得，即b（m，），由，得，即a（2，2），则三角形abc的面积s=（m）（2m）=，即（2m）2=，解得2m=，或2m=，即m=或m=（舍），故答案为：；【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合作出对应的图象，利用三角形的面积公式是解决本题的关键15a、b、c三点在同一球面上，bac=135，bc=2，且球

22、心o到平面abc的距离为1，则此球o的体积为4【考点】球的体积和表面积【专题】空间位置关系与距离；球【分析】运用正弦定理可得abc的外接圆的直径2r，再由球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，即可求得球的半径，再由球的体积公式计算即可得到【解答】解：由于bac=135，bc=2，则abc的外接圆的直径2r=2，即有r=，由于球心o到平面abc的距离为1，则由勾股定理可得，球的半径r=，即有此球o的体积为v=r3=（）3=4故答案为：4【点评】本题考查球的体积的求法，主要考查球的截面的性质：球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，同时考查正弦定理的运用：求三

23、角形的外接圆的直径，属于中档题16已知数列an满足，sn是其前n项和，若s2015=1007b，且a1b0，则的最小值为【考点】数列递推式；基本不等式【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】由已知递推式得到a2+a3=2，a4+a5=4，a2012+a2013=2012，a2014+a2015=2014，累加可求s2015，结合s2015=1007b求得a1+b=1，代入展开后利用基本不等式求最值【解答】解：由已知得：a2+a3=2，a4+a5=4，a2012+a2013=2012，a2014+a2015=2014，把以上各式相加得：s2015a1=2014+1006=1008，s2015=

24、a11008=1007b，即a1+b=1，=故答案为：【点评】本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的和，训练了利用基本不等式求最值，是中档题三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，且（）求角a的大小；（）若a=3，sinc=2sinb，求b、c的值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】（1）由已知利用正弦定理余弦定理可得： =，化为2sinccosa=sin（a+b）=sinc，即可得出；（2）利用正弦定理余弦定理即可得出【解答】解：（1）由正弦定理余弦定理得=，2sinccosa=sin（a+b）=sinc，sin

25、c0，a（0，），（2）由sinc=2sinb，得c=2b，由条件a=3，由余弦定理得a2=b2+c22bccosa=b2+c2bc=3b2，解得【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，平面pad平面abcd，pdpb，pa=pd（）求证：平面pad平面pab；（）设e是棱ab的中点，pec=90，ab=2，求二面角epcb的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）根据面面垂直的判定定理

26、即可证明平面pad平面pab；（）建立空间坐标系，利用向量法进行求解即可【解答】（1）证明：因为平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，abad所以ab平面pad又pd平面pad，所以pdab又pdpb，所以pd平面pab而pd平面pcd，故平面pcd平面pab（2）如图，建立空间直角坐标系设ad=2a，则a（a，0，0），d（a，0，0）b（a，2，0），c（a，2，0），p（0，0，a），e（a，1，0），则得，设平面pec的一个法向量，由得令x1=1，则，设平面pec的一个法向量，由得，令y2=1，则设二面角epcb的大小为，则故二面角epcb的余弦值为【点评】本题主要考查

27、空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，利用向量法是解决空间二面角的常用方法19某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为a，b，c，d，e五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为e的学生有8人（）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为a的人数；（）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】概率与统计【分析】（i）利用数据统计

28、图求出该班有40人，由此能求出该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为a的人数（ii）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20，分别求出相应的概率，由此能求出两人成绩之和的分布列和数学期望【解答】解：（i）因为“铅球”科目中成绩等级为e的考生有8人，所以该班有80.2=40人，所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为a的人数为40（10.3750.3750.150.025）=400.075=3（ii）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20 ，所以的分布列为x1617181920p所以所以的数学期望为【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是

29、中档题，解题时要认真审题，注意数据统计图的合理运用20已知椭圆e：的焦距为2，a是e的右顶点，p、q是e上关于原点对称的两点，且直线pa的斜率与直线qa的斜率之积为（）求e的方程；（）过e的右焦点作直线与e交于m、n两点，直线ma、na与直线x=3分别交于c、d两点，设acd与amn的面积分别记为s1、s2，求2s1s2的最小值【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（i）通过p、q是e上关于原点对称的两点，且直线pa的斜率与直线qa的斜率之积为，及焦距为2，计算可得a2=4，b2=3，从而可得e的方程；（ii）设直线mn的方程为x=my+1，m（x1，y1），n（x2

30、，y2），可得直线ma的方程，联立直线mn与椭圆e的方程，利用韦达定理可得s1，s2的表达式，通过换元法计算可得结论【解答】解：（i）根据题意，设p（x0，y0），q（x0，y0），则，依题意有，又c=1，所以a2=4，b2=3，故椭圆e的方程为：；（ii）设直线mn的方程为x=my+1，代入e的方程得（3m2+4）y2+6my9=0，设m（x1，y1），n（x2，y2），由韦达定理知，又直线ma的方程为，将x=3代入，得，同理，所以，所以，则2s1s2=3，令，则m2=t21，所以，记，则，所以f（t）在1，+）单调递增，从而f（t）的最小值为，故2s1s2的最小值为【点评】本题考查椭圆的简

31、单性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，换元法等知识，注意解题方法的积累，属于难题21设函数f（x）=（e为自然对数的底），曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=x+b（）求a、b的值，并求函数y=f（x）的单调区间；（）设x0，求证：f（x）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题；证明题；导数的综合应用【分析】（）先求导，由题意令，从而解得a=2；从而再求得，由导数确定函数的单调区间；（）所证不等式等价于，又由，可先证，从而证明不等式成立【解答】解：（）因为，而，所以，解得a=2；所以，因此，由知，当x1时，f（x）0，当x1且x2时，f（

32、x）0；故f（x）的单调增区间是（1，+），减区间是（，2）和（2，1），（）证明：所证不等式等价于，因为，先证，记，g（x）=ex2x2，记u（x）=ex2x2，则u（x）=ex2，由此可知，u（x）在（，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增；因为u（1）u（2）0，u（1）u（0）0，故g（x）=0在（0，+）只有一个零点x1（1x12），且，所以g（x）在（0，x1）递减，在（x1，+）递增，所以当x0时，即，又，所以，即，故【点评】本题考查了导数的综合应用及放缩法证明不等式的应用，属于难题请考生在第22、23、24两题中任选一题作答，并用2b铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号

33、右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分选修4-1：几何证明选讲22如图，已知ab为圆o的一条直径，以端点b为圆心的圆交直线ab于c、d两点，交圆o于e、f两点，过点d作垂直于ad的直线，交直线af于h点（）求证：b、d、h、f四点共圆；（）若ac=2，af=2，求bdf外接圆的半径【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段【专题】直线与圆【分析】（）由已知条件推导出bffh，dhbd，由此能证明b、d、f、h四点共圆（2）因为ah与圆b相切于点f，由切割线定理得af2=acad，解得ad=4，bf=bd=1，由afbadh，得dh=，由此能求出bdf的外接圆半径【解答】（）证明：因为ab为圆o一条直径，所以bffh，又dhbd，故b、d、f、h四点在以bh为直径的圆上，所以b、d、f、h四点共圆（2）解：因为ah与圆