数学模型数学建模 第二次作业 微分方程实验

1、二微分方程实验1、微分方程稳定性分析绘制以下自主系统的相应轨道，显示沿t的运动方向，确定平衡点，并将它们分类为稳定、渐近稳定或不稳定：解：(1)根据定义，代数方程的实际根是系统的平衡点，即P(0，0)。利用直接法判断其稳定性。在点P(0，0)处，系统线性近似方程的系数矩阵具有特征值1=1，2=1；P=-( 1 2)=-20，q=12=10；从稳定性的情况表可以看出平衡点(0，0)不稳定。图形如下：(2)根据定义，代数方程的实际根是系统的平衡点，即P(0，0)。利用直接法判断其稳定性。求解特征值1=-1， 2=2。P=-( 1 2)=-10，q=12=-20；易记平衡点(0，0)不稳定。(3)根

2、据定义，代数方程的实际根是系统的平衡点，即P(0，0)。利用直接法判断其稳定性。特征值1=0 1.4142i，2=0-1.4142 I；P=-( 1 2)=0，q=12=1.4142；易记平衡点(0，0)不稳定。(4)根据定义，代数方程的实际根是系统的平衡点，即P(1，0)。利用直接法判断其稳定性。得到特征值1=-1， 2=-2。P=-( 1 2)=3，q=12=2；易记平衡点(1，0)稳定。2、人口增长模型电影中的一群病菌倾向于繁殖成一个圆群。如果病菌数为n，每个成员的增长率为R1，则存在马尔萨斯生长法，但周围表面的病菌因寒冷而受损，得出其比例为R2，n满足的微分方程。未求解的解决方案族。方

3、程式是否有平衡解决方案，如果有，是否稳定？解决方案：根据标题列出n满足的微分方程。(1)相应的解决方案为N1=0，N2=；=；可以从(1)获取：(2)解决方案N=绘制N(t)的图形，即微分方程的解，如下图所示。您可以看到N1=0不稳定。N2=稳定。3、单一人口发展模式考虑单种群发展方程：绘制不解决的族分析曲线。(2)用数学表达式证明：在稳定状态下，最佳捕鱼率为E*=解法：从这个问题的目标出发，就不需要知道渔场达到稳定平衡状态时的情况每时每刻的语量变化，不需要解方程，而是需要讨论方程的平衡点，分析其稳定性。平衡点：F(x)=0 (1)满足点称为方程式的平衡点。解决的两个平衡点是：而且，计算两个解

4、决方案E-r和r-E很容易平衡点稳定意味着方程(1)的所有解都是常数(2)根据一阶近似方程式确定平衡点x*是否稳定。(3)判断。方程式的一般解法如下：因此，得出了以下结论：如果是，则x*是稳定的平衡点。X*不是稳定的平衡点。应用上述近似判别法在Er中，x0不是稳定的平衡点。x1表示：结果分析：渔场产量下降到x1=0，破坏性捕捞无法持续。进一步讨论：如何控制捕鱼强度e最大限度地提高Ex0的持续生产：结论：最佳捕捞率为。4、Gompertz型号渔场渔民增长遵循Gompertz模型。其中r是固有增长率，n是最大对象数。如果单位时间捕鱼量。论述渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求得最大持续产量和最大产量的捕

5、捞强度和渔场鱼量水平。解决方案：变化规律的数学模型如下记忆(1)命令，有平衡点。又来了。平衡点的引入是稳定的，但平衡点不稳定。0(2)最大持续生产的数学模型如下：可以从前面的结果中得到，命令获得最大产量的捕捞强度获得最大的可持续生产。此时渔场的鱼数量水平。5、有限的资源竞争模型：微分方程假定两个物种为共同有限资源而竞争的模型为c1a1，c2a2。测试微分方程稳定性理论分析：(1)为(2)的情况下，(3)用图形分析方法说明上述两种情况解决方案：(1)命令方程式的平衡点为P0(0，0)、P1(，0)、P2(0，)。平衡点P0(0，0)、系数矩阵C1a1，c2a2为p=-(c1-a1) (c2-a2

6、) 0，因此平衡不稳定。这样：平衡点P1(，0):系数矩阵P=，q=，假设C1a1、c2a2，则Q0不稳定P2(0，)具有P0，Q0稳定。这时，物种1最终灭亡了。(2)在某些情况下，方程式在P1(，0)中稳定，另一点不稳定，说明物种2最终会灭亡。(。6，想罗伦兹模式其中=10、=28、=8/3和初始值为x1(0)=x2(0)=0、x3(0)=，是较小的常数，=10-10(1)解释为函数ode45，并绘制x2到x1、x2到x3、x3到x1的平面图。(2)适当调整参数、值和初始值x1(0)、x2(0)=0、x3(0)，然后重复一个操作，以确定发生了什么。解决方案：1.编写用户定义的函数，并在edi

7、t中生成“Lorenz.m”的m文件。程序包括：Function dy=Lorenz(，y)Dy=zeros(3，1)；dy(1)=10 *(-y(1)y(2)；dy(2)=28 * y(1)-y(2)-y(1)* y(3)；dy(3)=y(1)* y(2)-8 * y(3)/3；End2.在edit中创建 Lzdis.m 的m文件以用于解决和出图。程序如下：t，y=ode 45 (Lorenz，0，30，12，2，9)；Figure(1)Plot(t，y(:1)Figure(2)Plot(t，y(:2)Figure(3)Plot(t，y(:3)Figure(4)Plot3 (y (:1)、y

8、 (:2)、y (:3)Plot3 (y (:1)、y (:2)、y (:3)执行结果如下：Figure(1)是x1对t的更改图y(1)Figure(2)是x (2)或x2中t的更改图Figure(3)是t的y(3)(x3)更改图Figure(4)是x1x2 x3的空间图4.“蝴蝶效应”验证洛伦兹方程的解对初始值非常敏感，对x2的初始值稍加修改，将2更改为2.01和1.99，稍后求解x3的数值解。使用Edit命令，以下程序将创建“lzsensi.m”的m文件：Clf霍尔德t，u=ode 45 (Lorenz，0 15，12，2，9)；Plot(t、u(:3)、Color、r)；t，v=ode

9、45 (Lorenz，0 15，12，2.01，9)；Plot(t，v(:3)，Color，b)；t，w=ode 45 (Lorenz，0 15，12，1.99，9)；Plot(t，w(:3)，Color，k)；在其他初始条件下对x运行x3图形。黑线(k)表示初始值条件为12，1.99，9时的x3-t图形绿线(b)表示初始值条件为12，2，9时的x3-t图形红线(r)表示初始值条件为12，2.01，9时的x3-t图形不难看出：随着时间的推移，三条曲线的重合程度越来越差，差距越来越大，变化越来越不明显，混乱状态。2.3加分实验(餐厅废弃物堆肥优化问题)环保型餐厅用微生物把剩下的食物变成肥料。在食

10、堂每天剩下的食物做成肉饼，与蔬菜底部和少量的纸混合，放入霉菌株，然后放入容器。霉菌消化了这种混合原料，制成了肥料，原料充足，因此肥料需求旺盛，希望餐厅能增加肥料生产。由于不能购买新设备，饭店想以增加真菌活力的方法加快肥料生产。分析了以前的肥料生产记录，如表2.1所示，建立了反映肥料生产机制的数学模型，提出了改善肥料生产的建议。解决方案：根据问题的说法，将食物浆与蔬菜底和少量纸张混合，以原料为原料，放入霉菌株，在容器内发酵，变成肥料。为了提高肥料产量，在不购买新设备的条件下，依靠增加真菌活力的方法，加快了肥料生产。实验记录显示了食品和蔬菜的底料、碎纸的数量，并给出了投入日期和生产日期，以便了解肥

11、料的产生时间。通过分析温度、湿度、透射比，还确定了生产肥料的最佳方案。因此，我们的问题可以解释为：1、在什么温度下生产肥料的速度最快？2，什么湿度下肥料产生得最快？3、哪种供给比例下肥料产生得最快。为了解决上述问题，必须知道肥料产生的天数，并计算相应天数下食物纸浆、蔬菜底料、碎纸之间的比例。此外，通过比较建立温度和湿度的图像，建立最合适的生成机制。在解决这个问题的过程中，主要使用控制变量方法。寻找资料，使用北方温度和湿度作为模版，构建温度和湿度的图像。首先执行模型假设。1无论质量损失如何，都将容器视为关闭。2基于北方的温度和湿度。3真菌的数量相同，早期的活力也相同。4容器内生化反应过程的温度不

12、受人为因素控制，但受外部环境的影响。饭店没有温度调节的投资。5在反应开始之前，真菌和发酵物分开存放，没有反应。6容器内的霉菌分布均匀，发酵处于最佳状态。7计算一段时间内温度和湿度的平均值。建立数学模型：首先建立食品浆和蔬菜底的比例，以比例为横坐标，以肥料生成时间为纵坐标建立坐标系，形成图像。编号(食品浆/蔬菜底)比碎纸肥料生成天数12.7741902821.4177202733.3809502742.4756102652.8243303361.9811303678.0666703583.4375004791.86364949100.95000649111.50980749121.3684264

13、9食品浆和蔬菜脚比与肥料生成天数的关系7、8月的输出明显短，生成速度显着高，但增加碎纸的容器分解速度较低。可以看出，4号食品浆和蔬菜底料的比例为2.5左右，没有破碎，7月27日至8月22日生产时间最短，生产率最高。比较5 8组和9 12组，可以发现添加粉碎纸的早上市时间大大增加，粉碎纸对真菌活力的减缓。因此，食物浆和蔬菜下的脚比例为2.5左右，没有碎纸，透射时间为7月末，真菌活性最大，所需时间最快。然后变换图像，使横坐标按顺序对齐。不考虑温度和湿度，当比率为2.47561时，您会发现输出速度最快。找到资料，找到北部的平均气温和相对湿度，制作了图像：月平均温度(摄氏度)相对湿度百分比1-0.46

14、3206533.47048.473513.47761887721.594823.589921.373101664119.164122.763创建图像：和我们一般的理解一样，北部夏天温度高(相对湿度高)，用于分解食物的酶活动也高，此时菌种的活力相对高。事实上，如果绘制平均气温和湿度的曲线，并比较上述曲线，就会发现，它具有一般的最佳生成机制。摘要为了提高肥料产量，菌株必须在适当的温度和湿度条件下合理地具有配比。我们模型知道，温度为21.523.5，相对湿度为73 94%时，肥料生成速度比0.40344快。一阶常微分方程的初值问题数值解法是近似计算中非常重要的一部分。常微分方程初值问题的数值解法是求点行方程的近似值，其中是到的步长，通常用表示。常微分方程初值问题的数值解法一般分为两类。(1)一步方法：这些方法在计算时仅使用、和，即上一步中的值。因此，如果有初始值，则可以逐步计算。常用方法是longe-kuta方法。(2)多阶段方法：在计算时使用上一阶段的值，但、和除外。一般方法，例如ADAMS方法。经典方