微积分下册主要知识点

1、首先，第一种交换元素积分法(聚集差分法)。二、常用的凑微分公式第三，第二种替代方法,注：上述例子都是三角形替换。三角形替换的目的是消除根形式。一般规则如下：当被积函数包含a)可以订购b)可以订购c)可以订购当有理分式函数中分母的阶数较高时，通常使用逆代换。Iv .积分表续4.3按零件集成部分积分公式：(3.1)(3.2)分部积分本质上是求两个函数乘积的导数(或微分)的逆运算。一般来说，对于以下类型的被积函数(其中m和n是正整数)，通常考虑部分积分。5.1定积分的概念5.2定积分的性质增加了两项规定：(a)当时，(b)当时，自然1属性2 (k是常数)。自然3。自然4属性5(如果它存在于间隔中)推

2、论1如果它在区间内推论2性质6(评价定理)假设M和M分别是区间上函数的最大值和最小值，那么性质7(定积分中值定理)如果一个函数在闭区间上是连续的，那么它至少有一个点，这使得5.3微积分的基本公式一、导言二、积分上限函数及其导数：定理2如果一个函数在区间上是连续的，那么这个函数是表上的一个原始函数。第三，牛顿-莱布尼茨公式定理3如果一个函数是区间上连续函数的原始函数，那么。(3.6)公式(3.4)被称为牛顿-莱布尼茨公式。5.4定积分和分部积分的积分替换法一、定积分变换积分法定理1如果一个函数在闭区间上是连续的，该函数满足以下条件：(1)和；(2)在(或)上有连续的导数，有。(4.1)公式(4.

3、1)被称为定积分的代换公式。定积分的转换公式与不定积分的转换公式非常相似。但是，在应用定积分转换公式时，应注意以下两点：(1)当变量x变为新变量t时，积分极限也应变为对应于新变量的积分极限，上限对应于上限，下限对应于下限；(2)在得到一个原始函数后，不必像计算不定积分那样把它转换成原始变量X的函数，只需分别代入和减去新变量T的上下限即可。二、定积分的分部积分或者5.5广义积分一、无限极限的广义积分第二，无界函数的广义积分5.6定积分的几何应用一、微量元素法对于定积分的所有应用问题，所需量一般可以用定积分的形式按照“除、求和、取极限”三个步骤来表示。微元法是应用学科中广泛使用的将所需量(总量)表

4、示为定积分的方法，可以抽象出来。该方法的主要步骤如下：(1)用除法写出微量元素。根据具体问题，选择一个积分变量，如积分变量，并确定其变化区间。取任一区间微量元素，求出对应于区间微量元素上分量的近似值，即求出所求总量的微量元素。；(2)根据表示总量的定积分的书写，用微元书写积分微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等领域有着广泛的应用。本节和下一节主要介绍微元法在几何和经济学中的应用。应用微元法解决实际问题时，应注意以下两点：(1)总需求量相对于区间应该是可加的，也就是说，如果区间被分成许多部分区间，它将相应地被分成许多部分量，这些部分量等于所有部分量的总和。这个要求是由定积分本身的概念决定的；

5、(2)使用无穷小方法的关键是正确地给出某些量的近似表达式，即使它是可以得到的。在正常情况下4.平行横截面积是已知固体的体积：如果固体不是旋转体，但它知道垂直于某一轴的固体横截面积，那么固体的体积也可以用定积分计算。体积微量元素要求三维体积5.7积分在经济分析中的应用6.1空间解析几何导论首先，空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了一个平面直角坐标系，通过平面直角坐标系，我们将平面上的点映射到有序阵列(即点的坐标)。同样，为了将空间中的任何一点映射到有序阵列，我们建立了一个空间直角坐标系。在穿过空间中的某个点o后，三个相互垂直的数轴被记录为轴(水平轴)、轴(垂直轴)和轴(垂直轴)，它们统称为

6、坐标轴。它们形成一个空间直角坐标系(图6-1-1)。空间直角坐标系有两种：右手坐标系和左手坐标系。我们通常使用右手系统。第二，空间中两点之间的距离三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面上任意一点的坐标满足方程，而不在曲面上的任意一点的坐标不满足方程，则该方程称为曲面的方程，曲面称为方程的图形空间曲面研究中的两个基本问题是：(1)了解曲面上各点满足的几何条件，建立曲面方程；(2)了解曲面方程，研究曲面的几何形状。飞机平面是空间中最简单也是最重要的曲面。可以证明空间中的任何平面都可以用三元二次方程。(1.3)反之亦然。其中，是不全为零的常数。方程(1.3)被称为平面的一般方程。圆筒定义2

7、由平行于某一条直线并沿某一条曲线运动的直线形成的轨迹称为圆柱体。这条曲线被称为圆柱体的准线，而这条移动的直线被称为圆柱体的母线。二次曲面在空间直角坐标系中，我们使用一系列平行于坐标平面的平面来切割曲面，从而获得平面和曲面之间的一系列交线(即切割标记)。通过综合分析这些切割痕迹的形状和性质，我们可以了解曲面形状的全貌。这种研究曲面的方法称为平面切割法，简称切割标记法。椭球体(1.4)椭圆抛物面()双曲抛物面双曲面结构双叶双曲面二次锥面6.2多元函数的基本概念首先，平面区域的概念：内部点、外部点、边界点、开集、连通集、区域和封闭区域二、二元函数的概念定义1让D是平面上一组非空的点。如果平面上的任何

8、一点都有一个唯一确定的实数对应于它，根据某种规则，它被称为二进制函数。它在该点的函数值被记录为，也就是说，其中x和y被称为自变量，z被称为因变量。点集D被称为函数的定义域，而点集D被称为函数的值域。类似地，可以定义三个或更多变量的函数。当时，N变量函数统称为多元函数。二元函数的几何意义第三，二元函数的极限定义2假设一个函数在一个点的偏心邻域中有一个定义。如果一个点无限接近一个点，而这个函数无限接近一个常数，那么这个函数的极限就叫做a。请注意。或者()也记录为或者二元函数的极限和一元函数的极限具有相同的性质和运算规则，这里不再详细描述。为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限称为二重极限。

9、第四，二元函数的连续性定义3让二元函数在一个点的邻域内有一个定义，如果,据说在这一点上是连续的。如果函数在点处是不连续的，则称它在点处是不连续的。与一元函数相似，二进制连续函数经过四次运算和复合运算后仍然是二进制连续函数。一个二元函数，它特别地，有界闭区域中的连续二元函数也有类似于闭区域中的连续函数所满足的定理。我们在下面列出这些定理，但没有证明。定理1(最大值和最小值定理)对于有界闭区域D上的二元连续函数，其最大值和最小值分别在D上至少获得一次。定理2(有界性定理)有界闭区域D上的二元连续函数在D上是有界的定理3(中值定理)对于有界闭区域D上的二元连续函数，如果它在D上获得两个不同的函数值，

10、它在D上获得两个值之间的任何值至少一次。6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算方法定义1让一个函数在一个点的邻域内有一个定义。当Y固定在，X的增量为时，相应的函数有一个增量如果有，那么这个极限被称为函数在该点对x的偏导数，它被记录为例如，有。类似地，函数在y点的偏导数是,记住上述定义表明，当计算多元函数对自变量的偏导数时，只需将其他自变量视为常数，然后直接用一元函数的导数公式和复合函数的导数规则来计算。其次，关于多元函数的偏导数，增加以下解释：(1)对于一元函数，导数可以看作函数的微分与自变量的微分的商，但偏导数的符号是一个整体。(2)与一元函数相似，分段函数在分段点上的偏导数应该用偏导数的定义

11、来确定。(3)在一元函数的微分学中，我们知道如果一个函数在某一点有导数，它在该点一定是连续的。然而，对于多元函数，即使函数的每个偏导数都存在，也不能保证函数在该点上是连续的。例如，二元函数此时的偏导数是然而，从上一节中的示例5可知，该函数在某些点上是不连续的。第三，偏导数的几何意义假设曲面的方程是，曲面上的一个点，通过该点的一个平面，以及切割曲面的一条曲线。等式是然后偏导数表示上述曲线在指向轴线向前方向的点处的切线斜率(图6-3-1)。类似地，偏导数是曲线切线的斜率，该切线在y轴向前的点处被平面切割。第四，偏导数的经济意义假设对一种产品的需求，其中p是产品的价格，y是消费者的收入。请注意，需求

12、Q对价格P和消费者收入Y的部分变化如下和显然，它表明了从价格到价格的平均变化率当价格是p，消费者的收入是y时，q到p的变化率被说明这是需求对价格的部分弹性。同样，它表示从Y到Q到收入Y的平均变化率。然而表示当价格为p时，消费者收入为y，q为y的变化率。说这是需求q对收入y的部分弹性。五、柯布-道格拉斯生产函数商业和经济中经常考虑的生产模型是柯布-道格拉斯生产函数,其中包括2个劳动单位和3个资本单位生产的产品数量(资本是机器、场地、生产工具和其他供应品的成本)。偏导数它们分别被称为人力边际生产率和资本边际生产率。第六，高阶偏导数让函数在该区域有偏导数如果这两个函数的偏导数存在，它们被称为函数的二

13、阶偏导数。根据变量的求导顺序，有四个二阶偏导数如下：二阶和三阶偏导数称为混合偏导数。类似地，可以定义三阶、四阶和一阶偏导数。我们统称二阶和二阶偏导数为高阶偏导数。定理1如果一个函数的两个二阶混合偏导数在D区域是连续的，那么就有。6.4全差分一，微分的定义定义1，如果该函数是po的全增量定理1(必要条件)如果一个函数在一个点上是可微的，那么该点上的函数的偏导数必须存在，并且该点上的全微分必须存在。(4.4)我们知道单变量函数在某一点的可微性是该点可微的一个充要条件，但对多变量函数来说不是。定理1的结论表明，二元函数的每个偏导数的存在只是一个完全微分存在的必要条件，而不是一个充分条件。因此，对于多

14、元函数，偏导数的存在不一定是可微的。因为函数的偏导数只描述函数在一点上沿坐标轴的变化率，而全导数描述函数沿不同方向的变化。然而，如果在偏导数中加入一些附加条件，函数的可微性是可以保证的。总的来说，我们有：定理2(充分条件)如果一个函数的偏导数在某一点上是连续的，则该函数可以在该点上微分。三、微分的计算传统上，自变量的增量通常被称为自变量的微分。因此，函数的总微分表示为(4.5)上述二元函数完全微分的充要条件同样可以推广到三元和三元以上的多元函数。例如，三元函数的全微分可以表示为(4.6)4.总微分在近似计算中的应用如果二元函数在一点上的两个偏导数是连续的和小的，那么根据全微分的定义，有也就是说，由此，我们可以得到二元函数完全微分的近似计算公式。(4.7)6.5复合函数微分法和隐函数微分法一、多元复合函数的微分方法1.复合函数的中间变量是一元函数设置一个函数，形成一个复合函数(5.1)等式(5.1)中的导数称为全导数。2.复合函数的中间变量是多元函数的情况让我们建立一个复合函数(5.3)(5.4)3