自动控制理论例题集锦-第5章

1、第5章 线性系统的频域分析法例1 单位反馈系统的开环传递函数为，试根据频率特性的物理意义，求在输入信号为作用下系统的稳态输出和。解：1. 求系统的稳态输出。系统闭环传递函数为闭环频率特性为闭环幅频特性为闭环相频特性为输入信号为作用下，闭环幅频和相频分别为因此系统的稳态输出2. 求系统的误差稳态输出。系统的误差传递函数为误差频率特性为输入信号为作用下，误差的幅频和相频分别为因此系统误差的稳态输出为例2 已知单位反馈系统的开环传递函数为，当系统的输入时，闭环系统的稳态输出为，试计算参数和的数值。解：系统闭环传递函数为闭环频率特性为输入信号为，闭环幅频和相频分别为 （5-1） （5-2）由式（5-1

2、）、（5-2）易求得、。例3 试绘制下列开环传递函数的幅相特性，并判断其负反馈闭环时的稳定性。1. 2. 解：1. 系统的开环频率特性为曲线的起点：系统为型，时，曲线的终点：时，因系统中无开环零点，所以相频特性单调递减，易知幅相曲线与实轴有交点。下面求幅相曲线与实轴交点的坐标令，得代入，得系统为型，系统幅相曲线起始时渐进线是平行于虚轴的直线，其横坐标为根据以上分析，可概略地作出幅相曲线，如图5-1所示。图5-1由系统的开环传递函数知，系统无右半平面开环极点，即。由图5-3可见，幅相曲线不包围点。根据奈氏判据，系统负反馈闭环时稳定。2. 系统的开环频率特性为曲线的起点：系统为型，时，曲线的终点：

3、时，因系统中有开环零点，所以相频特性单调递减，易知幅相曲线与实轴有交点。下面求幅相曲线与实轴交点的坐标令，得代入，得：根据以上分析，可概略地作出幅相曲线，如图5-2所示。图5-2由系统的开环传递函数知，系统无右半平面开环极点，即。由图5-2可见，幅相曲线不包围点。根据奈氏判据，系统负反馈闭环时稳定。例4 已知系统开环传递函数为，试用奈奎斯特稳定判据判断闭环系统的稳定性，并确定的取值范围。解：1. 系统的开环频率特性为曲线的起点：系统为型，时，系统为型，系统幅相曲线起始时渐进线是平行于虚轴的直线，其横坐标为曲线的终点：时，易知幅相曲线与实轴有交点。令，得代入，得根据以上分析，可概略地作出幅相曲线

4、，如图5-5所示。图5-3由系统的开环传递函数知，系统有一个右半平面开环极点，即。系统为型，应逆时针补画一个半径为无穷大的1/4圆。根据奈奎斯特判据，由图5-3可见当时，幅相曲线过点，系统临界稳定；当时，幅相曲线正穿越次数，负穿越次数，曲线包围点圈数，故有，系统稳定。当时，幅相曲线正穿越次数，负穿越次数，曲线包围点圈数，故有，系统不稳定。例5 已知系统开环传递函数为，试概略绘制系统的开环幅相曲线，并求使系统稳定的的范围。解:系统的开环频率特性为曲线的起点：时，曲线的终点：时，当幅相曲线与实轴相交时，有根据以上分析，可概略地作出幅相曲线，如图5-4所示。图5-4根据奈奎斯特稳定判据，当 ，即时，

5、系统稳定。例6 已知系统开环传递函数为，试绘制系统的开环对数频率特性。解：系统开环传递函数为开环频率特性的表达式系统为0型且，故对数幅频曲线最左端曲线斜率为0dB/dec，其高度为；微分环节的交接频率为，惯性环节的交接频率为。因非最小相位环节的对数幅频特性与最小相位环节相同，故可绘制出系统开环对数幅频曲线。再根据其相频表达式绘制相频渐近线曲线如图5-5所示。图5-5例7 已知系统开环传递函数为，试绘制系统的开环对数频率特性，并确定剪切频率。解：系统开环传递函数为因此，系统的开环增益为系统为型，一阶微分环节的交接频率rad/s，振荡环节的交接频率为rad/s，绘制系统的开环对数频率特性如图5-6

6、所示。由图可见，低频段与0dB线相交于 rad/s。图5-6例8. 某系统的结构图和开环幅相曲线如图5-7所示。图中；试判断闭环稳定性，并决定闭环特征方程正实部根个数。图5-7解：绘制内环的幅相曲线。系统内环的开环传递函数为曲线起点：曲线终点：易绘制出内环的幅相曲线如图5-7所示。图5-7由图可见，内环幅相曲线不包围，因为无右半平面的极点，故内环稳定，即系统开环传递函数无右半平面极点。由系统的开环开环幅相曲线可知，开环幅相曲线在左侧正、负穿越的次数，故有，所以系统在右半平面的极点数即闭环系统在右半平面有2个极点，系统不稳定。例8. 已知最小相位系统的对数幅频渐进特性曲线如图5-8所示，试确定系

7、统的开环传递函数。（a） （b） （c）图5-8解：（1）由图5-8（a）知低频段渐近线的斜率为0dB/dec，说明开环系统为0型，且有故有 根据各交接频率处曲线斜率的变化，确定对应的典型环节：处，斜率变化20dB/dec，故对应的是惯性环节的交接频率；处，斜率变化20dB/dec，故对应的是一阶比例微分环节的交接频率；处，斜率变化20dB/dec，故对应的是惯性环节的交接频率。因此，系统的开环传递函数为式中，下面来求。由图列写直线方程即 故系统的开环传递函数为（2）由图5-8（b）知低频段渐近线的斜率为-40dB/dec，说明开环系统的积分环节数；又因为低频段的延长线与0dB线交于10rad

8、/s1处，故有根据各交接频率处曲线斜率的变化，确定对应的典型环节：处，斜率变化20dB/dec，故对应的是一阶比例微分环节的交接频率；处，斜率变化-20dB/dec，故对应的是惯性环节的交接频率。因此，系统的开环传递函数为式中，下面来求、。由图列写直线方程即 故系统的开环传递函数为（3）由图5-8（c）知低频段渐近线的斜率为40dB/dec，说明开环系统的积分环节数；又因为低频段在处的幅值为20dB，故有根据各交接频率处曲线斜率的变化，确定对应的典型环节处，斜率变化-40dB/dec，由修正曲线知对应的是二阶振荡环节的交接频率；处，斜率变化-20dB/dec，故对应的是惯性环节的交接频率。因此，系统的开环传递函数为式中，。下面求。二阶振荡环节在谐振频率处的修正值为，由修正曲线修正值为20dB，即解得。系统的开环传递函数为例9. 若单位反馈系统的开环传递函数为试确定使系统稳定的值范围。解：系统开环频率特性为曲线起点：曲线终点：若曲线与负实轴的交点在-1的右侧，则曲线不包围点，系统稳定。令解得的最小正值为。因此与负实轴的交点为当，即时，系统临界稳定。当时，系统稳定。例10. 设单位反馈控制系统的开环传递函数试确