§2初等数论--整除

1、数论是竞赛数学中最重要的一部分，特别是在1991年，IMO在中国举行，国际上戏称那一年为数论年，因为6道IMO试题中有5道与数论有关。 数论的魅力在于它可以适合小孩到老头，只要有算术基础的人均可以研究数论在前几年还盛传广东的一位农民数学爱好者证明了哥德巴赫猜想，当然，这一谣言最终被澄清了。可是这也说明了最难的数论问题，适合于任何人去研究。 初等数论最基础的理论在于整除，由它可以演化出许多数论定理。,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,2,第一章 整数的可除性,整除性理论是初等数论的基础，本章要介绍,带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公,算术基本定理以及,倍数，,它们的一些应用。,2

2、020/6/21,阜阳师范学院 数科院,3,中小学数学中的一些数论问题：,4.已知: 782 + 8161能被57整除，求证：783 +8163也能 被57整除。,1.设n为整数，求证:24n(n+2)(5n+1)(5n1).,2.已知66X1998Y，求所有满足条件的六位数X1998Y.,3.有一个自然数乘以9后，得到一个仅由数字1组成 的多位数，求这个自然数最小为多少？,2020/6/21,4,5. 100个正整数之和为101101，则它们的最大公约 数的最大可能值是多少?证明你的结论。,2020/6/21,5,1.1 整除的概念 带余数除法,一、整除的概念,相关概念：因数、约数、倍数、奇

3、数、偶数。,注：显然每个非零整数a都有约数 1，a，称这四个 数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。,例1 有一个自然数乘以9后，得到一个仅由数字1组成 的多位数，求这个自然数最小为多少？,12345679,2020/6/21,6,二、整除的性质,定理1传递性,定理2,定理3,例2 (1) 已知：x和y是整数，13( 9x + 10y )， 求证：13( 4x + 3y )；,(2)若 a ,b 是整数，且7( a + b ), 7( 2ab )， 证明:7|( 5a + 2b )。,2020/6/21,7,三、带余数除法,定理4 设a与b是两个整数，b 0，则存在唯一 的两个整数q

4、和r，使得,定义2：（1）式通常写成,并称q为a被b除所得的不完全商； r叫做a被b除所得的余数； (2)式称为带余数除法。,2020/6/21,8,证明：,存在性：考虑整数序列,则a必在序列的某两项之间(包括这两项），,即存在一个整数q，使得,唯一性：反证略,定理4 设a与b是两个整数，b 0，则存在唯一 的两个整数q和r，使得,2020/6/21,9,例3 利用带余数除法，由a, b的值求q, r .,如果允许b取负值，则要求,2020/6/21,10,证明：,由带余除法有,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,11,例5 设n为整数，求证：24n(n+2)(5n+1)(5n1).,证

5、明：f ( n ) = n ( n + 2 ) ( 5n + 1 ) ( 5n1 ),= n ( n + 2 ) ( n21) + 24n2,= ( n1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) + 24 n3 ( n + 2 ),4!( n1) n ( n + 1 ) ( n + 2 ),2424 n3 ( n + 2 ),24f ( n ).,练习：对于任意的五个自然数,证明其中必有3 个数的和能被3整除。,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,12,例6 已知： 782 + 8161能被57整除，,求证：783 +8163也能被57整除。,证明：783 + 8163 = 7

6、( 782 + 8161 )7 8161 + 8163,= 7 ( 782 + 8161 ) + 8161 57,782 + 8161和57都能被57整除,原式得证。,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,13,习题选讲,P44,设a, b是任意两个整数，,证明：存在两个整数s, t，使得,并且，当b为奇数时，s, t是唯一的。b为偶数呢？,则a必在此序列的某两项之间，,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,14,存在性得证 ；下证唯一性.,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,15,当b为奇数时，式中的等号不能成立，,当b为偶数时,s, t可以不唯一，举例如下：,注：该例为简化辗

7、转相除法求最大公约数提供了依据。,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,16,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,17,1.2 最大公因数与辗转相除法,一、最大公因数,例1 已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数 为15，求这两个数。,15与150，或30与135，或45与120， 或60与105，或75与90.,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,18,练习：100个正整数之和为101101，则它们的最大 公约数的最大可能值是多少?证明你的结论。,若这100个数互不相同呢？,1001,定理1：有关最大公因数的结论,注：定理1(3)给出了求最大公因数的方法,辗转相除法.,

8、2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,19,二、辗转相除法,每次用余数去除除数，直到余数为0停止，这种运算,方法称为辗转相除法。即有,( * ),或,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,20,定理2 在上面的表达式( * )中，有,证明：,另一方面，,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,21,证明：先考虑两个数的情形，,一方面，,另一方面，由辗转相除法可以得到，,对于多个整数的公因数，利用,可以证明.,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,22,例2 求下面各组数的最大公因数。,解：,1859 1573,1,1573,286,5,1430,143,2,286,0,注：亦可通

9、过分解因数的方法求最大公因数.,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,23,补充说明：利用1.1习题4的结论，可以使得辗转 相除法求最大公因数更为快速一些。每次除得余数 的绝对值不超过除数的一半，余数可以为负。,例3 求（76501，9719）.,76501 9719,8,77752,1251,8,10008,289,4,1156,95,3,285,4,24,96,1,4,4,0,=1.,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,24,定理4,说明：,（1）在 ( * )式中，所有各项都乘以m可以得证。,（2）由(1)即可得证。,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,25,定理5,20

10、20/6/21,阜阳师范学院 数科院,26,例4 求最大公约数 ：,方法一：利用定理5.,方法二：分解因数.,48 72 108,2,24 36 54,2,12 18 27,3,4 6 9,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,27,例5 利用辗转相除法计算 (27090, 21672, 11352).,27090 21672 11352,2,22704,（2）,22704,4386,1032,11,11352,4,4128,0,258,4,1032,0,所以，(27090, 21672, 11352)=258.,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,28,例6 证明：若n是正整数，则

11、,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,29,定理6 设a，b不全为0，则存在整数 s, t，使得,证明：利用P4习题1-3的结论.,一方面，,另一方面，,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,30,特别地，,证：必要性的证明由定理6直接可得。,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,31,推论1,证明：,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,32,推论2,证明：,另解：利用推论1,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,33,.,思考题：用辗转相除法求x，y，使得,125x 17y = (125, 17).,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,34,习题选讲,2020/

12、6/21,阜阳师范学院 数科院,35,4、证明：在辗转相除法中的n满足：,证：由P31习题4知：,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,36,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,37,1.3 最小公倍数,定义1 ： 整数a1, a2, , ak的公共倍数称为a1, a2, , ak 的公倍数。a1, a2, , ak的正公倍数中的最小的一个叫 做a1, a2, , ak的最小公倍数，记为a1, a2, , ak.,定理1： 下面的等式成立： () a, 1 = |a|，a, a = |a|； () a, b = b, a； () a1, a2, , ak = |a1|, |a2| ,

13、 |ak|； () 若ab，则a, b = |b|。,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,38,定理2 对任意的正整数a，b，有,证明： 设m是a和b的一个公倍数，,那么存在整数k1，k2，使得m = ak1，m = bk2，,因此 ak1 = bk2 .,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,39,推论1 两个整数的任何公倍数一定是,最小公倍数的倍数。,推论2 设m，a，b是正整数，则ma, mb = ma, b。,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,40,定理3,注：把多个整数的公倍数化为两个数的公倍数来计算。,推论 若m是a1, a2, , an的公倍数，则a1, a2,

14、 , anm 。,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,41,定理4 整数a1, a2, , an两两互素， 即(ai, aj) = 1，1 i, j n，i j 的充要条件是,a1, a2, , an = a1a2an .,例3 设a，b，c是正整数，证明 a, b, c(ab, bc, ca) = abc 。,证：a, b, c = a, b, c =,(ab, bc, ca) = (ab, (bc, ca) = (ab, c(a, b),代入即得证.,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,42,多项式的带余式除法,称为n次多项式.,注：整数的带余数除法推广到多项式的带余式除法，

15、其他方面的性质整除的性质、辗转相除法、约数、 倍数等也可以作类似地推广。,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,43,习题讲解：,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,44,构造方程,其有理根只能为,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,45,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,46,1.4 质数 算术基本定理,一、质数与合数,定义：若整数a 0，1，并且只有约数 1和 a，则 称a是素数（或质数）；否则称a为合数。,注：本书中若无特别说明，素数总是指正素数。,定理1 设a是大于1的整数，则,（1）a 除1外的最小正因数q是质数；,（2）若a是合数，则,2020/6/21,阜

16、阳师范学院 数科院,47,求质数的方法,例1 求30以内的质数.,划去2、3、5的倍数，得到不能被2、3、5整除的数有,7、11、13、17、19、23、29.,所以30以内的质数有,2、3、5、7、11、13、17、19、23、29.,该方法称为幼拉脱斯展纳筛法，利用该方法可以 构造质数表，祥见教材P17-18.,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,48,分析：利用定理2反证即得.,注意：在推论中，若p不是质数，则结论不能成立。,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,49,二、算术基本定理,定理3算术基本定理任一大于1的整数n能表示成 质数的乘积，且其分解的结果是唯一的不考虑次序.

17、,即有： n = p1p2pm (1) 其中pi（1 i m）是素数.,证明 当n = 2时，结论显然成立。,由于2 d k，由归纳假定知存在素数q1, q2, , ql， 使得d = q1q2ql，从而k 1 = pq1q2ql。,假设对于2 n k，式(1)成立，下证式(1)对于 n = k 1也成立，,从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数n成立。,如果k 1是素数，式(1)显然成立。,若k 1是合数，则存在素数p与整数d，使得k 1 = pd。,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,50,推论3.1标准分解式,推论3.2 a的正因数可以表示为a的分解式中的部分 因数的乘积。,推

18、论3.3 设a,b是任意两个正整数，且,推论3.3是分解质因数方法求最大公因数和最小公倍数的依据。,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,51,定理4 质数的个数是无穷的。,证：假设质数的个数有限，记为,所以存在质数p,所以，质数的个数是无穷的。,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,52,例2 写出51480的标准分解式。,解：51480 = 225740,= 2212870,= 2351287,= 2353429,= 23532143,= 233251113。,= 236435,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,53,例3 证明：(a, b)a, b = ab.,其中p1,

19、 p2, , pk是互不相同的素数，,i，i（1 i k）都是非负整数。,(a, b)a, b =,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,54,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,55,三、费马数及其他,费马数,尺规作图问题：,正n边形可尺规作图的充要条件是 n的最大单因数是不同的费马质数的乘积。 例如：正3、5、15、17边形等。,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,56,证：（反证法）,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,57,2020/6/21,阜阳师范学院 数科院,58,1.5 函数x与x及其在数论中的应用,定义： 设x是实数，以x表示不超过x的最大整数，,称它为x的整数部分，称x = x x