直线与圆的动态问题——教师版

1、专题25 直线与圆的动态问题【考情分析】直线与圆一直是江苏近几年来高考中的热点问题，在近三年的高考中均有不少的体现，考察内容如下：年份试题知识点备注201317直线与圆、圆与圆的关系轨迹方程的思想转化为圆与圆有交点问题20149，17直线与圆相交弦长，直线与圆的方程的综合应用代数法解决直线与圆中最值问题201510直线与圆的位置关系函数的思想解决最值问题由上表不难看出，近几年的直线与圆是必考内容，而近三年的直线与圆考察内容相对较易，故在2016届高考中，很可能将会有一定的表现。而直线与圆的知识点难度可以达到中档题，考察重难点之一即为直线与圆有关的动态问题。【备考策略】在2016年的备考中，直线

2、与圆需要重点关注以下几个方面的问题：1、 在求与弦长、弦中点有关的问题时，注意运用韦达定理，其中引进参数，设点而不求点，简化运算，减少计算量是常见的方法。2、在解直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合的数学思想，尽可能运用圆的几何性质使解法更简明快捷。3、利用方程有解、轨迹思想求最值与范围问题，转化与化归的思想，学生比较薄弱，加强这方面的训练。【激活思维】1（必修2 p115练习2）若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是 解析：圆心到直线的距离，整理得，即，则点在圆外.2（必修2 p129复习题22改编）设集合，当时，则实数的取值范围是 解析：即圆与圆有公共点或在内部，则有.3（必修2

3、p129复习题26改编）若恰有一个实数根，则实数m的取值范围是 解析：方程恰有一个实数根即为直线和曲线有且只有一个公共点，由图象位置关系可知4.（2015年江苏高考卷第10题）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .解析：【典型示例】 设集合, , 若 则实数m的取值范围是_解法探究：1、把问题转化为直线与圆有交点求范围【分析一】本题从从题面上看是圆环与平面区域有交点，但通过对问题分析可以转化为直线与圆有交点的问题，通过对参数的分类讨论求范围【解法一】由a可知m2，解得m0或m.由题意知，若ab，则有(1)当2m12，即m时，圆心(2,0)到直线xy2

4、m1的距离为d1|m|，化简得2m24m10，解得1m1，所以1m2，即m1时，圆心(2,0)到直线xy2m的距离为d2|m|，化简得m24m20，解得2m2，所以1m2.综上可知：满足题意的m的取值范围为.【点评】本题先从由a可知m2，解得m0或m.进行分类讨论，考察了学生转化与化归的思想，通过数形结合讨论参数，进而完成m的取值范围。2、把问题转化为圆面与圆环利用几何法求范围【分析二】从问题的结构出发，可以理解为圆面与圆环两种情况，通过和分类讨论，并将解析几何图形间的关系转化为代数中的不等关系求范围【解法二】当时，集合a表示以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合b是在两条平行线之间，由此舍；

5、当时，集合a是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合b是在两条平行线之间，必有 【点评】把问题转化为圆面与圆环两种曲线进行分析，联想到解析几何的图形，进而将解析几何图形间的关系转化为代数中的不等关系，在几何法的基础上完成m的取值范围。【分类解析】目标1：利用方程有解、轨迹思想求最值与范围问题（2013年江苏卷第17题（2）例1：如图，在平面直角坐标系中，点，直线。设圆的半径为，圆心在上。若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。解：圆的圆心在在直线上，所以，设圆心c为（a,2a-4）则圆的方程为：xyalo又设m为（x,y）则整理得：设为圆d点m应该既在圆c上又在圆d上 即：圆c和圆d有

6、交点由得由得终上所述，的取值范围为：变式1：在平面直角坐标系中，圆c：，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，则k的最大值是_解析：圆c的方程可化为：，圆c的圆心为，半径为1.由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点；存在，使得成立，即.即为点到直线的距离，解得.答案：目标2：利用几何性质解决解析几何中相关问题例2：在平面直角坐标系中定义为 之间的折线距离，则圆上一点p与直线上一点q的折线距离最小值为 .解析： 如图，=apaq= apab=pb=，求pd最小值即可过c作ce垂直l于e点，所以pd最小值为ce2.答案：.变式2：已知以点为

7、圆心的圆与x轴交于点o、a，与y轴交于点o、b，其中o为原点。（）求证：aob的面积为定值；（）设直线2x+y4=0与圆c交于点m、n，若，求圆c的方程；（）在（）的条件下，设p、q分别是直线l：x+y+2=0和圆c的动点，求的最小值及此时点p的坐标。答案：（）为定值。（）圆c的方程为 （）的最小值为，直线的方程为，则直线与直线x+y+2=0的交点p的坐标为【解析】解：()由题设知，圆c的方程为，化简得，当y=0时，x=0或2t，则；当x=0时，y=0或，则，为定值。（ii），则原点o在mn的中垂线上，设mn的中点为h，则chmn，c、h、o三点共线，则直线oc的斜率，t=2或t=2圆心c(2

8、，1)或c(2，1)圆c的方程为或，由于当圆方程为时，直线2x+y4=0到圆心的距离dr，此时不满足直线与圆相交，故舍去。圆c的方程为（）点b(0，2)关于直线x+y+2=0的对称点为，则，又到圆上点q的最短距离为。所以的最小值为，直线的方程为，则直线与直线x+y+2=0的交点p的坐标为目标三：定点、定值与恒成立问题例3：如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：才(1)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；(2)设动圆同时平分圆的周长、圆的周长证明：动圆圆心c在一条定直线上运动；动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由解 （1）设直线的方程为，即因为直线被圆截得的弦

9、长为，而圆的半径为1，所以圆心到：的距离为 化简，得，解得或所以直线的方程为或 （2）证明：设圆心，由题意，得，即 化简得，即动圆圆心c在定直线上运动圆过定点，设，则动圆c的半径为于是动圆c的方程为整理，得由得或所以定点的坐标为，mxyo变式3：已知和点.(1)过点向引切线，求直线的方程；(2)求以点为圆心，且被直线截得的弦长为4的的方程；(3)设为(2)中上任一点，过点向引切线，切点为q. 试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 解：(1)设切线方程为 ，易得，解得 切线方程为 (2)圆心到直线的距离为，设圆的半径为，则 的方程

10、为 (3)假设存在这样的点，点的坐标为，相应的定值为，根据题意可得， 即 （*），又点在圆上，即，代入（*）式得： 若系数对应相等，则等式恒成立，解得，可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为；点的坐标为时，比值为 【精要归纳】对于直线与圆中的动态问题：一、常见的命题角度有：（1） 利用方程有解、轨迹思想求最值与范围问题（2）利用几何性质解决解析几何中相关问题（3）定点、定值与恒成立问题2、 常见的求法：（1)代数法若由题设可直接建立目标函数的，则利用函数值域的求法解得其范围若不便建立目标函数的，则可以利用已知或隐含的不等关系建立不等式，进行量与量之间的转化，从而求出参数的取值

11、范围（2）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征意义，则考虑运用圆的几何性质来解决问题。【课后训练】1、在平面直角坐标系o中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是【答案】（13，13）。【分析】求出圆心和半径，圆心到直线的距离小于半径和1的差即可：由得圆半径为2。由圆心（0，0）到直线的距离小于1，得，的取值范围是（13，13）。2、在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为(x1)2y24，p为圆c上一点若存在一个定圆m，过p作圆m的两条切线pa，pb，切点分别为a，b，当p在圆c上运动时，使得apb恒为60，则圆m的方程为 答案 (x1)2y21解析 设定圆圆心m，

12、半径为，动点，由题意知，即，由于点p在圆c：(x1)2y24上，所以有对任意都成立，所以，所求圆方程为(x1)2y213、已知a(4，0)，b(1，0)，直线上始终存在两个不同点p满足pa=2pb.求实数b的取值范围.解 法一(方程有解法)设点p(x0,kx0b), 由pa=2pb，(x04)2(kx0b)2=4(x01)24(kx0b)2,整理得(1k2)x022kbx0b23=0，所以0对于kr恒成立，即，所以，即法二(轨迹思想法)设p(x，y)，由pa=2pb，得 ，整理得，则p在圆o：，而p又在l上，所以l与圆o恒有两个交点，圆心o到直线l的距离 对于恒成立，则 而的最小值为2，所以|b|0）三点，m是线段ad上的动点，是过点b（1,0）且互相垂直的两条直线，其中交y轴于点e，交圆于p、q两点（i）若，求直线的方程；（ii）若t是使am2bm恒成立的最小正整数，求三角形epq的面积的最小值（i）由题意可知，圆c的直径为ad，所以，圆c方程为：设方程为：，则，解得 ，当时，直线与y轴无交点，不合，舍去所以，此时直线的方程为 （ii）设，由点m在线段ad上，得，即 由am2m，得 依题意知，线段ad与圆至多有一个公共点，故，解得或 因为t是使am2bm恒成立的最