13 一模专项训练13教师2015秋季 初三数学培优经典进度一

1、 1 / 14 第十三讲 压轴题专项 4 一、选择题： （本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1如果分式 2 1 x x 没有意义，那么 x 的值为 （ ） （A）-1； （B）0； （C）1； （D）2 2已知点 P 在第四象限内，且点 P 到 x 轴的距离是 3，到 y 轴的距离是 4，那么点 P 的坐标是（ ） （A） （-4，3） ； （B） （4，-3） ； （C） （-3，4） ； （D） （3，-4） 3一次函数32 xy的图像一定不经过 （ ） （A）第一象限； （B）第二象限； （C）第三象限； （D）第四象限 4一个骰子六个面上的数字分别为 1、2、3、4、5

2、、6，投掷一次，向上的一面是素数的概率是（ ） （A） 2 1 ； （B） 3 1 ； （C） 3 2 ； （D） 6 1 5已知在平行四边形 ABCD 中，向量aAB、bBC ，那么向量BD等于（ ） （A）ba ； （B）ba ； （C）ba ； （D）ba 6如果等腰三角形的腰长为 13 厘米，底边长为 10 厘米，那么底角的余切值等于（ ） （A） 13 5 ； （B） 13 12 ； （C） 12 5 ； （D） 5 12 二、填空题： （本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7计算：xx4)2( 2 = 8分母有理化： 23 1 = 2 / 14 9方程 1 1 1

3、2 xx x 的解为 10如果 a 与 b 互为相反数，b 与 c 互为倒数，那么) 1( cba= 11如果关于 x 的方程0 2 mxx没有实数根，那么 m 的取值范围是 12如果反比例函数的图像经过点（5，-3） ，那么当 x0 时，这个反比例函数中 y 的值随自变量 x 的值 增大而 13将点 A（1，3）绕原点逆时针旋转 90 后的点的坐标是 14一家文具店从批发市场买进单价为 a 元的练习簿 x 本，当文具店以每本 b 元（ab）的价格全部售 完这批练习簿后，可得总利润为 元 15在四边形 ABCD 中，ABCD，如果要使这个四边形成为平行四边形，那么还需添加一个条件，这 个条件可

4、以是 16已知 AD 是ABC 的中线，点 G 是ABC 的重心，aAD，那么用向量a表示向量GA为 17如图，在一段坡度为 12 的山坡上种树，要求株距（即相邻两株树之间的 水平距离）为 6 米，那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为 米 18如果直角梯形的一条底边长为 7 厘米，两腰长分别为 8 厘米和 10 厘米，那 么这个梯形的面积是 平方厘米 1D 2B 3A 4A 5C 6C 7x 823 91x 101 11 1 4 m 12增大 13(3,1) 14()ba x 15ABCD等 16 2 3 a 173 5 1832 或 80 3 / 14 1. 如图 1，在平面直角坐标系 xO

5、y 中，顶点为 M 的抛物线 yax2bx（a0）经过点 A 和 x 轴正半轴 上的点 B，AOBO2，AOB120 （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结 OM，求AOM 的大小； （3）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标 图 1 （1）如图 2，过点 A 作 AHy 轴，垂足为 H 在 RtAOH 中，AO2，AOH30， 所以 AH1，OH3所以 A( 1, 3) 因为抛物线与 x 轴交于 O、B(2,0)两点， 设 yax(x2)，代入点 A( 1, 3)，可得 3 3 a 图 2 所以抛物线的表达式为 2 332 3 (2) 333 yx xxx

6、（2）由 22 32 333 (1) 3333 yxxx， 得抛物线的顶点 M 的坐标为 3 (1,) 3 所以 3 tan 3 BOM 所以BOM30所以AOM150 （3）由 A( 1, 3)、B(2,0)、M 3 (1,) 3 ， 得 3 tan 3 ABO，2 3AB ， 2 3 3 OM 4 / 14 所以ABO30，3 OA OM 因此当点 C 在点 B 右侧时，ABCAOM150 ABC 与AOM 相似，存在两种情况： 如图 3，当3 BAOA BCOM 时， 2 3 2 33 BA BC 此时 C(4,0) 如图 4，当3 BCOA BAOM 时，33 2 36BCBA此时 C

7、(8,0) 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 在本题情境下，如果ABC 与BOM 相似，求点 C 的坐标 如图 5，因为BOM 是 30底角的等腰三角形，ABO30，因此ABC 也是底角为 30的等 腰三角形，ABAC，根据对称性，点 C 的坐标为(4,0) 5 / 14 2. 如图 1，抛物线经过点 A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点 （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线 AC 上

8、方的抛物线是有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标 , 图 1 （1） 因为抛物线与 x 轴交于 A(4， 0)、 B （1， 0)两点， 设抛物线的解析式为)4)(1(xxay， 代入点 C 的 坐标（0，2） ，解得 2 1 a所以抛物线的解析式为 2 2 5 2 1 )4)(1( 2 1 2 xxxxy （2）设点 P 的坐标为)4)(1( 2 1 ,(xxx 如图 2，当点 P 在 x 轴上方时，1x4，)4)(1( 2 1 xxPM，xAM 4 如果2 CO AO PM AM ，那么2 4 )4)(1( 2 1 x xx 解得5x不合题意 如果 2 1 CO AO P

9、M AM ，那么 2 1 4 )4)(1( 2 1 x xx 解得2x 此时点 P 的坐标为（2，1） 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时，x4，)4)(1( 2 1 xxPM，4 xAM 解方程2 4 )4)(1( 2 1 x xx ，得5x此时点 P 的坐标为)2, 5( 解方程 2 1 4 )4)(1( 2 1 x xx ，得2x不合题意 6 / 14 如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时，x1，)4)(1( 2 1 xxPM，xAM 4 解方程2 4 )4)(1( 2 1 x xx ，得3x此时点 P 的坐标为)14, 3( 解方程 2 1 4 )4)(1( 2 1 x xx ，

10、得0x此时点 P 与点 O 重合，不合题意 综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或)14, 3(或)2, 5( 图 2 图 3 图 4 （3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E直线 AC 的解析式为2 2 1 xy 设点 D 的横坐标为 m)41 ( m，那么点 D 的坐标为)2 2 5 2 1 ,( 2 mmm，点 E 的坐标为 )2 2 1 ,(mm所以)2 2 1 ()2 2 5 2 1 ( 2 mmmDEmm2 2 1 2 因此4)2 2 1 ( 2 1 2 mmS DAC mm4 2 4)2( 2 m 当2m时，DCA 的面积最大，此时点 D 的坐标为（

11、2，1） 图 5 图 6 考点伸展考点伸展 7 / 14 第（3）题也可以这样解： 如图 6，过 D 点构造矩形 OAMN，那么DCA 的面积等于直角梯形 CAMN 的面积减去CDN 和 ADM 的面积设点 D 的横坐标为（m，n）)41 ( m，那么 42)4( 2 1 )2( 2 1 4)22( 2 1 nmmnnmnS 由于2 2 5 2 1 2 mmn，所以mmS4 2 8 / 14 3. 如图 1，在 RtABC 中，A90，AB6，AC8，点 D 为边 BC 的中点，DEBC 交边 AC 于 点 E，点 P 为射线 AB 上的一动点，点 Q 为边 AC 上的一动点，且PDQ90 （

12、1）求 ED、EC 的长； （2）若 BP2，求 CQ 的长； （3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F，若PDF 为等腰三角形，求 BP 的长 图 1 备用图 （1）在 RtABC 中， AB6，AC8，所以 BC10 在 RtCDE 中，CD5，所以 315 tan5 44 EDCDC ， 25 4 EC （2）如图 2，过点 D 作 DMAB，DNAC，垂足分别为 M、N，那么 DM、DN 是 ABC 的两条中位线，DM4，DN3 由PDQ90，MDN90，可得PDMQDN 因此PDMQDN 所以 4 3 PMDM QNDN 所以 3 4 QNPM， 4 3 PMQN 图 2 图

13、3 图 4 如图 3，当 BP2，P 在 BM 上时，PM1 此时 33 44 QNPM所以 319 4 44 CQCNQN 如图 4，当 BP2，P 在 MB 的延长线上时，PM5 此时 315 44 QNPM所以 1531 4 44 CQCNQN （3）如图 5，如图 2，在 RtPDQ 中， 3 tan 4 QDDN QPD PDDM 在 RtABC 中， 3 tan 4 BA C CA 所以QPDC 由PDQ90，CDE90，可得PDFCDQ 9 / 14 因此PDFCDQ 当PDF 是等腰三角形时，CDQ 也是等腰三角形 如图 5，当 CQCD5 时，QNCQCN541（如图 3 所

14、示） 此时 44 33 PMQN所以 45 3 33 BPBMPM 如图 6，当 QCQD 时，由cos CH C CQ ，可得 5425 258 CQ 所以 QNCNCQ 257 4 88 （如图 2 所示） 此时 47 36 PMQN所以 725 3 66 BPBMPM 不存在 DPDF 的情况这是因为DFPDQPDPQ（如图 5，图 6 所示） 图 5 图 6 考点伸展考点伸展 如图 6，当CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP 也是等腰三角形，PB PD在BDP 中可以直接求解 25 6 BP 10 / 14 4. 如图 1，抛物线 yax2bxc 经过 A(1,0

15、)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直 线 l 是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1,0)、B(3, 0)两点，设 ya(x1)(x3)， 代入点 C(0 ,3)，得3a3解得 a1 所以抛物线的函数关系式是 y(x1)(x3)x22x3 （2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1 当点 P 落在线段 BC 上时，PAPC

16、 最小，PAC 的周长最小 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H 由 BHPH BOCO ，BOCO，得 PHBH2 所以点 P 的坐标为(1, 2) （3）点 M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6)或(1,0) 图 2 考点伸展考点伸展 第（3）题的解题过程是这样的： 设点 M 的坐标为(1,m) 在MAC 中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2 如图 3，当 MAMC 时，MA2MC2解方程 4m21(m3)2，得 m1 此时点 M 的坐标为(1, 1) 如图 4，当 AMAC 时，AM2AC2解方程 4m210，得6m 此时点 M 的坐标为(1,6)或(1,6) 如

17、图 5，当 CMCA 时，CM2CA2解方程 1(m3)210，得 m0 或 6 当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0) 11 / 14 图 3 图 4 图 5 12 / 14 5.如图 1，直线4 3 4 xy和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C，点 A 的坐标是（-2，0） （1）试说明ABC 是等腰三角形； （2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动 的速度均为每秒 1 个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 M 运动 t 秒时， MON 的面积为

18、S 求 S 与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请 说明理由； 在运动过程中，当MON 为直角三角形时，求 t 的值 图 1 （1）直线4 3 4 xy与 x 轴的交点为 B（3，0）、与 y 轴的交点 C（0，4）RtBOC 中，OB 3，OC4，所以 BC5点 A 的坐标是（-2，0），所以 BA5因此 BCBA，所以ABC 是等腰 三角形 （2）如图 2，图 3，过点 N 作 NHAB，垂足为 H在 RtBNH 中，BNt， 4 sin 5 B ，所以 4 5 NHt 如图 2，当 M 在 AO 上时，OM2t，此时 2 11424 (2) 22555 SOM NHtttt 定义域为 0t2 如图 3，当 M 在 OB 上时，OMt2，此时 2 11424 (2) 22555 SOM NHtttt 13 / 14 定义域为 2t5 图 2 图 3 把 S4 代入 2 24 55 Stt， 得 2 24 4 55 tt 解得 1 211t ， 2