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1、,第九章,第七节,一、方向导数,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义:若函数,在点,处,沿方向l(方向角为,)存在下列极限:,记作,注：(1)类似可定义三元函数的方向导数；,(2)若记,有,，,即得方向导数的等价定义。,定理:,则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数,且有,在点P可微,得,故,对于二元函数,为,)的方向导数为,特别:,当l与x轴同向,当l与x轴反向,向角,例1.求函数,在点P(1,1,1)沿向量,3)的方向导数.,例2.求函数,在点P(2,3)沿曲线,朝x增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点P的切向量为,例3.设,是曲

2、面,在点P(1,1,1)处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P处沿,求函数,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f变化率最大的方向,模:f的最大变化率之值,方向导数取最大值：,1.定义,即,同样可定义二元函数,称为函数f(P)在点P处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:,向量,其中,称为向量微分算子或Nabla算子.,2.梯度的几何意义,称为函数f的等值线或等高线.,则L*上点P处的法向量为,举例,函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.,同样,的等值面(等量面).,当其

3、各偏导数不同,其上点P处的法向量为,称为,时为零时,等高线图举例,这是利用数学软件Mathematica绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越大对应曲面上点的位置越高,等高线图,带阴影的等高线图,例4.设函数,解:(1)点P处切平面的法向量为,在点P(1,1,1)处的切平面方程.,故所求切平面方程为,即,(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.,求等值面,(2)函数f在点P处增加最快的方向为,沿此方向的方向导数为,思考:f在点P处沿什么方向变化率为0?,注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多,三、物理意义,函数,数量场(数性函数),场,向量场(矢性函数),可微函数,梯度场,(势),如:温度场,电势场等,如:力场,速度场等,(向量场),注意:任意一个向量场不一定是梯度场.,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向l(方向角为,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,方向:f变化率最大的方向,模:f的最大变化率之值,梯度的特点,思考题1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意x,y,z具有轮换对称性,(1992考研),

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