高考立体几何知识点总结(详细)

1、宋资料的收集与整理2016-1-12016年高考立体几何知识点综述一、空间几何(一)空间几何的类型1多面体：由几个平面多边形包围的几何图形。包围多面体的每个多边形称为多面体的面，两个相邻面的公共边称为多面体的边，边和边的公共点称为多面体的顶点。旋转体：一个平面图形在其平面内绕一条固定的直线旋转，形成一个封闭的几何体。其中，这条直线被称为旋转体的轴线。(2)几种空间几何的结构特征1.棱镜的结构特征1.1棱镜的定义：两个面互相平行，另一个面是四边形，每两个相邻四边形的公共边互相平行。被这些面包围的几何形体叫做棱柱。图1-1棱镜1.2棱镜的分类棱镜的底面是四边形的。四棱柱的底面是平行四边形平行六面体

2、侧边垂直于底面直平行六面体的底面是矩形的长方体的底面是正方形的规则四边形的棱柱长度都是相等的。立方自然：如果边是平行四边形，并且边是平行的并且彼此相等；二。两个底面是全等的多边形并且相互平行；三。平行于底面的截面和底面是一致的；1.3棱镜的面积和体积公式(底部周长、高度)直棱柱表面=ch 2S底部v棱镜=S底部h2.金字塔的结构特征2.1金字塔的定义(1)金字塔：一个面是多边形，其他面是具有公共顶点的三角形。由这些面包围的几何形体称为金字塔。(2)正棱锥体：如果棱锥体的底面是正多边形，并且底面上顶点的投影是底面的中心，这种棱锥体被称为正棱锥体。2.2规则金字塔的结构特征I .平行于底面的截面是

3、类似于底面的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们的面积比等于截棱锥体高度与原始棱锥体高度的平方比；截棱锥体的体积与原始棱锥体的体积之比等于截棱锥体高度与原始棱锥体高度的立方比；二。正金字塔的每条边都是相等的，每条边都是等腰三角形的同余；ABCDPOH正棱锥体的侧向面积：(底部周长，倾斜高度)体积：(底部区域，高)正四面体：对于边长为正四面体的问题，可以补充为边长为立方体的问题。对边之间的距离是(立方体的边长)正四面体的高度()正四面体的体积是()正四面体的中心和底面到顶点的距离之比是()3.平截头体的结构特征3.1斜面的定义：棱锥被平行于底面的平面截断。我们称截面和

4、底面之间的部分为斜面。3.2规则斜面工作台的结构特点(1)每条边是相等的，每条边是等腰梯形的同余；(2)正截头体的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；(3)正金字塔的对角线平面也是等腰梯形；(4)每个侧边的延长线相交于一点。4.圆筒的结构特征4.1圆柱体的定义：由矩形的一边和另一边旋转形成的曲面包围的几何形体称为圆柱体。4.2气缸的特性(1)上下底座和平行于底座的横截面为等圆；(2)横轴的横截面(轴的横截面)是全等矩形。4.3圆柱体的侧面展开图：圆柱体的侧面展开图是一个矩形，底面周长和母线长度为相邻边。4.4圆柱体的面积和体积公式s气缸侧=2rh (r是底面的半径，h是气缸的高度)s气缸满

5、=2 r h 2 r2v缸=S底h=r2h5.锥体的结构特征5.1圆锥体的定义：由5.3锥体侧膨胀图：锥体侧膨胀图是以顶点为中心、母线长度为半径的扇形。6.圆桌的结构特点6.1平截头圆锥体的定义：使用平行于底面的平面来截断圆锥体。我们称截面和底面之间的部分为锥台。6.2圆桌会议的结构特征(1)圆台的上下底面和平行于底面的横截面为圆形；(2)截锥的横截面为等腰梯形；(3)锥台通常被填充成圆锥，然后类似的三角形被用于研究。6.3圆台面积和体积公式s平截头体侧=(R r)l (r，R为上下底部半径)圆台满=r2 R2 (R r)lv平截头体=1/3(R2R2R)h(h是平截头体的高度)7个球的结构特

6、征7.1球的定义：以半圆直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周形成的旋转体称为球。在空间中，与一个固定点的距离等于一个固定长度的点集叫做球体，被球体包围的几何体叫做球体。7-2球的结构特点(1)球形中心与横截面中心的连线垂直于横截面；横截面的半径等于球的半径和横截面到球中心的距离的平方方差：R2=R2-D27-3球面与其他多面体的组合问题球体和其他多面体的组合包括两种类型：内接和外接。解决这些问题的基本思路是：(1)根据主题，确定是内接还是外接式绘制三维图形；(2)找出多面体与球体的连接处，找出球体的合适切割面，然后制作剖面图；(3)将平面几何中的立体问题转化为圆和多边形问题；(4)注意圆和立

7、方体之间的两种关系：球体与立方体内接，球体直径等于立方体对角线；球切开立方体，球的直径等于立方体的边长。7-4球的面积和体积公式球面=4 R2 (R是球面半径)v球=4/3 R3(3)空间几何的表面积和体积空间几何的表面积棱柱和棱锥的表面积：表面积的总和圆柱体的表面积：圆锥体的表面积：截锥的表面积：球的表面积：扇形面积公式(表示弧长、半径和弧度)空间几何体积气缸容积：圆锥体积：表体体积：球体体积：(4)空间几何的三种观点和直接观点前视图：光线从几何图形的前部向前投射到后部而获得的投影。侧视图：通过从几何图形的左侧向右侧向前投射光线而获得的投影。俯视图：从几何图形的上表面向右向前投射光线而得到的

8、投影图。绘制三种视图的原则：正常节距长度相同，正常节距高度相同，节距宽度相同注意：球的三个视图是圆形的。长方体的三个视图都是矩形的。直接地图：倾斜双测图斜向二维绘图的步骤：(1)平行于坐标轴的线仍然平行于坐标轴；(2)平行于Y轴的线的长度变为一半，而平行于X轴和Z轴的线的长度保持不变；这幅画应该写得好用斜二维绘图画长方体的步骤：(1)画轴(2)画底面(3)画侧边(4)画第二，点、直线和平面之间的关系(一)、立体几何网络图：公理4这些线是平行的。平行线和平面平面平行度垂直线线平面垂直垂直表面三条垂直线的逆定理三条垂直线定理1、线平行判断：(1)两条平行于同一条直线的直线是平行的。(3)如果一条直

9、线平行于一个平面，并且穿过该直线的平面与该平面相交，则该直线平行于该相交线。(6)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线是平行的。(12)两条垂直于同一平面的直线是平行的。2、直线垂直判断：(7)如果一个应变(10)如果一条直线垂直于一个平面，这条直线垂直于该平面中的所有直线。补充：直线垂直于两条平行线中的一条，也必须垂直于另一条平行线。3、直线与平面平行的判断：(2)如果平面外的直线和平面内的直线平行，那么这条直线平行于这个平面。(5)两个平面平行，一个平面上的直线必须与另一个平面平行。决策定理：属性定理：判断或证明直线和平面平行性的方法。(1)使用定义(反证法):(用于判断)；

10、(2)运用判断定理：直线、直线、平行线和平面是平行的(用于证明)；(3)利用平面的平行性：平面的平行线是相互平行的(作为证明)；(4)用一条垂直于同一条直线的直线平行于该平面(用于判断)。2.线到平面的偏斜和线到平面的角度：=2.1直线与平面形成的角度(简称线-面角):如果直线与平面斜交，则平面的斜线与投影在平面上的斜线之间的夹角。2.2线平面角的范围：0，90图2-3线和平面角度注意：当直线在平面内或平行于平面时，=0；当直线垂直于平面时，=904.垂直线和平面的判断：(9)如果一条直线垂直于平面中两条相交的直线，则该直线垂直于该平面。如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个

11、平面。(14)直线垂直于两个平行平面之一，也垂直于另一个平面。如果两个平面垂直，则一个平面中垂直于交线的线必须垂直于另一个平面。决策定理：性质定理：(1)如果一条直线垂直于一个平面，它就垂直于平面中的任何一条直线。那就是：(2)两条垂直于同一平面的直线是平行的。那就是：判断或证明直线和平面垂直度的一种方法。(1)使用定义并用反证的方法证明。用判断定理证明。(3)如果一条直线垂直于平面并平行于另一条直线，则另一条直线也垂直于平面。(4)垂直于两个平行平面之一的直线也垂直于另一个平面。(5)如果两个平面垂直，并且一个平面中有一条直线垂直于两个平面的交点，则该直线垂直于另一个平面。1.5三分定理及其

12、逆定理图2-7倾斜定理(1)斜线定理：在从平面外的一点到该平面的所有线段中，斜线在投影中彼此相等，斜线越长，投影越长，垂直线段最短。如图所示：三垂线定理及其逆定理给定PO，斜线PA在平面上的投影是OA，而a是平面内的一条直线。三垂线定理：如aOA、aPA.也就是说，垂直投影是垂直斜线。(2)三垂线定理的逆定理：如果aPA，aOA.也就是说，垂直斜线是垂直投影的。图2-8三垂直定理三垂直定理及其逆定理的主要应用(1)证明不同平面上的直线是垂直的；(2)二面角平面角的制作和证明；(3)制作从点到线的垂直线段。5.平行平面的判断：(4)一个平面上的两条相交线分别与另一个平面平行，两个平面平行。(13

13、)垂直于同一条直线的两个平面是平行的。6.垂直面的判断：一个平面穿过另一个平面的垂线，两个平面相互垂直。决策定理：属性定理：(1)如果两边垂直，两个平面的二面角的平面角为90 ;(2)(3)图2-10面2的垂直属性(4)图2-11面3的垂直属性(2)其他定理：(1)确定平面的条件：三点不公平线；(2)直线和稍超出直线的部分；相交直线；(2)直线和直线的位置关系：交点；平行；不同的面孔；直线与平面的位置关系：在平面上；平行；交点(垂直是它的特征(4)射影定理(斜线长度和射影直线长度定理):在从平面外的一点画到该平面的垂直线段和斜线线段中，射影等价的两条斜线线段是相等的；投影较长的斜线线段也较长。

14、相反，对角线的射影等式是相等的；对角线较长的投影也较长；垂直截面比任何对角线截面都短。(5)最小角度定理：平面中斜线和所有直线形成的角度中最小的是它在平面中的投影形成的角度。(6)不同平面直线的确定：(1)反证法；(2)通过平面外点和平面内点的直线，在平面内不通过该点的直线是具有不同平面的直线。(7)穿过已知点并垂直于直线的所有直线都在穿过该点并垂直于该直线的平面内。(8)如果一条直线平行于两个相交的平面，则该直线平行于两个平面的交点。(3)唯一性定理：(1)通过已知点，有且只能有一条垂直于已知平面的直线。(2)通过已知平面之外的点，存在并且只能是平行于已知平面的平面。(3)穿过两个不同平面的

15、直线中的一条可以并且只能使一个平面平行于另一个平面。四、空间角度的求解：(所有的角度问题最终都必须转化为三角形，尤其是直角三角形的求解问题)(1)不同平面的直线形成的角度：通过直线的平移，不同平面的直线形成的角度转化为平面内直线相交形成的角度。直线在不同平面上形成的角度范围：(2)线与面形成的角度：线与面在平面上平行或直；线与面形成的角度为：(2)线与面垂直；线与面形成的角度为：(3)斜线与平面形成的角度：范围；即斜线与其在平面上的投影所形成的角度。线和面形成的角度范围(3)二面角：关键是找出二面角的平面角。方法：定义法；(2)三垂线定理法；(3)垂直面法；二面角的平面角范围：五、距离法：(1)点到点、点到点和点到面距离：点与点之间的距离是两点之间线段的长度，点与线和面之间的距离是点与线和面之间垂直于脚的线段的长度。要找到它们，首先找到代表距离的线段，然后计算。注意：求点到表面距离的方法：(1)直接法：直接确定从点到平面的垂线长度(垂线一般在二面角所在的平面上)；(2)转移法：转换到另一点到平面的距离(利用平行线和平面的性质)；(3)体积法：采用三棱锥的体积公式。(2)线-线距离：关于直线在不同平面上的