平面向量文科

1、三年高考（2014-2016）数学（文）平面向量 平面向量的实际背景及基本概念1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.3. 有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。4. 有向线段的三要素：起点，大小，方向A(起点) B（终点）a 5.有向线段与向量的区别；（1）相同点：都有大小和方向（2）不同点：有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段 比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。 向量只有大小和方向，并且是可以平

2、移的，比如：在中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。 向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成6.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：；7.向量的模：向量的大小（长度）称为向量的模，记作|.8.零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。9.平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.即：0 。说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义； （2）向量、平行，记作. 10.相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量与相等，记作；

3、（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有 向线段的起点无关.11.共线向量与平行向量关系：BAOCDEF平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。 （2）共线向量是可以相互平行的。例1.判断下列说法是否正确，为什么？（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（7

4、）共线向量一定在同一直线上吗？解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。 （2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。 （3）零向量 （4）零向量 （5）共线向量（平行向量 （6）长度相等且方向相同 （7）不一定，可以平行。例2.下列命题正确的是（ ）A.与共线，与共线，则与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可

5、能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C. 向量的加法运算及其几何意义向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.三角形法则（记忆口诀：“首尾相接，从头指尾”）3.向量加法的字母公式：4平行四边形法则图1 如图1,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方

6、法叫做向量加法的平行四边形法则.5.平行四边形法则与三角形法则的区别：（1） 平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点和两个分向量的起点是同一起点。（2） 三角形法则要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起，然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是：由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。6.一般结论当a,b不共线时,|a+b|b|且a与b同向，则ab D.对于任意向量a、b,必有|a+b|a|+|b| 5、已知正方形的边长为1， =a，=b，=c,则|a+b+c|等于( ) A.0 B.3 C. D.26、两列火车从

7、同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的一个是A、与为平行向量 B、与为模相等的向量 C、与为共线向量 D、与为相等的向量7、在四边形中，若，则四边形的形状一定是 ( )(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形8、已知正方形的边长为1， 则等于 ( ) (A) 0 (B) 3 (C) (D)9、如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）(A) (B) (C) (D) 平面向量基本定理1. 平面向量加法的坐标运算和数量积的坐标运算，即若，则，若a与b垂直，ab=02. ab=|a|b|cos 高考试题 一、选择题1.

8、 【2014高考北京文第3题】已知向量，则（ ） A. B. C. D.2. 【2015高考北京，文6】设，是非零向量，“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3. 【2014高考广东卷.文.3】已知向量,则( )A. B. C. D.4. 【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，则（ ）A B C D5. 【2014山东.文7】已知向量，.若向量的夹角为，则实数=（ ）（A） （B） （C）0 （D）6. 【2015高考陕西，文8】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）来源:学#科#网Z#X#X#KA B

9、 C D7. 【2014全国2，文4】设向量满足，则（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 58.【2015高考新课标1，文2】已知点，向量，则向量( )（A） （B） （C） （D）9. 【2014全国1，文6】设分别为的三边的中点，则A. B. C. D. 11. 【2015高考重庆，文7】已知非零向量满足则的夹角为（ ）(A) (B) (C) (D) 15.【2015高考福建，文7】设，若，则实数的值等于（ ）A B C D17. 【2015四川文2】设向量a(2，4)与向量b(x，6)共线，则实数x( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)618. (2014课标全国，文6)设D，E

10、，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A B C D19. 【2015新课标2文4】已知,则（ ）A B C D来源:Z*xx*k.Com20. 【2014辽宁文5】设是非零向量，已知命题P：若，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）A B C D二、填空题2. 【2014高考陕西版文第13题】设，向量，若，则_.3. 【2014四川，文14】平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则 .4. 【2015高考浙江，文13】已知，是平面单位向量，且若平面向量满足，则 5. 【2014高考重庆文第12题】已知向量_.6. 【2015高考安徽，文15】是边长为2的等边三角形，已

11、知向量满足，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）为单位向量；为单位向量；。8. 【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知, 点E和点F分别在线段BC和CD上,且 则的值为 9. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷12】若向量，则_.来源:Z+xx+k.Com10. 【2015高考湖北，文11】.已知向量，则_11. 【2014上海,文14】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .参考答案一、选择题1.【解析】因为，所以=（5，7），故选A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2

12、. 【答案】A【考点定位】充分必要条件、向量共线.【名师点晴】本题主要考查的是充分必要条件和向量共线，属于容易题解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化3.【答案】B【解析】由题意得,故选B.【考点定位】本题考查平面向量的坐标运算,属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是平面向量减法的坐标运算，属于容易题解题时要注意对应坐标分别相减，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是平面向量减法的坐标运算，即若，则4.【答案】D【考点定位】1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算【

13、名师点晴】本题主要考查的是平面向量的加法运算和数量积的坐标运算，属于较难题解题时要注意运行平行四边形法则的特点，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是平面向量加法的坐标运算和数量积的坐标运算，即若，则，5.【答案】【解析】因为所以解得，故选.考点：平面向量的数量积、模与夹角.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.利用夹角公式，建立m的方程即得.本题属于基础题，注意牢记夹角公式并细心计算.6. 【答案】【解析】因为，所以选项正确；当与方向相反时，选项不成立，所以选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以选项正确；，所以选项正确，故答案选.【考点定位】1.向量的模；2.数量积

14、.【名师点睛】1.本题考查向量模的运算，采用向量数量积公式.2.向量的平方就是模的平方进行化解求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.7. 【答案】A【解析】由已知得，两式相减得，故【考点定位】向量的数量积.【名师点睛】本题主要考查了向量数量积运算，本题属于基础题，解决本题的关健在于掌握向量的模与向量数量积之间的关系，还有就是熟练掌握数量积的运算性质与运算律.8.【答案】A【解析】=（3,1），=(-7,-4)，故选A.【考点定位】向量运算【名师点睛】对向量的坐标运算问题，先将未知向量用已知向量表示出来，再代入已知向量的坐标，即可求出未知向量的坐标，是基础题.9. 【答案】A考点：向量的运算【

15、名师点睛】熟练掌握平面向量的共线（平行）、垂直、平面向量的加法等基本概念和基本性质是解决本题的关键之所在，同时本题考查了考生的综合分析问题的能力以及数形结合的能力. 11.【答案】C【解析】由已知可得，设的夹角为，则有，又因为，所以，故选C.【考点定位】向量的数量积运算及向量的夹角.【名师点睛】本题考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，采用两向量垂直时其数量积为零来进行转化.本题属于基础题，注意运算的准确性.15.【答案】A【解析】由已知得，因为，则，因此，解得，故选A【考点定位】平面向量数量积【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算以及平面向量基本定理，由已知的坐标计算的坐标，

16、再利用已知条件列方程求参数的值；本题还可以先利用向量运算，即，再引入坐标运算，属于中档题17. 【答案】B【解析】由向量平行的性质，有24x6，解得x3，选B【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.18. 答案：A解析：由于D，E，F分别是B

17、C，CA，AB的中点，所以，故选A.名师点睛：本题考查平面向量的加法、减法法则，线段中点的性质，考查转化能力，容易题.19.【答案】C【解析】试题分析：由题意可得 , 所以.故选C.【考点定位】本题主要考查向量数量积的坐标运算.【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若,则 .20.【答案】A【考点定位】1、平面向量的数量积运算；2、向量共线【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、共线向量及复合命题的真假. 本题将平面向量、简易逻辑联结词结合在一起综合考查考生的基本数学素养，体现了高考命题“小题综合化”

18、的原则.本题属于基础题，难度不大，关键是要熟练掌握平面向量的基础知识，熟记“真值表”.二、填空题2. 【答案】【解析】试题分析：因为，所以，即，所以；因为，所以，故，所以，故答案为.考点：共线定理；三角恒等变换.【名师点晴】本题主要考查的是平行向量的坐标运算、向量共线定理，三角恒等变换，属于容易题解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分解决此题的关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式3.【答案】 2.【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.【名师点睛】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.4.【答案】【解析】由题可知，不妨，设，则，所以，所以.【考点定位】1.平面向量数量积运算；2.向量的模.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量的模的计算.根据条件，设定的坐标形式，利用向量的数量积的坐标表示得到的坐标，进而确定其模.本题属于容易题，主要考查学生基本的运算能力.5.【答案】10【解析】试题分析：,所以答案应填：10.考点：1、平面向量的坐标运算；2、向量的模；3、向量的数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积