群的直积ppt课件

1、群的直积,2.4群的直积(2.4DirectProductofGroup),2.4.1群的外直积(ExternalDirectProductofGroup)定义:设G1，G2是两个群，G1G2=(a，b)|aG1，bG2，在G1G2中定义二元运算为乘法:(a1，b1)(a2，b2)=(a1a2，b1b2)，则G1G2关于这种乘法构成群，称G1G2是G1和G2的外直积，简称直积。更一般地，设G1，G2，Gn是群，考虑G=G1G2Gn=(a1,a2,an)|aiGi,1in，,群的直积,定义二元运算为乘法(a1,a2,an)(b1,b2,bn)=(a1b1,a2b2,anbn)，则G关于乘法构成群

2、，G=G1G2Gn为群G1，G2，Gn的外直积。特别地，如果Gi中的二元运算都采用“+”，则称直积为直和，记做:G=G1G2Gn注1.设e1，e2分别是G1，G2的单位元则(e1，e2)是G1G2的单位元；注2.设(a，b)G1G2，aG1，bG2，则(a，b)-1=(a-1，b-1)。注3.当G1，G2是加群时，外直积常记为G=G1G2,群的直积,例1.设G1=(Z，+)，G2=(Z/(6)，+)，则G1G2是一个无限群，单位元为0=(0，)，(3，)+(5，)=(8，)，任一元都是无限阶元。例a=(1，)，则kN，ka=(k，)0。例2.设G=e，a是二阶循环群，则GG含有4个元，即GG=

3、(e，e)，(e，a)，(a，e)，(a，a)由于(e，a)(e，a)=(e，e)，(a，e)(a，e)=(e，e)，(a，a)(a，a)=(e，e)，故GG与Klein四元群同构,GGK4。,群的直积,2.4.2群的直积的性质(PropertyofDirectProductofGroup),定理1设G=G1G2，则G是有限群的充要条件是G1，G2都是有限群.而且当G有限时，|G|=|G1|G2|；G是交换群的充要条件是G1，G2都是交换群；G1G2=G2G1.定理2设a,b分别是G1,G2的有限阶元素，则对(a,b)G1G2，有(a,b)=(a),(b).定理3设G1，G2分别是m,n阶循环

4、群，则G1G2是循环群的充要条件是(m,n)=1.,群的直积,2.4.3群的直积分解(DirectProductResolvingofGroup),一般情况下，一个群能否表示(分解)为两个群的直积呢?定理1设G是群，A，B是G的两个子群，满足:(1)A，B是G的不变子群，A,BG;(2)G=AB;(3)AB=e.则GAB.,群的直积,证明:由(2)可将G表示为G=ab|aA，bB，而AB=(a,b)|aA，bB作映射f:GAB，ab(a,b)a1b1=a2b2a1-1a2=b1b2-1ABa1-1a2=b1b2-1=ea1=a2，b1=b2，f是映射且为单射，f也是满射。x1=a1b1，x2=

5、a2b2G，由(1)(2)及正规子群的性质，A和B的元素可交换，故有f(x1x2)=f(a1b1a2b2)=f(a1a2b1b2)=(a1a2，b1b2)=(a1,b1)(a2,b2)=f(x1)f(x2)保运算GAB,群的直积,推论:设群G有n个不变子群GiG，i=1，2，n，使G的每一元均可唯一地表示为G1，G2，Gn的元的积，则GG1G2Gn。注:推论中的两个条件(1)G1，G2，Gn是G的不变子群;(2)G的每一元均可唯一地表示G1,G2，Gn的元的积，等价于以下三个条件:(1)G=G1G2Gn(2)(3)aiGi，ajGj，ij，有aiaj=ajai,群的直积,更一般地，我们有定理2

6、.GG1G2GnGiG,i=1,2,n,使GiGi，且(1)G=G1G2Gn=a1a2an|aiGi，1in(2)Gi(G1Gi-1Gi+1Gn)=e，i=1,2,n,推论:GG1G2GnGiG，i=1,2,n,使GiG，且(1)aG，a=a1a2an，aiGi唯一表示(2)aiGi，ajGj，ijaiaj=ajai,群的直积,2.4.4群的内直积(InternalDirectProductofGroup),定义:设G1，G2是群G的两个正规子群，满足条件G=G1G2，G1G2=e，则称G是G1和G2的内直积。定理1设G1，G2是群G的两个子群，则G是G1和G2的内直积的充要条件是G满足下列条

7、件群G中的每个元素都可唯一地表示成hk的形式，其中hG1，kG2;群G1中的每个元素与群G2中的任意元素可交换，hk=kh.定理2设G是正规子群G1，G2的内直积，则GG1G2；反之,若G=G1G2，则存在群G的两个正规子群G1，G2，且Gi与Gi同构，使得G是G1与G2的的内直积。,群的直积,2.4.5群分解为不可分解子群的直积(GroupbeingResolvedDirectProductofUnresolvedSubgroup),定义:设G=G1G2Gn，其中GiG，1in，映射fi:GGfi(x)=xi,x=x1x2xixnG，xiGi而且fi具有如下性质:(1)fi是G的自同态:fi

8、(xy)=fi(x)fi(y);(2)fi是幂等的:fi2=fi;(3)fi是正交的:对xG，则ij有fifj=0(4)fi是正规的:任意自同构Ca，有fiCa=Cafi。则称fi为G的投影.,群的直积,注.两个投影fi，fj称为正交的，若fifj=0，f1，fn称为正交投影组，若ij有fifj=0定义:群G叫做可分解的，若存在真正规子群G1，G2，使G=G1G2，否则称G是不可分解的。定理1群G可分解存在投影f0,(为恒等映射)定理2.若群Ge满足正规子群的降链条件，则G存在不等于e的正规子群H1，Hr，使G=H1H2Hr，且Hi都是不可分解的。,群的直积,2.4.6有限群的直积分解(DirectProductResolvingofLimitedGroup)定义:设n是正整数，pi是素数，若n=p11p22prr=n1n2nr，则称ni(1ir)为n的初等因子。若ni|ni+1，i=1，2，r-1，则称ni为n的不变因子。定理3设G是