南京市2012届高三第一次调研数学试卷

1、.南京市2012届高三第一次调研测试数 学 2011.09注意事项：1.本试卷共160分.考试用时120分钟.2.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上.考试结束后，交回答题纸.参考公式：一组数据的方差，其中为这组数据的平均数.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1计算 。2.若复数为纯虚数，则m= 。3.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，则其方差为 。4.已知等比数列an的各项均为正数.若a1=3，前三项的和为21，则a4+a5+a6= 。S 1I 1While S5 End WhilePrint

2、 I第（6）题5.设P和Q是两个集合，定义集合.若，则 。6.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果I为 。7.已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为 cm2。8.过椭圆的左顶点A作斜率为1的直线，与该椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B.若AM=MB，则该椭圆的离心率为 。DCBA9.若方程在区间上有解，则满足所有条件的k的值的和为 。10.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船，甲位于灯塔A的北偏西750方向，与A相距海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西600方向，与B相距5海里的C处.则两艘船之间的距离为 海里.第（11）题B1A

3、1ABCC1D11.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点.若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 。12.设p:函数在区间上单调递增；q：.如果“”是真命题，“p或q”也是真命题，那么实数a的取值范围是 。MDCBAN13.如图，在正方形ABCD中，已知AB=2,M为BC中点.若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是 。第（13）题14.已知函数，A,B是其图象上不同的两点.若直线AB的斜率k总满足，则实数a的值是 。二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球

4、队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，球：篮球 25 羽毛球 32 314乒乓球（1）该队员只属于一支球队的概率；（2）该队员最多属于两支球队的概率；16（本题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=600，Q为AD中点.（1）若PA=PD，求证：平面PQB平面PAD；（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA/平面MQB.BQPADMCO17.（本题满分14分）已知函数.（1）求函数在区间上的值域；（2）在ABC中，若,求的值.18.（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上横

5、坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.（1）求抛物线的标准方程；（2）设点C是抛物线上的动点.若以点C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点.19.（本题满分16分）设，函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，求函数的最小值.20.（本题满分16分）在数列中，已知，且.（1）若数列为等差数列，求p的值；（2）求数列的前n项和；（3）当时，求证：.南京市2012届高三第一次调研测试数学附加题 2011.09注意事项：1.附加题供选修物理的考生使用.2.本试卷共40分，考试时间30分钟.3.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上.考试结束后，交回答题纸.2

6、1.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修41：几何证明选讲如图，已知四边形ABCD内接于O，EF/CD，FG切O于点G.求证EF=FG.FGBECDA.OB. 选修42：矩阵与变换已知矩阵,.在平面直角坐标系中，设直线在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程.C. 选修44：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为（t为参数），P是椭圆上任意一点，求点P到直线l距离的最大值.D. 选修45：不等式选讲已知a，b为正数，求证：.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.

7、 请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.已知圆，定点.动圆M过点F2，且与圆F1相内切.（1）求点M的轨迹C的方程；OxyF2F1M（2）若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A,B两点，且ABF1的面积为，求直线l的方程.23.已知.（1）当时，求的值；（2）设.试用数学归纳法证明：当时，.南京市2012届高三第一次模拟考试 数学参考答案 2011.9一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1 22 32 4168 54 65 74 8 91 10 118 12（4，） 136 14二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程

8、或演算步骤）15（本题满分14分）解：从图中可以看出，3个球队共有20名队员2分（1）记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件A 4分则P(A) 答：随机选取一名队员，只属于一支球队的概率为 8分 （2）记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件B 10分则P(B)1P()1答：随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为 14分16（本题满分14分）证明：（1）因为PAPD，Q为AD的中点，所以PQAD连接BD，因为ABCD为菱形，DAB60，所以ABBD所以BQAD2分因为BQ平面PQB，PQ平面PQB，BQPQQ所以AD平面PQB2分因为AD平面PAD，所以平面P

9、QB平面PAD2分（2）当且仅当t时，PA平面MQB2分BQPADMCO证明如下：连接AC，设ACBQO，连接OM在AOQ与COB中，因为ADBC，所以OQAOBC，OAQOCB所以AOQCOB所以所以 2分在CAP与COM中，当t时，因为，ACPOCM，所以CAPCOM所以CPACMO所以APOM 2分因为OM平面MQB，PA平面MQB，所以PA平面MQB以上每步可逆，当PA平面MQB可得t 2分17（本题满分14分）解：（1）f(x)1cos2xsin2x2sin(2x)1 3分因为x，所以2x5分所以sin(2x)1所以12sin(2x)2所以f(x)0，3即函数f(x)在，上的值域为0

10、，37分（2）由f(C)3得，2sin(2C)12，所以sin(2C)在ABC中，因为0Cp，所以2C所以2C所以C，所以AB 9分因为2sinBcos(AC)cos(AC)所以2sinB2sinAsinC 11分因为BA，C所以2sin(A)sinA即cosAsinAsinA即(1)sinAcosA所以tanA14分18（本题满分16分）解：（1）根据题意，抛物线y22px的准线方程为x，且p0 2分因为抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5，所以该点到准线x的距离也为5所以p2故所求抛物线的标准方程为y24x 5分（2）因为点C在抛物线上，故可设点C为(，t)所以点C到y轴的距离为 因为圆

11、C在y轴上截得的弦长为4，所以圆C的半径r8分所以圆C的方程为(x)2(yt)2()2即x2y2x2tyt240 10分（方法一）因为圆C是动圆所以当t0时，圆C的方程为x2y240， 当t2时，圆C的方程为x2y22x4y0 联立，得 解得或 14分把(2，0)代入圆C方程，左边220222t0t240右边，方程成立，所以圆C恒过定点(2，0)把(，)代入圆C的方程得，左边t2t不恒为0，即随着t的变化而变化故点(，)可能不在圆C上所以圆C恒过定点(2，0) 16分（方法二）将方程x2y2x2tyt240整理为 (1)t22yt(x2y24)0 14分式对任意实数t都成立的充要条件是 即所以

12、圆C恒过定点(2，0) 16分19（本题满分16分）解：（1）当a1时，f(x)x2|lnx1|当0xe时，f(x)x2lnx1，f (x)2x 2分令x1得f(1)2，f (1)1，所以切点为(1，2)，切线的斜率为1所以曲线yf(x)在x1处的切线方程为xy10 5分（2) 当xe时，f(x)x2alnxa，f(x)2x（xe）因为a0，所以f(x)0恒成立所以f(x)在e，)上为增函数故当xe时，yminf(e)e2 7分当xe，即x1，e时，f(x)x2alnxa，f (x)2x(x)(x)（1xe）(i)当1，即0a2时，f (x)在x（1，e）时为正数，所以f(x)在1，e上为增函

13、数故当x1时，ymin1a，且此时f(1)f(e)(ii)当1e，即2a2e2时，f (x)在x(1，)时为负数，在x(，e)时为正数，所以f(x)在1，)上为减函数，在(，e上为增函数故当x时，yminln，且此时f()f(e)(iii)当e，即a2e2时，f (x) 在x(1，e)时为负数，所以f(x)在1，e上为减函数在故当xe时，yminf(e)e213分综上所述，当a2e2时，f(x)在xe时和1xe时的最小值都是e2，所以此时f(x)的最小值f(e)e2；当2a2e2时，f(x)在xe时最小值为e2，在1xe时，最小值为f()ln()，而f()f(e)，所以此时f(x)的最小值f(

14、)ln当0a2时，f(x)在xe时最大值为e2，在1xe时最小值为f(1)1a，而f(1)f(e)，所以此时f(x)的最小值为f(1)1a所以函数yf(x)的最小值为ymin16分20（本题满分16分）解：（1）设数列an的公差为d，则ana1(n1)d，an1a1nd由题意得，a1(n1)d(a1nd)n23n2对nN*恒成立即d2n2(2a1dd2)n(a12a1d)n23n2 所以即或因为a1p0，故p的值为2 3分 （2）因为an1ann23n2(n1)(n2)，所以an2an1(n2)(n3)所以 5分当n为奇数，且n3时，相乘得，所以anp当n1时也符合当n为偶数，且n4时，相乘得

15、，所以ana2因为a1a26，所以a2所以an，当n2时也符合所以数列an的通项公式为an 7分当n为偶数时，Snp2pppp当n为奇数时，Snp2p3pppp所以Sn 10分（3）当n为偶数时，4()422()13分 当n为奇数，且n2时， 4()4（）2（）15分 又因为对任意nN*，都有，故当n2时，16分南京市2009届高三第一次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2009.31（几何证明选讲）（本题满分10分）证明：因为FG切O于点G，所以FG2FBFA2分因为EFCD，所以BEF=ECD又A、B、C、D四点共圆，所以ECD=EAF，所以BEF=EAF5分又EFA=BFE，所以E

16、FABFE 7分所以，即EF2FBFA所以FG2= EF2，即EF=FG.10分2（矩阵与变换）（本题满分10分）解：由题设得MN 3分设(x，y)是直线2xy10上任意一点，点(x，y) 在矩阵MN对应的变换作用下变为(x，y)，则有 ，即，所以7分因为点(x，y)在直线2xy10上，从而2 x(y)10，即2xy10所以曲线F的方程为2xy10 10分3（坐标系与参数方程）（本题满分10分）解：直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x2y02分因为P是椭圆y21上任意一点，故可设P(2cosq ，sinq)其中qR4分因此点P到直线l的距离是d8分所以当qkp，kZ时，d取得

17、最大值 10分4（不等式选讲）（本题满分10分）证明：（方法一）因为a0，b0，所以(ab)()5 4分5298分所以10分（方法二）因为a0，b0，由柯西不等式得(ab)()()2()2 ()2()2 5分()29 8分所以10分（方法三）因为a0，b0， 4分 8分所以 10分OxyF2F1M5（本题满分10分）解：（1）设圆M的半径为r因为圆M与圆F1相内切，所以MF14r因为圆M过点F2，所以MF2r所以MF14MF2，即MF1MF24所以点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆3分 且此椭圆的方程形式为1(ab0)其中2a4，c1，所以a2，b所以曲线C的方程15分（2）（方法一）当直

18、线l的斜率不存在时， A，B两点的坐标分别是(0，)，(0，)，此时SABF，不合题意6分设直线l的方程为ykx (k0)，代入椭圆方程1，得y1，y2所以SABFSAOFSBOFOF1y1OF1y2OF1(y1y2)8分因为SABF，所以解得k故所求直线l的方程为x2y010分（方法二）因为直线l过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，SABF2SAOF因为SABF，所以SAOF 6分不妨设点A(x1，y1)在x轴上方，则SAOFOF1y1所以y1，x1，即点A的坐标为(，)或(，)8分所以直线l的斜率为故所求的直线l的方程为x2y010分（方法三）当直线l的斜率不存在时， A，B两点的坐标分别是(0，)，(0，)，此时SABF，不合题意6分设直线l的方程为ykx (k0)，代入椭圆方程1，得，所以，到直线AB的距离d=,所以S