单调性及最值3 (2).ppt

1、Monday,June15,2020,（三）,1.3.1单调性与最大(小)值,【教学重点】,【教学目标】,【教学难点】,课程目标,理解增函数、减函数的概念,掌握判断某些函数增减性的方法,步渗透数形结合的数学方法,函数单调性概念的理解及应用,函数单调性的判定及证明,教法:自学辅导法、讨论法、讲授法,学法:归纳讨论练习,【教学方法】,【教学手段】,多媒体电脑与投影仪,判断函数在区间(-1,1)上的单调性.,解:设,则f(x1)f(x2),1x1x21,1+x1x20,x2x10,f(x1)f(x2)0.,即f(x1)f(x2).,故此函数在(-1,1)上是减函数.,课前热身,利用函数单调性判断函数

2、的最大(小)值的方法,1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值,2.利用图象求函数的最大(小)值,3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值,如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；,如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；,1.增函数与减函数,一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数,2.单调性、单调

3、区间,如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.,复习回顾,(1)任取x1,x2D,且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2);(3)变形;(4)判号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负)；(5)定论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性),3.利用单调性定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：,4.常见函数的单调性：,在上是增函数在上是减函数,在上是增函数在上是减函数,在(-,+)上是减函数,在(-,+)上是增函数,一次函数y=kx+b(k0),1.利用二次函数的性质

4、（配方法）求函数的最大(小)值,2.利用图象求函数的最大(小)值,3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值,如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增,则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b);,如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).,利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法,1.求函数的单调区间;,2.判断函数的单调性(证明);,5.求函数的最值或值域,3.比较函数的大小,函数单调性的应用,4.求参数的取值范围,【例1】函数y=x2-2|x|-3的单调递增区间是_;,-1,0,1,+

5、),-2,1,-1,一、求函数的单调区间,【1】求函数y=|x+1|1x|的单调区间.,解:由y=|x+1|1x|,知,故函数的增区间为1,1.,练一练,【2】画出函数y=|x2-2x3|的图象.,解:当x2-2x-30,即x1或x3时,y=x2-2x3,=(x-1)24.,当x2-2x30,即1x3时,y=(x2-2x-3),=(x-1)2+4.,【3】求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值.,解:(1)当xf(-a)+f(-b).,证明:由a+b0,得a-b,b-a.,又因为f(x)是R上的增函数,f(a)f(-b),f(b)f(-a),+得f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).,练

6、一练,分析:设,则,确定正负号的关键,是确定,的正负号.,由于x1,x2在同一区间内,要使则需,要使则需,例5.求函数的最大值.,五、求函数的最大(小)值或值域,例5.求函数的最大值.,解:任取x1,x2,x1,x22,4,且x1f(3-a),求实数a的取值范围,练一练,【例3】求f(x)=x2-2ax+2在2,4上的最小值.,解:f(x)=(x-a)2+2-a2,当a2时,当2a4时，,当a4时,f(x)min=f(2)=64a;,f(x)在2,4上是增函数,f(x)min=f(a)=2a2.,f(x)在2,4上是减函数.,f(x)min=f(4)=188a.,几何画板,七、有关最值讨论题,

7、求最大值：,当a3时，,当a3时，,f(x)max=,f(x)max=f(4)=188a,f(x)max=f(2)=64a,例6.已知f(x)=x24x4,xt,t+1(tR)，求f(x)的最小值g(t)的解析式.,解:f(x)=(x2)28,(1)当2t,t+2,即1t2时，,g(t)=f(2)=8;,(2)当t2时，,g(t)=f(t)=t24t4;,(3)当t+12,即t1时,f(x)在t,t+1上是减函数,g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.,综上所述:g(t)=,f(x)在t,t+1上是增函数，,教材P11练习T4.,教材P12A组T7,9,10.,作业布置,再见,2007年9月

8、13日,山东省临沂一中李福国,课堂小结,1.函数单调性的定义：,图象法,定义法,2.函数单调性的判定：,3.函数单调性的应用：,(1)设元:对任意x1,x2D,且x1x2(2)作差:f(x1)-f(x2)(3)变形(4)判号(5)定论,*求函数的单调区间.,若函数f(x),g(x)在给定的区间I上具有单调性,(1)k0时,函数y=f(x)与y=kf(x)+b具有相同的单调性；(2)若f(x)恒为正或恒为负时,函数f(x)与1/f(x)具有相反的单调性.(3)若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(4)若f(x)0,g(x)0,且f(x)与g(x)都是增

9、(减)函数,则f(x)g(x)也是增(减)函数;若f(x)0,g(x)0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)g(x)是减(增)函数.,单调性性质规律总结:,(4)奇函数在对称的区间上有相同的单调性,偶函数在对称的区间上有相反的单调性.(5)复合函数fg(x)的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定(同则增异则减).,单调性性质规律总结:,复合函数：,y=fg(x),令u=g(x),则y=f(u),内函数,外函数,y=fg(x),原函数,以x为自变量,以u为自变量,以x为自变量,(5)复合函数的单调性,复合函数单调性结论：,当内外函数在各自定义域内同增同减时,原函数增;,当内外

10、函数在各自定义域内一增一减时,原函数减.,(1)f(x)是a,b上增函数,若存在x1,x2a,b且x1f(x2)f(x)是a,b上减函数.,（正确）,（错误）,（错误）,（错误）,【2】判断下列两个命题的正误：,练一练,练习：,注意：,在原函数定义域内讨论函数的单调性,补充练习：,(1)f(x)是a,b上增函数,若存在x1,x2a,b且x1f(x2)f(x)是a,b上减函数.,（正确）,（错误）,（错误）,（错误）,【1】判断下列说法是否正确.,练一练,定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1),则函数f(x)是R上的增函数().,定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1),则函数f(x)

11、在R上不是减函数().,函数y=f(x)在区间I上对于任意的x1,x2满足,则f(x)在区间I上为单调增函数().,X,练一练,【2】判断下列说法是否正确.,定义在R上的函数f(x)在区间(-,0上是增函数,在区间(0,+)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数().,定义在R上的函数f(x)在区间(-,0上是增函数,在区间0,+)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数().,y,X,函数y=f(x)在区间I上对于任意的x1,x2,且x11时,f(x)0.(1)求证:f(x)为偶函数；(2)讨论函数的单调性；(3)求不等式f(x)+f(x-3)2的解集.,(1)证:在中令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)f(1)=0.,令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0.,再令y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x).,f(x)为偶函数.,先讨论f(x)在(0,+)上的单调性,任取x1,x2,设x2x10,f(x2)f(x1).,f(x)在(0,+)上是增函数,由(1)知,f(x)在(-,0)上是减函数.,偶函数图象关于y轴对称,(3)解:fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2,由、得2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4),1)若x(x-3)0,f(x)在(0,+)上为增函数,由fx(x-3)f(4)得:,