第15章概率章末题型归纳总结（能力篇）（6大题型）（原卷版）

第15章概率章末题型归纳总结（能力篇）章末题型归纳目录模块一：本章知识思维导图模块二：知识点总结模块三：典型例题题型一：事件的运算题型二：概率的基本性质题型三：互斥事件、对立事件与相互独立事件题型四：古典概型题型五：相互独立事件概率的计算题型六：概率综合问题

模块一：本章知识思维导图

模块二：知识点总结知识点1：样本空间和随机事件1、随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．2、样本空间我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．3、随机事件、确定事件（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．（2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．（3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件．（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．知识点2：两个事件的关系和运算1、事件的关系与运算①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件．②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：2、互斥事件与对立事件（1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示：如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．（2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．（3）互斥事件与对立事件的关系①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．知识点3：概率与频率（1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作．（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．知识点4：古典概型（1）定义一般地，若试验具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．（2）古典概型的概率公式一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率．知识点5：概率的基本性质（1）对于任意事件都有：．（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．（5）概率的单调性：若，则．（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．知识点6：相互独立1、相互独立事件的概念对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立．2、相互独立事件的性质（1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立．（2）相互独立事件同时发生的概率：．

模块三：典型例题题型一：事件的运算【典例11】（2025·高二·山东淄博·阶段练习）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（

）A． B．C． D．【典例12】（2025·高二·四川遂宁·阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”下列结论是判断错误的是

（

）A．与互斥 B．，C． D．，为对立事件【变式11】（2025·高一·全国·单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（

）A． B． C． D．【变式12】（2025·高二·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（

）A． B． C． D．【变式13】（2025·高二·广东佛山·阶段练习）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（

）A． B．C． D．题型二：概率的基本性质【典例21】（2025·高二·广西钦州·期末）已知事件与互斥，且，，则.【典例22】（2025·高三·全国·专题练习）已知某艺术协会的会员中，有的会员喜爱书画或戏曲，有的会员喜爱书画，有的会员同时喜爱书画、戏曲．现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为．【变式21】（2025·高二·安徽·期中）现有10名巴黎奥运会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取3名（每次取一个），派往参与高台跳水项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的概率是.【变式22】（2025·高二·浙江·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则．【变式23】（2025·高一·江苏常州·期末）一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为．题型三：互斥事件、对立事件与相互独立事件【典例31】（2025·高一·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（

）A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立【典例32】（2025·高一·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（

）A．事件A和相等 B．事件A和互相对立C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥【变式31】（2025·高一·河南安阳·阶段练习）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（

）A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件【变式32】（2025·高二·上海杨浦·期末）已知，，，则事件与的关系是（

）A．与互斥不对立 B．与对立C．与相互独立 D．与既互斥又独立【变式33】（2025·广东·模拟预测）在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（

）A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件不是相互独立事件C． D．题型四：古典概型【典例41】（2025·高二·云南·阶段练习）已知甲组共20人，乙组共30人，现按比例采用分层随机抽样的方法从这两组中共抽取5人参加升国旗仪式，在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手，则被抽取的这2人中至少有1人是甲组的概率为（

）A． B． C． D．【典例42】（2025·高三·全国·专题练习）已知，则函数存在两个零点的概率为（

）A． B． C． D．【变式41】（2025·云南曲靖·一模）有一组样本数据为0，1，2，3，4，5，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的第25百分位数相等的概率为（

）A． B． C． D．【变式42】（2025·高一·江西·期末）某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，发车顺序随机，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，他先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他没有乘坐下等车的概率为（

）A． B． C． D．【变式43】（2025·高二·湖北·开学考试）小明同学有6把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为，则，的值分别为（

）A．， B．， C．， D．，题型五：相互独立事件概率的计算【典例51】（2025·高二·北京·阶段练习）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（

）A．密码被成功破译的概率为 B．密码被成功破译的概率为C．两人都成功破译的概率为 D．两人都成功破译的概率为【典例52】（2025·高三·甘肃白银·阶段练习）甲、乙、丙三人各自计划去河南洛阳旅游，他们在3月25日到3月27日这三天中的一天到达河南洛阳，他们在哪一天到达河南洛阳相互独立，互不影响，且他们各自在3月25日、3月26日、3月27日到达河南洛阳的概率如下表所示：到达日期3月25日.3月26日3月27日0.30.40.30.40.50.10.20.30.5设甲、乙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，甲、丙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，乙、丙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，则（

）A． B． C． D．【变式51】（2025·上海崇明·二模）抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【变式52】（2025·高三·安徽阜阳·开学考试）泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布.若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台共有2个乘客候车的概率为（

）A． B． C． D．【变式53】（2025·高一·安徽阜阳·阶段练习）甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（

）A．0.4 B．0.6 C． D．0.76题型六：概率综合问题【典例61】（2025·河南·二模）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小鼠随机均分为两组：对照组（不含药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小鼠的体重增加量（单位：g），并对数据进行分析，得到如下频率分布直方图：(1)估计实验组小鼠体重增加量的80%分位数；(2)将这两组小鼠的体重增加量，从低到高分为三个等级：体重增加量/g等级较轻中等较重假设对照组和实验组小鼠体重增加量的等级结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从实验组和对照组中各随机抓取一只小鼠，求抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率.【典例62】（2025·北京朝阳·一模）某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表：高一高二高三A地B地A地B地A地B地满意122183156一般226568不满意116232假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率．(1)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；(2)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率；(3)对于上述样本，在三个年级去A地研