【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题03三角函数 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题03三角函数真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、单选题1．（2021·北京·高三强基计划）已知O为的外心，与的外接圆分别交于点D，E．若，则（

）A． B． C． D．以上答案都不对【答案】B【分析】利用圆周角和圆心角的关系可求的大小.【详解】如图，连结．由于，于是弧分别与弧、弧相等，进而可得弧与弧相等、弧与弧相等，进而，从而，因此是外接圆的直径，进而．2．（2020·北京·高三强基计划）设等边的边长为1，过点C作以为直径的圆的切线交的延长线于点D，，则的面积为（

）A． B．C． D．前三个答案都不对【答案】C【分析】利用射影定理可求，故可求的面积.【详解】如图，设题中圆的圆心为O，与圆O切于点T，连结，则，于是，从而．故选：C.3．（2020·北京·高三强基计划）函数的最大值为（

）A． B．C． D．前三个答案都不对【答案】D【分析】利用基本不等式可求代数式的最大值.【详解】题中代数式为，等号当时可以取得，因此所求最大值为．故选：D.4．（2020·北京·高三校考强基计划）使得成立的最小正整数n的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先证明成立，再结合的单调性可估算的取值范围，从而可得最小正整数n的值.【详解】根据题意，有，记，则函数在上是单调递增函数．设，则：，当时，有，故，故为上的增函数，故.接下来利用当时，以及正弦函数的单调性估计．，有，因此使得不等式成立的最小正整数n的值为5．故选：C.5．（2020·北京·高三校考强基计划）在中，．点P满足，则（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】根据题设条件可得P为的费马点，如图，以为边作等边三角形，可证，故可判断各项的正误.【详解】根据题意，方向上的单位向量之和为零向量，因此，进而P为的费马点．如图，以为边作等边三角形，则，故四点共圆，故，故，故，同理，，因此所有选项均正确．故选：ABCD.6．（2020·北京·高三校考强基计划）设为锐角，且，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用基本不等式可求最大值.【详解】解法一：由得，所以．因为均为锐角，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值是．解法二:

由得:，于是，等号当时取得，因此的最大值为．7．（2020·北京·高三校考强基计划）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用裂项相消法可求数列的和，再根据基本极限可求题设中数列的极限.【详解】根据题意，有，于是．故选：A.8．（2020·北京·高三校考强基计划）（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的乘法可求3个角的和的正弦值.【详解】分别是复数的辐角，于是题中代数式为复数的辐角的正弦值，为1．故选：A.二、多选题9．（2020·北京·高三校考强基计划）设的三边长a，b，c都是整数，面积是有理数，则a的值可以为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】CD【分析】由特例可得a的值可以取3，4，再利用整数的性质可判断a的值不可能为1，2，故可得正确的选项.【详解】取三边为3，4，5的三角形，其面积为6，此时a的值可以取3，4．当时，有，此时的面积为，注意到，不为完全平方数，因此的面积不可能是有理数．当时，不妨设，有或．情形一

若，则的面积为．若，其中p，q为互质的正整数，则，于是为完全平方数，而正整数的完全平方数的最小间隔为，因此该情形不成立．情形二

若，则，于是面积为有理数，等价于为有理数，即为完全平方数，注意到，因此的面积不可能是有理数．综上所述，a的值不可能为1，2，可能为3，4．故选：CD.10．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中），得到四个小正方形，记它们的面积分别为，则以下结论正确的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【详解】设，最大正方形的边长为1，小正方形的边长分别为．∵，，，，，所以C正确；，所以，所以B正确，故选：BC.11．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设的内角的对边分别为.若，则（

）A．B．C．的面积最大值为D．的周长最大值为【答案】AC【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式以及基本不等式化简即可。【详解】由化简得：因为所以故A正确又由当且仅当时取等号三角形的周长由余弦定理得因为（当且仅当时取等号）所以，，排除D故选:AC三、填空题12．（2021·北京·高三强基计划）在锐角中，的最小值是_________．【答案】【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值.【详解】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：，于是，等号当时取得，因此所求最小值为故答案为：13．（2022·江苏南京·高三强基计划）设，则函数的最大值为___________.【答案】【详解】，令，所以，，则时，；时，，所以在上增，上减，，故答案为：.14．（2022·江苏南京·高三强基计划）在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知，则的值为___________.【答案】1【详解】由正弦定理边化角：，，，得，由，得，故答案为：1.15．（2022·江苏南京·高三强基计划）函数的值域为___________.【答案】【详解】令，由得，则，，所以.故答案为：.16．（2021·全国·高三竞赛）设，且，则实数m的取值范围是___________.【答案】【详解】解析：.令，则，且，于是，显然m是上的减函数，所以，即.故答案为：.17．（2020·浙江·高三竞赛）已知，则的最大值为___________.【答案】.【详解】，同理，故，而，因为，故.当且仅当时，各等号成立，故答案为：.18．（2021·全国·高三竞赛）函数的最小正周期为____________．【答案】【详解】解析：当时，，当时，，其中且，画出图象可得函数周期为．故答案为：.19．（2021·全国·高三竞赛）已知满足，则的最小值是_______．【答案】16【详解】解析：．令，则．当时，，所以，故．故答案为：1620．（2021·全国·高三竞赛）在中，，则的值为__________．【答案】7【详解】解析：记中A、B、C所对的边分别是a、b、c，如图，设内切圆的半径为，则，，，故，故，即，故答案为：721．（2021·浙江·高三竞赛）若，则函数的最小值为______.【答案】【详解】令，,当且仅当即时取等号.故答案为：.22．（2022·福建·高二统考竞赛）已知，，，且，则的最大值为___________.【答案】【详解】由，，，知，，又，，，所以，，所以，当且仅当时等号成立，设，则，因此，；时，，所以在上递增，在上递减，所以时，取最大值，因此，当，时等号成立，所以的最大值为，故答案为：.23．（2022·浙江·高二竞赛）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角A的取值范围是______.【答案】【详解】由余弦定理可得，，且，，，设，则，，，则，，，.24．（2022·北京·高三校考强基计划）在中，，其外接圆半径，且，则___________.【答案】1【分析】利用正弦定理的边角互化结合三角恒等变换即可求解【详解】因为，所以因为，所以,进而有，于是因为，所以.故答案为：125．（2022·北京·高三校考强基计划）在梯形中，在边上，有，则取值范围为___________.【答案】【分析】由，可得四点共圆，于是得，即可得答案.【详解】解：如图所示：，所以四点共圆，因为是所对的圆周角，所以，于是，又因为,所以,在中，,即,所以,即有,所以.故答案为：.26．（2022·北京·高三校考强基计划）若三边长为等差数列，则的取值范围是___________.【答案】【分析】通过余弦定理以及等差数列的性质，将目标式转化为关于公差的关系是，通过公差的范围得出结论.【详解】不妨设三边长为，其中.此时：故答案为：.27．（2021·全国·高三竞赛）在中，，则的最大值为_______________．【答案】【详解】令，则，即．因为，所以，整理得，，化简得，于是，得，所以的最大值为．故答案为：.四、解答题28．（2021·全国·高三竞赛）求证：对任意的，都有．【答案】证明见解析.【详解】由于，只需证：．设，注意到：，即，又由于、、均大于0，则，从而．所以，所以