2024-2025学年高中数学2.4正态分布课时作业含解析新人教A版选修2-3

PAGE1-课时作业18正态分布学问点一正态分布的有关概念1.设两个正态分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2答案A解析依据正态分布密度曲线的性质：正态分布密度曲线是一条关于x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，结合图象可知μ1<μ2，σ1<σ2.故选A.2．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成果听从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是()A．三科总体的标准差相同B．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同C．丙科总体的平均数最小D．甲科总体的标准差最小答案D解析由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲＜σ乙＜σ丙．故选D.学问点二正态分布的性质3.已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)等于()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4答案A解析因为P(X＞2)＋P(0≤X≤2)＋P(－2≤X≤0)＋P(X＜－2)＝1，P(X＞2)＝P(X＜－2)，P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)，所以P(X＞2)＝eq\f(1,2)[1－2P(－2≤X≤0)]＝0.1.4．设随机变量X～N(1,22)，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)X))等于()A．4B．2C.eq\f(1,2)D．1答案D解析因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)X))＝eq\f(1,4)D(X)＝1.学问点三正态分布的应用5.已知一次考试共有60名同学参与，考生的成果X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间()A．(90,110]内 B．(95,125]内C．(100,120]内 D．(105,115]内答案C解析eq\f(57,60)＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内，即在区间(110－2×5,110＋2×5]内．6．某班同学共有48人，数学测验的分数听从正态分布，其平均分是80分，标准差是10分，则该班同学中成果在70～90分的约有________人．答案33解析依题意，得μ＝80，σ＝10，所以P(70<ξ<90)＝P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，所以48×0.6826≈33(人)．即该班约有33人的成果在70～90分．一、选择题1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为()A．1B．－1C．0D．不确定答案C解析均值即为其对称轴，∴μ＝0.2．如图所示的是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3答案D解析当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝eq\f(1,\r(2π))eeq\s\up15(－eq\f(x2,2))在x＝0处取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ肯定时，曲线的形态由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.3．已知随机变量X听从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)等于()A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84答案A解析由X～N(2，σ2)，得正态曲线的对称轴为直线x＝2，如图所示，可知P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16，故选A.4．设随机变量ξ听从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝()A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975答案C解析ξ听从正态分布N(0,1)，则P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，从而P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.5．一批电阻的电阻值X(Ω)听从正态分布N(1000,52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011Ω和982Ω，可以认为()A．甲、乙两箱电阻均可出厂B．甲、乙两箱电阻均不行出厂C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不行出厂D．甲箱电阻不行出厂，乙箱电阻可出厂答案C解析∵X～N(1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.∵1011∈(985,1015)，982∉(985,1015)，∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不行出厂．二、填空题6．设ξ～N(1,4)，那么P(3＜ξ＜5)＝________.答案0.1359解析因为ξ～N(1,4)，所以μ＝1，σ＝2，P(3＜ξ＜5)＝P(－3＜ξ＜－1)，则P(3＜ξ＜5)＝eq\f(1,2)[P(－3＜ξ＜5)－P(－1≤ξ≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4＜ξ＜1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)(0.9544－0.6826)＝0.1359.7．若随机变量ξ～N(10，σ2)，若ξ在(5,10)上的概率等于a，a∈(0,0.5)，则ξ在(－∞，15)上的概率等于______．答案eq\f(1,2)＋a解析P(10<ξ<15)＝a，故P(－∞<ξ≤5)＝eq\f(1,2)(1－2a)＝eq\f(1,2)－a，所以ξ在(－∞，15)的概率等于eq\f(1,2)－a＋a＋a＝eq\f(1,2)＋a.8．某一部件由3个元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设3个电子元件的运用寿命(单位：小时)均听从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的运用寿命超过1000小时的概率为________．答案eq\f(3,8)解析由题意得，3个电子元件的运用寿命听从正态分布N(1000,502)，则每个元件的运用寿命超过1000小时的概率均为eq\f(1,2)，则元件1和2的运用寿命至少有一个超过1000小时的概率为1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，故该部件运用寿命超过1000小时的概率为eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).三、解答题9．在某次数学考试中，考生的成果X听从正态分布X～N(90,100)．(1)试求考试成果X位于区间(70,110]内的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成果位于区间(80,100]内的考生大约有多少人？解∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.9544，而在该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成果X位于区间(70,110]内的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.6826，所以考试成果X位于区间(80,100]内的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以考试成果在(80,100]内的考生大约有2000×0.6826≈1365(人)．10．生产工艺过程中产品的尺寸偏差X(mm)～N(0,22)，假如产品的尺寸与现实的尺寸偏差的肯定值不超过4mm的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率．(精确到0.001)解由题意X～N(0,22)求得