九年级中考2025年安徽中考数学真题汇编 专题04 二次根式

专题04二次根式课标要求考点考向1、了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，能用根号表示二次根式，会判断一个根式是否为最简二次根式，以及确定几个二次根式是否为同类二次根式.2、理解二次根式的性质，并能运用这些性质进行化简和计算.3、掌握二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则，会进行简单的四则运算，包括将二次根式化为最简二次根式后，进行同类二次根式的合并，以及利用乘除法则进行化简计算等.4、明确二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于0，能根据这个条件确定函数自变量的取值范围，或解决相关的不等式问题.5、能用二次根式解决一些简单的实际问题，如在几何图形的计算、物理公式的应用等场景中，列出含有二次根式的表达式并求解.二次根式概念考向一二次根式定义与性质考向二二次根式有意义二次根式运算考向一二次根式混合运算考向二二次根式应用考点一二次根式概念►考向一二次根式定义与性质易错易混（1）被开方数的条件：1、非负性：二次根式的被开方数必须是非负实数，即a≥0。因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。2、唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。（2）最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件：1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2.被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2。那么，这个根式叫做最简二次根式。1．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北咸宁·一模）下列运算中，正确的是（

）A． B．C． D．3．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（）A． B． C． D．►考向二二次根式有意义1．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·江苏宿迁·中考真题）要使有意义，则实数x的取值范围是．3．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为．考点二二次根式运算►考向一二次根式混合运算易错易混提醒加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。乘法：二次根式可以进行乘法运算。两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化1．（2024·江苏南通·中考真题）计算的结果是（

）A．9 B．3 C． D．2．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．3．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．4．（2024·山东威海·中考真题）计算：．5．（2024·甘肃·中考真题）计算：．6．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：．►考向二二次根式应用1．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（

）

A． B． C． D．2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则AD的最大值为（

）A． B． C．5 D．83．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．提出问题销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？分析问题某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示．小明设计了如下三种铲籽方案．方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．解决问题在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．4．（2024·河北·中考真题）情境

图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）操作

嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：（1）直接写出线段的长；（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．1．（2024·安徽合肥·一模）甲袋中装着分别标有数字2，，，的同质同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号“”、“”的同质同大小的两个球，先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出的两球上标的数按乙袋摸出球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽·二模）安安同学在正三角形中放入正方形和正方形（两个正方形不重叠），使得在边AB上，点P，N分别在边上．下列说法正确的是（）A．两个正方形边长和的最小值为 B．两个正方形的边长差为3C．两个正方形面积和的最小值为 D．两个正方形面积和的最大值为3．（2021·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），当抛物线y=2（x-a）+2a与四边形OABC的边有交点时a的取值范围是（

）A．-1≤a≤0 B． C． D．4．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，已知是等腰直角三角形，，，点在边上，连接，以为边在右侧作正方形，连接，且，则的长为（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽蚌埠·三模）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．6．（2024·安徽·三模）函数的自变量的取值范围是．7．（2024·安徽阜阳·三模）若式子有意义，则x的取值范围为．8．（2024·安徽淮北·三模）观察下列二次根式的化简过程：；；；…回答下列问题：(1)______；(2)，当无穷大时，最接近的整数是多少？9．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式：①；②；③；……请你根据以上规律，解答下列问题：(1)写出第6个等式：；第n个等式：；(2)计算：．10．（2024·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中．11．（2024·安徽亳州·二模）先化简，再求值：，其中．

专题04二次根式课标要求考点考向1、了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，能用根号表示二次根式，会判断一个根式是否为最简二次根式，以及确定几个二次根式是否为同类二次根式.2、理解二次根式的性质，并能运用这些性质进行化简和计算.3、掌握二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则，会进行简单的四则运算，包括将二次根式化为最简二次根式后，进行同类二次根式的合并，以及利用乘除法则进行化简计算等.4、明确二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于0，能根据这个条件确定函数自变量的取值范围，或解决相关的不等式问题.5、能用二次根式解决一些简单的实际问题，如在几何图形的计算、物理公式的应用等场景中，列出含有二次根式的表达式并求解.二次根式概念考向一二次根式定义与性质考向二二次根式有意义二次根式运算考向一二次根式混合运算考向二二次根式应用考点一二次根式概念►考向一二次根式定义与性质易错易混（1）被开方数的条件：1、非负性：二次根式的被开方数必须是非负实数，即a≥0。因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。2、唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。（2）最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件：1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2.被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2。那么，这个根式叫做最简二次根式。1．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据求出，即可求解．【详解】∵∴∴故选：A．2．（2024·湖北咸宁·一模）下列运算中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，分式的乘方，同底数幂的乘法，根据以上运算法则进行计算即可求解．【详解】解：A．无意义，故该选项不正确，不符合题意；

B．，故该选项不正确，不符合题意；C．，故该选项不正确，不符合题意；

D．，故该选项正确，符合题意；故选：D．3．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可．【详解】解：根据所给式子的规律可得：，解得：．故选：B．►考向二二次根式有意义1．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题．【详解】解：由题知，，解得，故答案为：C．2．（2024·江苏宿迁·中考真题）要使有意义，则实数x的取值范围是．【答案】/【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵二次根式要有意义，∴，∴，故答案为；．3．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为．【答案】x>1/【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，解得：；故答案为：．考点二二次根式运算►考向一二次根式混合运算易错易混提醒加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。乘法：二次根式可以进行乘法运算。两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化1．（2024·江苏南通·中考真题）计算的结果是（

）A．9 B．3 C． D．【答案】B【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可．【详解】解：，故选B．2．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．【详解】A.不能合并，所以A选项错误；B.，所以B选项正确；C.，所以C选项错误；D.，所以D选项错误．故选：B．3．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则．【详解】解：A、，计算正确；B、不能合并，原计算错误；C、，原计算错误；D、，原计算错误；故选A．4．（2024·山东威海·中考真题）计算：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解．【详解】解：故答案为：．5．（2024·甘肃·中考真题）计算：．【答案】0【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】．6．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：．【答案】【分析】本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可．【详解】解：原式．►考向二二次根式应用1．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：∵，∴，∵，设∴，∴，由题意得：，∴，∵，∴，故选：A2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则AD的最大值为（

）A． B． C．5 D．8【答案】D【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，求解，结合，（三点共线时取等号），从而可得答案．【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，∴，，，∴，∵，（三点共线时取等号），∴的最大值为，故选D【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合适的辅助线是解本题的关键．3．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．提出问题销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？分析问题某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示．小明设计了如下三种铲籽方案．方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．解决问题在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长；解决问题：利用作差法比较三种方案即可．题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键．【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，∴每行铲的路径长为，∵每列有k个籽，呈交错规律排列，∴相当于有行，∴铲除全部籽的路径总长为，故答案为：；；；方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，∴每列铲的路径长为，∵每行有n个籽，呈交错规律排列，，∴相当于有列，∴铲除全部籽的路径总长为，故答案为：；方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，∴铲除全部籽的路径总长为：；解决问题由上得：，∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；，∵，当时，，，∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．4．（2024·河北·中考真题）情境

图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）操作

嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：（1）直接写出线段的长；（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．【答案】（1）；（2），；的长为或．【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度．（1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可；（2）由为等腰直角三角形，；求解，再分别求解；可得答案，如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可．【详解】解：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，∴，由拼接可得：，由正方形的性质可得：，∴，，为等腰直角三角形，∴为等腰直角三角形，设，∴，∴，，∵正方形的边长为，∴对角线的长，∴，∴，解得：，∴；（2）∵为等腰直角三角形，；∴，∴，∵，，∴；如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，此时，，符合要求，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，此时，，∴，综上：的长为或．1．（2024·安徽合肥·一模）甲袋中装着分别标有数字2，，，的同质同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号“”、“”的同质同大小的两个球，先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出的两球上标的数按乙袋摸出球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查用列表法求概率，列表得到所有的情况总数，找出结果是有理数的情况数，再利用概率公式求解，即可解题．【详解】解：由题可列表如下：乘法运算结果22加法运算结果22由表可知：总共有24种结果，其中结果是有理数的有8种，结果是有理数的概率为，故选：B．2．（2023·安徽·二模）安安同学在正三角形中放入正方形和正方形（两个正方形不重叠），使得在边AB上，点P，N分别在边上．下列说法正确的是（）A．两个正方形边长和的最小值为 B．两个正方形的边长差为3C．两个正方形面积和的最小值为 D．两个正方形面积和的最大值为【答案】D【分析】连接，设正方形、正方形的边长分别为，求得面积和的表达式为：，再结合（2）的结论，即可求出这两个正方形面积和的最大值和最小值了．【详解】解：如图，连接，则．设正方形、正方形的边长分别为，它们的面积和为S，则，，∴，∴．延长交于点G，则，在中，由勾股定理，．∵，即，∴，∴，∴，故选项A、B不正确；∴．①当时，即时，S最小．∴；故选项C不正确；②当最大时，S最大．即当a最大且b最小时，S最大．∵，由（2）知，，．∴．故选项D正确；故选：D．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了等边三角形的性质，正方形的性质，二次函数的性质等知识，解题关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．3．（2021·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），当抛物线y=2（x-a）+2a与四边形OABC的边有交点时a的取值范围是（

）A．-1≤a≤0 B． C． D．【答案】D【分析】由二次函数与四边形OABC的交点为各端点，求得对应a的值，进而确定a的取值范围，得到答案．【详解】解：∵点A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），当抛物线过点A（-2，0）时，解得：a=-1或a=-4；当抛物线过点B（-2，-2）时，解得：a=或a=；当抛物线过点C（0，2）时，解得：a=或a=；当抛物线经过原点（0，0）时，解得：a=0或a=-1；抛物线y=2（x-a）+2a，∵2＞0，开口向上，最小值为2a，直线BC为y=2，∴2a≤2，即a≤1∵＜-4＜＜-1＜＜0＜∴当抛物线y=2（x-a）+2a与四边形OABC的边有交点时a的取值：≤a≤故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、解一元二次方程、坐标与图形、二次根式的运算，利用二次函数与四边形的端点相交确定对应的a的临界值是解题的关键．4．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，已知是等腰直角三角形，，，点在边上，连接，以为边在右侧作正方形，连接，且，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点A作交于点G，交交于点M，过点F作交的延长线于点H，根据正方形的性质利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，然后根据等腰直角三角形利用证明，根据全等三角形的性质得出，可得出，根据勾股定理可得出，最后根据线段的和差即可得出答案．【详解】解：如图，过点A作交于点G，交交于点M，过点F作交的延长线于点H，则，四边形是正方形，，等腰直角三角形又，故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．5．（2023·安徽蚌埠·三模）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据幂的乘方，二次根式的化简，合并同类项解答即可．本题考查了幂的乘方，二次根式的计算，合并同类项，熟练掌握运算公式和性质是解题的关键．【详解】A.，正确，符合题意；

B.，错误，不符合题意；C.