广东省2025年深圳市高三年级第二次调研考试（数学试题及答案深圳二模）

本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有A.6,6,6,6,6B.5,5,6,7,7C.4,5,6,7,8A.√3B.2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件),则sinα=5.已知正四棱锥的底面边长为6,且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为A.36√3B.36√6C.108√36.已知函数f(x)=ae*-e*(a为常数),则C.Va∈R,f(x)为增函数D.3aA.z1-z₂=云-2B.|z₁-z₂二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符A.f(0)=0C.f(x)为偶函数a,∈{-1,0,1}(i=0,1,2,…,k),a≠0.记I(n)为上述表示中a;为0的个数(例如A.I(9)=2B.I(3"-1)=n-1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数,若f(a)=e,则13.已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F(1,0),C的准线与x轴的交点为T,若过片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公不是“和谐序”),现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)16.(15分)已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁,底面ABCD是边长为2的菱形，AA₁⊥平面ABCD,∠ABC=60°,AA₁=A₁B₁=1,E是BC的中点.(1)证明：DD₁⊥平面AD₁E;(2)求平面AD₁E与平面A₁D₁E夹角的余弦值.2025年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题第3页共4页17.(15分)(1)求E的方程；18.(17分)已知函数f(x)=xlnx-1,函数f(x)图象上的一点,按照如下的方(1)写出xn与xn-1的递推关系式；(2)记f(x)的零点为r,且x₀>r.19.(17分)从编号为1,2,...,n(n∈N")的座位中按照如下方式选取座位：选取至少2个座位，(1)若n个座位排成一排，对应的“社交排位”数为u,例如n=1时，由于至少要选取2个座位，因此u₁=0;n=3时，由于只能选取第1,3个座位，因此u₃=1.(i)求u₄,U₅;(2)若n个座位排成一圈，对应的“社交排位”数为r,求数列{r}中第2025个奇2025年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题题号12345678DDBAABBC1.题源：人教A版必修第二册215页第1题.2.题源：人教A版选择性必修第一册124页第1题.3.题源：人教A版必修第二册60页第2(3)题.4.题源：人教A版必修第一册229页第3题.5.题源：2024年全国新课标I卷第5题.6.题源：2023年全国乙卷(理科)第10题.7.题源：人教A版必修第一册160页第6题.8.题源：人教A版必修第二册95页第3题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号99.题源：2024年全国新课标IⅡ卷第9题.10.题源：2023年全国新课标I卷第11题.11.题源：2022年全国新课标II卷第12题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。数学试题参考答案及评分标准第1页共12页数学试题参考答案及评分标准第2页共12页12.题源：2024年全国新课标I卷第6题.13.题源：2013年全国新课标II卷(文)第10题.14.题源：2024年新全国课标I卷第14题.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在△ABC中，BC边上的高等于【命题说明】本题源自2017年全国新课标I(理)第17题.(1)设△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(2)由正弦定理得又(b+c)²=b²+c²+2bc=6+2×2=10,所以16.(15分)已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁,底面ABCD是边长为2的菱形，AA₁⊥平面ABCD,∠ABC=60°,AA₁=A₁B₁=1,E是BC的中点.(1)证明：DD₁⊥平面AD₁E;(2)求平面AD₁E与平面A₁D₁E夹角的余弦值.12.题源：2024年全国新课标I卷第6题.13.题源：2013年全国新课标II卷(文)第10题.14.题源：2024年新全国课标I卷第14题.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在△ABC中，BC边上的高等于【命题说明】本题源自2017年全国新课标I(理)第17题.(1)设△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(2)由正弦定理得又(b+c)²=b²+c²+2bc=6+2×2=10,所以16.(15分)已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁,底面ABCD是边长为2的菱形，AA₁⊥平面ABCD,∠ABC=60°,AA₁=A₁B₁=1,E是BC的中点.(1)证明：DD₁⊥平面AD₁E;(2)求平面AD₁E与平面A₁D₁E夹角的余弦值.又AD₁,AEc平面AD₁E,AENAD₁=A,所以D₁D⊥平面AD₁E.则M是AD₁中点，又A₁M//DD₁,所以A₁M⊥平面AD₁E,又因为D₁Ec平面AD₁E,所以A₁M⊥D₁E,因为A₁M⊥平面AD₁E,MTc平面AD₁E,数学试题参考答案及评分标准第4页共12页故平面AD₁E与平面A₁D₁E夹角的余弦值为解法2因为AA₁⊥平面ABCD,所以AE,AD,AA₁两两垂直.以A为原点，AE,AD,AA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系则E(√3,0,0),A₁(0,0,1),D(0,2,0),由(1)易知平面AD₁E的一个法向量为D,D=(0,1,-1),设平面A₁D₁E的法向量为n=(x,y,z),设平面AD₁E与平面A₁D₁E的夹角为θ,故平面AD₁E与平面A₁D₁E夹角的余弦值为已知椭圆,F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，,R是直线y=2上一动点，P|R|的最小值为1.(2)过R作E的两条切线分别交x轴于M,N两点，求△RMN面积的取值范围.【命题说明】本题源自2021年全国乙卷(理)第21题.【参考答案】数学试题参考答案及评分标准第5页共12页(1)设点F(c,0)(c>0),当直线PF与x轴垂直时，点,则因为|PR|的最小值为2-b=1,所以b=1,故E的方程为(2)设点M(m,0),N(n,0),R(L,2),注意到RM,RN斜率不为0,联立,得[16+(1-m²]y²+4(t-m)my+4(m²-4)=0,因为RM与E相切，所以△=[4(-m)m²-4[16+(-m)²]·4(m²-4)=0,于是16(t-m²m²-16[16+(t-m)²](m²-4)=化简得3m²+2tm-t²-16=0,故m,n是一元二次方程3x²+2x-t²-16=0的两根，则又r²≥0,所以所以△RMN面积的取值范围为18.(17分)已知函数f(x)=xlnx-1,已知函数f(x)图象上的一点,按照如下的方式构造切线l,(n∈N):在(xn-1,f(xn-1)处作f(x)的切线l,记切线l,与x轴的交点横坐标为xn.数学试题参考答案及评分标准第6页共12页数学试题参考答案及评分标准第7页共12页(1)写出x,与x,_1的递推关系式；(2)记f(x)的零点为r,且x₀>r.【命题说明】本题源自人教A版选择性必修第二册82页阅读材料.【参考答案】(1)解：(1)f'(x)=Inx+1,x∈(0,+0),则函数f(x)在点(x,-1,f(x,-1)处的切线方程为y=(Inx,-1+1)(x-xn-1)+(x,-Inx-令y=0,得故g(x)在(r,+0)上单调递增.因为g(x)在(r,+○)上单调递增，又因为x,=g(xn-1),g(r)=r,(ii)由(i)知：因为xo>r,从而x=g(xo)>g(r)=r,进而x₂=g(x₁数学试题参考答案及评分标准第8页共12页因为Inxn-1+1>0,所以只需证明(C-1)(x,-1-r)(lnxn-I+1)+x,_|Inx,-1-1>0,即[Cx-1-(C-1)r]lnx,-1+(C-1)(x,令m(x)=[Cx-(C-1)r]lnx+(C-1)(x-r)-1,其中则所以Cx+(C-1)r>Cr+(C-1)r=(2C-1)r≥0,故故m(x)在(r,+0)上单调递增，因此m(x)>m(r)=rInr-1=0,因为x,-1>r(neN°),故m(xn-1)=[Cx-I-(C-1)r]nx,-1+(C-1)(xn-1-r)-1>0,由此可得：19.(17分)从编号为1,2,...,n(n∈N")的座位中按照如下方式选取座位：选取至少2个座位，并且选取的座位中没有相邻的座位，则称这样的座位选取方案称为“社交排位”.(1)若n个座位排成一排，对应的“社交排位”数为u,例如n=1时，由于至少要选取2个座位，因此u₁=0;n=3时，由于只能选取第1,3个座位，因此u₃=1.(i)求u₄,us;(ii)求使u,≥300的最小正整数n.(2)若n个座位排成一圈，对应的“社交排位”数为；,,求数列{}中第2025个奇数对应的n.【命题说明】本题源自2008年全国I卷(理)第12题.以圆排列为背景，考查学生利用递推与递归思想解决问题的能力.【参考答案】(1)当n=4时，可以选取(1,3),(1,4),(2,4),合计3种选法，于是u₄=3;数学试题参考答案及评分标准第9页共12页当n=5时，可以选取(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,5),(1,3,5),合计7种选法，于是u₅=7.(2)解法1当n≥3时，n+2个座位的“社交排位”,可以分成两类：①不包含n+2号座位，此时，这便是n+1个座位的“社交排位”,有u+种；当剩余被选中的座位数大于等于2时，此时剩余的位置数对应于n个座位的“社交排位”数有u种，3456789u137u=uz=C2A-1+C2-2+C2A-3+…+C+≤C2-+C2k-1+…+<C2k-1+C2k-1+C2-+C2k-1…+C2符合题意的最小正整数n为12.(3)解法1易知r=I=r=0,r=2,rs=5,当n≥5时，排成一排的n个座位的“社交排位”数u,去掉其中同时选取1号，n号的方案，即得到n个座位排成一圈的“社交排位”数，即为r则un-r,对应的方案分为3类：rn=u-un-4-(