江西省九江市高中数学 第一章 计数原理 2 排列（二）教学设计 北师大版选修2-3

江西省九江市高中数学第一章计数原理2排列（二）教学设计北师大版选修2-3学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计意图亲爱的同学们，今天咱们要来探索一个神奇的世界——排列。你知道吗？生活中处处都有排列的身影，比如排队买票、比赛排序等等。今天，我们就从数学的角度来揭开排列的神秘面纱。让我们一起走进排列的世界，感受数学的乐趣吧！😄💪咱们要利用北师大版选修2-3教材，通过实际案例和小组讨论，让大家掌握排列的原理和方法，为以后的学习打下坚实的基础。准备好了吗？咱们一起出发！🚀🎓核心素养目标重点难点及解决办法重点：

1.排列数公式的推导与应用：重点在于理解排列数的定义及其公式\(P(n,m)=\frac{n!}{(n-m)!}\)，并能灵活运用到实际问题中。

2.排列的应用：如何将排列的概念应用到具体情境中，解决实际问题。

难点：

1.排列数公式的理解与应用：对于一些学生来说，排列数公式中的阶乘符号和分子分母的关系不易理解。

2.排列在实际问题中的灵活运用：学生在面对具体问题时，难以将排列的概念巧妙地融入到解题过程中。

解决办法：

1.通过实际案例演示，如排列奖券、座位分配等，帮助学生直观理解排列数的意义。

2.采用分步骤讲解和练习，逐步引导学生理解阶乘和排列数公式的推导过程。

3.鼓励学生参与小组讨论，通过合作学习的方式，共同探讨如何在实际问题中应用排列原理。

4.定期进行变式练习，让学生在解决不同类型的问题中不断巩固排列数的运用。教学方法与手段1.讲授法：通过系统讲解排列数的概念、公式及基本性质，为后续学习打下基础。

2.讨论法：引导学生针对实际问题进行讨论，激发思维，培养解决问题的能力。

3.实例分析法：通过具体实例展示排列在实际问题中的应用，加深学生对知识的理解。

教学手段：

1.多媒体辅助教学：利用PPT展示排列公式和实例，增强直观性。

2.教学软件应用：运用排列组合计算软件，让学生亲自操作，体验公式的实际应用。

3.互动教学：利用网络平台进行在线讨论，促进学生课后自主学习和交流。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。例如，要求学生预习排列的基本概念和简单排列的例子。

-设计预习问题：围绕排列（二）课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。如：“如何计算6个人站成一排的不同排列方式？”

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。例如，通过学生提交的预习笔记或思考题来了解预习情况。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解排列的基本概念和排列数公式。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。例如，思考如何应用排列数公式解决实际问题。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解排列（二）课题，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过一个有趣的排列问题故事，引出排列（二）课题，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解排列数公式\(P(n,m)=\frac{n!}{(n-m)!}\)的推导和应用，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生分组解决实际问题，如“如何安排一个4人的篮球比赛，包括首发阵容和替补球员的排列？”

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论，尝试解决实际问题。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解排列数公式。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握排列的应用。

作用与目的：

-帮助学生深入理解排列数公式，掌握排列的应用。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置一些涉及排列（二）的练习题，如计算特定情况下的排列数，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与排列相关的拓展阅读材料，如数学竞赛题目或实际应用案例。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的作业，巩固排列数的计算和应用。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，尝试解决更复杂的排列问题。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的排列（二）知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

-《排列组合的实际应用》：介绍排列组合在日常生活、自然科学、社会科学等领域的应用案例，如密码学、统计学、遗传学等。

-《数学趣谈中的排列组合》：通过有趣的数学故事，展示排列组合在数学发展史上的重要作用，激发学生对数学的兴趣。

-《排列组合的数学证明》：探讨排列组合公式的证明过程，帮助学生理解公式的推导原理。

-《排列组合与计算机科学》：介绍排列组合在计算机科学中的应用，如算法设计、数据结构等。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

-学生可以尝试解决以下问题：

-如何利用排列组合知识解决现实生活中的问题，如生日悖论、抽奖概率等？

-探究排列组合在不同数学分支中的应用，如组合数学、概率论等。

-设计一个基于排列组合的数学游戏或教学活动，分享给同学们。

-研究排列组合在历史、文化、艺术等领域的应用，撰写一篇短文或报告。

3.知识点拓展

-排列组合的基本概念：排列、组合、组合数、排列数等。

-排列组合的性质：加法原理、乘法原理、对称性原理等。

-排列组合的应用：密码学、统计学、遗传学、计算机科学等。

-排列组合的证明：排列数公式的证明、组合数的证明等。

4.实用性拓展

-在密码学中，排列组合知识可用于设计安全的密码系统，提高密码的复杂度和破解难度。

-在统计学中，排列组合知识可用于计算概率、样本空间等，为数据分析提供理论支持。

-在遗传学中，排列组合知识可用于分析基因序列、计算遗传概率等，为基因研究提供数学工具。

-在计算机科学中，排列组合知识可用于算法设计、数据结构优化等，提高计算机程序的效率。

5.综合案例

-案例一：某公司招聘5名员工，共有10名应聘者，如何安排面试顺序，使得每位应聘者都有公平的机会？

-解答：这是一个典型的排列问题。共有\(P(10,5)=\frac{10!}{(10-5)!}=30240\)种不同的面试顺序。

-案例二：某城市有4个交通路口，需要安排红绿灯的切换顺序，共有多少种不同的切换方案？

-解答：这是一个组合问题。共有\(C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=6\)种不同的切换方案。

-案例三：某班级有6名学生，需要选出3名学生参加比赛，有多少种不同的选法？

-解答：这是一个组合问题。共有\(C(6,3)=\frac{6!}{3!(6-3)!}=20\)种不同的选法。典型例题讲解例题一：从5名男生和4名女生中选出3名学生参加学校运动会，要求至少有1名女生。求不同的选法有多少种？

解答：首先，从4名女生中选出至少1名女生，有\(C(4,1)+C(4,2)+C(4,3)\)种选法。然后，从5名男生中选出2名男生，有\(C(5,2)\)种选法。最后，将两部分的选法相乘，得到总的不同选法数为：

\[(C(4,1)+C(4,2)+C(4,3))\timesC(5,2)=(4+6+4)\times10=100\]

答：不同的选法共有100种。

例题二：从0到9这10个数字中任取3个不同的数字，组成一个三位数，求这个三位数的个数。

解答：这是一个排列问题，因为三个数字的位置是有区别的。首先，从10个数字中任取3个数字，有\(C(10,3)\)种取法。然后，将这3个数字进行排列，有\(P(3,3)\)种排列方式。因此，三位数的个数为：

\[C(10,3)\timesP(3,3)=\frac{10!}{(10-3)!}\times3!=720\]

答：这个三位数的个数共有720个。

例题三：从5名男生和4名女生中选出2名学生，要求男女各1名。求不同的选法有多少种？

解答：这是一个组合问题，因为男女学生的选取是独立的。首先，从5名男生中选出1名，有\(C(5,1)\)种选法。然后，从4名女生中选出1名，有\(C(4,1)\)种选法。因此，不同的选法数为：

\[C(5,1)\timesC(4,1)=5\times4=20\]

答：不同的选法共有20种。

例题四：一个密码锁由4位数字组成，每位数字可以是0到9中的任意一个，且不能重复。求这个密码锁的不同密码个数。

解答：这是一个排列问题，因为每个位置上的数字都不相同。首先，第一位数字有10种选择，第二位有9种，第三位有8种，第四位有7种。因此，密码锁的不同密码个数为：

\[10\times9\times8\times7=5040\]

答：这个密码锁的不同密码个数共有5040个。

例题五：一个班级有8名学生，需要从中选出3名学生参加数学竞赛。如果这3名学生中至少有2名女生，求不同的选法有多少种？

解答：这是一个组合问题，因为男女学生的选取是独立的。首先，从3名女生中选出至少2名，有\(C(3,2)+C(3,3)\)种选法。然后，从5名男生中选出1名，有\(C(5,1)\)种选法。因此，不同的选法数为：

\[(C(3,2)+C(3,3))\timesC(5,1)=(3+1)\times5=20\]

答：不同的选法共有20种。板书设计①排列（二）概念

-排列的定义

-排列数公式：\(P(n,m)=\frac{n!}{(n-m)!}\)

-排列的性质

②排列数公式的推导

-阶乘的定义

-排列数的推导步骤

-排列数公式的应用

③排列的实际应用

-排列在生活中的例子

-排列在数学中的应用

-排列在其他学科中的应用

④排列问题的解决方法

-排列问题的分析

-排列问题的计算

-排列问题的讨论

⑤排列与组合的关系

-组合的定义

-组合与排列的区别

-组合与排列的转换

⑥排列问题的拓展

-排列在密码学中的应用

-排列在统计学中的应用

-排列在计算机科学中的应用教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生对排列（二）的概念和公式的理解程度。

-学生在课堂上的参与度，包括提问和回答问题的积极性。

-学生对排列问题解决方法的掌握和应用能力。

2.小组讨论成果展示：

-学生能否在小组讨论中提出有创意的解决方案。

-学生是否能够有效倾听他人的观点，并进行批判性思考。

-学生在小组讨论中是否能清晰表达自己的观点，并与其他成员有效沟通。

3.随堂测试：

-学生对排列数公式的应用能力，包括直接计算和问题解决。

-学生对排列在实际问题中的应用能力，如设计密码、安排座位等。

-学生对排列与其他数学概念（如组合）关系的理解程度。

4.课后作业完成情况：

-学生对课后作业的完成质量，包括解题的正确性和完整性。

-学生对课后拓展资源的利用情况，如阅读拓展材料、在线学习等。

-学生对课后作业的反思和总结，是否能够提出改进建议。

5.教师评价与反馈：

-针对学生在课堂上