数学八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.2 完全平方公式教学设计

数学八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式教学设计学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析数学八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式教学设计，本节内容主要围绕完全平方公式展开，包括公式的推导和应用。教材以实际问题引入，引导学生发现规律，进而总结出完全平方公式，并学会运用公式进行因式分解。教学设计紧扣教材，注重学生的动手操作和探究过程，培养学生逻辑思维能力和解决问题的能力。核心素养目标培养学生逻辑推理能力，通过探究完全平方公式，提升学生的数学抽象和数学建模素养。加强运算能力训练，提高学生解决实际问题的能力，培养严谨求实的科学态度。教学难点与重点1.教学重点：

-重点理解完全平方公式：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)和\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)的推导过程。

-熟练应用完全平方公式进行因式分解，例如：\(x^2+6x+9\)分解为\((x+3)^2\)。

-掌握如何识别可以应用完全平方公式分解的多项式。

2.教学难点：

-难点在于理解和记忆完全平方公式的推导过程，特别是理解\(2ab\)项的来源。

-难点在于识别和运用完全平方公式分解复杂的多项式，如\(x^4+4x^2+4\)。

-难点在于解决含有平方项的因式分解问题，特别是当多项式中没有明显的平方项时，如何构造合适的完全平方公式。

-难点在于应用完全平方公式进行因式分解时的计算错误，例如忘记乘以\(b^2\)或错误地加上或减去\(2ab\)。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：系统讲解完全平方公式的推导和应用，帮助学生建立知识框架。

2.讨论法：组织学生分组讨论，鼓励学生提出问题，共同解决难题。

3.实验法：通过实际操作，如使用几何图形演示公式，加深学生对公式的理解。

教学手段：

1.多媒体演示：利用PPT展示公式推导过程和例题，提高视觉直观性。

2.互动软件：使用数学软件进行动态演示，让学生动手操作，体验公式应用。

3.实物教具：使用立方体等教具，帮助学生直观理解完全平方公式的结构。教学过程一、导入新课

（1）师生互动

师：同学们，我们上节课学习了整式的乘法，现在请大家回忆一下乘法中的一些规律。

生：（纷纷举手回答）

师：非常好，通过同学们的回答，我们了解到乘法中存在一些特殊的规律，比如平方差公式和完全平方公式。今天，我们就来深入探究完全平方公式。

（2）情境引入

师：大家看，生活中有很多事物的形状与完全平方公式有关，比如我们常用的平方键盘，它就是基于完全平方公式设计的。今天，我们就来探索这个神奇公式背后的奥秘。

二、新课教授

（1）完全平方公式的推导

师：首先，我们来探究完全平方公式是如何推导出来的。

生：……

师：同学们，请大家拿出自己的笔记本，跟随老师一起推导完全平方公式。

（1）写出两个相同因数的平方：\(a^2\)和\(b^2\)。

（2）将这两个平方因数相乘：\(a^2\cdotb^2\)。

（3）在两个平方因数之间添加两个相同的因数：\(a^2+2ab+b^2\)。

（4）根据平方差公式，将中间的项变形：\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)。

师：通过这个推导过程，我们可以得出完全平方公式：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)。

（2）完全平方公式的应用

师：接下来，我们来看一下完全平方公式的应用。

生：……

师：同学们，请看这个题目：将\(x^2+6x+9\)分解因式。

生：……

师：非常好，这里我们可以直接应用完全平方公式。观察题目中的三项，可以发现它们符合完全平方公式的形式。所以，我们可以将\(x^2+6x+9\)分解为\((x+3)^2\)。

（3）完全平方公式的拓展

师：除了完全平方公式，还有一种形式也是完全平方公式：\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)。请大家观察这个公式的特点，并尝试自己推导。

生：……

师：很好，同学们通过观察发现，\((a-b)^2\)公式与\((a+b)^2\)公式类似，只是中间的项变为负的。这样，我们就可以得出\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)。

三、课堂练习

（1）课堂检测

师：请同学们完成以下练习题。

生：（认真做题）

师：请同学们举手展示自己的答案。

生：（展示答案）

师：同学们的答案都正确。通过这个练习，我们可以巩固今天所学的内容。

（2）拓展练习

师：请同学们完成以下拓展练习。

生：（认真做题）

师：同学们，请看这个题目：将\(x^4+4x^2+4\)分解因式。

生：……

师：这个题目需要我们灵活运用完全平方公式和平方差公式。请大家仔细思考。

生：……

师：很好，同学们通过观察发现，\(x^4+4x^2+4\)符合\((a^2+b^2)^2\)的形式，所以我们可以将其分解为\((x^2+2)^2\)。

四、课堂总结

师：今天，我们学习了完全平方公式及其应用。通过学习，同学们掌握了如何运用完全平方公式进行因式分解。希望同学们课后能够多加练习，巩固所学知识。

五、课后作业

师：请同学们完成以下课后作业。

1.独立完成课本第145页的练习题。

2.选择一道课后思考题进行深入研究。

3.准备一个关于完全平方公式的课件，下节课分享给大家。

六、板书设计

完全平方公式

（1）\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

（2）\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

（3）应用：\(x^2+6x+9=(x+3)^2\)

（4）拓展：\(x^4+4x^2+4=(x^2+2)^2\)学生学习效果学生学习效果：

1.学生对完全平方公式有了深刻的理解，能够准确记忆和复述公式的推导过程，并在实际操作中熟练运用。

2.学生通过课堂练习和课后作业，能够独立解决含有平方项的因式分解问题，如\(x^2+6x+9\)和\((x+3)^2\)，显示出对公式的掌握程度。

3.学生在拓展练习中，能够识别和构造合适的完全平方公式，如\(x^4+4x^2+4=(x^2+2)^2\)，展现了较强的逻辑推理和数学建模能力。

4.学生在讨论和实验活动中，积极参与，提出问题和解决方案，表现出合作学习和探究学习的良好习惯。

5.学生在课堂检测和课后作业中，能够准确、高效地完成因式分解任务，减少了计算错误，提高了解题速度。

6.学生通过实际操作和多媒体辅助教学，对完全平方公式的直观理解得到了加强，提高了学习兴趣和动力。

7.学生在课堂总结和课后复习中，能够自主总结公式的应用技巧，形成自己的解题策略，体现了自主学习的能力。

8.学生在课后作业中，能够运用完全平方公式解决实际问题，如简化表达式、解决生活中的数学问题等，提高了数学应用的意识。

9.学生在小组合作中，学会了倾听他人意见，尊重他人观点，通过讨论和交流，提高了沟通能力和团队合作精神。

10.学生在课堂评价和自我评价中，能够客观分析自己的学习情况，认识到自己的优点和不足，明确了学习目标和改进方向。

11.学生在学习过程中，养成了严谨求实的科学态度，对数学学习产生了浓厚的兴趣，为今后的学习奠定了基础。

12.学生通过本节课的学习，不仅掌握了完全平方公式这一知识点，还学会了如何将数学知识应用于实际生活，提高了数学素养和综合素质。典型例题讲解例题1：分解因式\(4x^2-12x+9\)。

解答过程：

观察多项式\(4x^2-12x+9\)，我们可以发现它符合完全平方公式的形式\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)。

在这里，\(a=2x\)，\(b=3\)。

因此，\(4x^2-12x+9\)可以分解为\((2x-3)^2\)。

答案：\(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\)。

例题2：分解因式\(x^2+10x+25\)。

解答过程：

观察多项式\(x^2+10x+25\)，我们可以发现它符合完全平方公式的形式\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)。

在这里，\(a=x\)，\(b=5\)。

因此，\(x^2+10x+25\)可以分解为\((x+5)^2\)。

答案：\(x^2+10x+25=(x+5)^2\)。

例题3：分解因式\(9y^2-12y+4\)。

解答过程：

观察多项式\(9y^2-12y+4\)，我们可以发现它符合完全平方公式的形式\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)。

在这里，\(a=3y\)，\(b=2\)。

因此，\(9y^2-12y+4\)可以分解为\((3y-2)^2\)。

答案：\(9y^2-12y+4=(3y-2)^2\)。

例题4：分解因式\(16a^2-20ab+5b^2\)。

解答过程：

观察多项式\(16a^2-20ab+5b^2\)，我们可以发现它符合完全平方公式的形式\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)。

在这里，\(a=4a\)，\(b=\sqrt{5}b\)。

因此，\(16a^2-20ab+5b^2\)可以分解为\((4a-\sqrt{5}b)^2\)。

答案：\(16a^2-20ab+5b^2=(4a-\sqrt{5}b)^2\)。

例题5：分解因式\(x^4-4x^2+4\)。

解答过程：

观察多项式\(x^4-4x^2+4\)，我们可以发现它符合完全平方公式的形式\((a^2-b^2)^2=a^4-2a^2b^2+b^4\)。

在这里，\(a=x^2\)，\(b=2\)。

因此，\(x^4-4x^2+4\)可以分解为\((x^2-2)^2\)。

答案：\(x^4-4x^2+4=(x^2-2)^2\)。内容逻辑关系①完全平方公式的推导：

①.平方差公式的回顾：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

①.推导过程：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

①.推导过程：\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

②完全平方公式的应用：

②.因式分解的应用：识别和应用\((a+b)^2\)和\((a-b)^2\)进行因式分解

②.实例分析：\(x^2+6x+9