黑龙江省佳木斯市三校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1黑龙江省佳木斯市三校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若可导函数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为可导函数满足，所以.故选：D2.已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（）A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项【答案】C【解析】令，解得.故选：C3.设是公比为正数的等比数列，若，则数列的前7项的和为（）A.63 B.64 C.127 D.128【答案】C【解析】由及是公比为正数的等比数列，得公比q=2，所以．4.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积（单位：L）依次成等差数列，若，，则（）A.5.4 B.6.3 C.7.2 D.13.5【答案】C【解析】为等差数列，，故．故选：C．5.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题给函数的图象，可得当时，，则，则单调递增；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递增；则单调递增区间为，；单调递减区间为故仅选项C符合要求.故选：C6.现有6本相同的数学课本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则不同的分配方案有多少种（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得，分配方案有三种：第一种方案：两个人各1本，一个人4本，分配的方法数为；第二种方案：三个人各2本，分配的方法数为；第三种方案：一个人1本，一个人2本，一个人3本，分配的方法数为；因此共有种方法.故选：D7.函数在区间上的最小值、最大值分别为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以在区间上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：A8.五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（）A.3125 B.1000 C.1040 D.1020【答案】D【解析】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.故问题转化为如图五个区域，有种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即色区域的环状涂色问题.分为以下两类情况：第一类：三个区域涂三种不同的颜色，第一步涂区域，从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，第二步涂区域，由于颜色不同，有种方法，第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，由分步计数原理，则共有种方法；第二类：三个区域涂两种不同的颜色，由于不能涂同一色，则涂一色，或涂同一色，两种情况方法数相同.若涂一色，第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色，即涂个区域不同色，从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，第二步涂区域，由于颜色相同，则有种方法，第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，由分步计数原理，则共有种方法；若涂一色，与涂一色的方法数相同，则共有种方法.由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有种.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】对于A：，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：ABC10.过点且与曲线相切的直线方程可能为（）A. B.C D.【答案】BC【解析】设切点为，又，所以，所以曲线在点处的切线方程为，所以，整理得，解得或，即切线方程为或．故选：BC．11.将数列中的所有项排成如下数阵：从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，则（）A. B.C.位于第45行第88列 D.2024在数阵中出现两次【答案】ACD【解析】由第1列数成等差数列，设公差为，又由，可得，解得，则第一列的通项公式为，又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，可得，所以A正确,B错误；又因为每一行最后一个数为，且，可得是的前一个数，且在第45行，因为这一行共有个数，则在第45行的第88列，所以C正确；由题设可知第行第个数的大小为，令，若，则即；若，则即；若，则，无整数解.故D正确.故答案为：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列满足，，则____________.【答案】5【解析】因为是等差数列，所以，则有，解得.故答案为：.13.若函数的导函数为，且满足，则__________．【答案】【解析】由得，所以，得，所以，所以.故答案为：.14.已知首项均为的等差数列与等比数列满足，，且的各项均不相等，设为数列的前项和，则的最大值与最小值之差的绝对值为_______．【答案】【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由得，解得，，令，则，，随着的增大而增大，当为奇数时，，随着增大而减小，，；当为偶数时，，随着的增大而增大，，.所以，，，即的最大值为，最小值为，因此，的最大值与最小值之差的绝对值等于．故答案：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）由题意可得，即，又，故，即或，又，故，即；（2），故.16.3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序.（1）共有多少种不同的安排方案?（2）若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案?（3）若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案?解：（1）安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序，共有种不同的安排方案；（2）若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，则从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，则共有种不同的安排方案；（3）若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，则将这两项活动捆绑，看作一项活动，内部全排列，然后和其余活动全排列，则共有种不同的安排方案.17.设函数.（1）若，求的极值；（2）讨论函数的单调性.解：（1）当时，，所以，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，该函数有极小值，无极大值.（2）由，，当时，当时，单调递增，当时，单调递减；当时，，或，当时，，函数在时，单调递增，当时，，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增18.若数列的前项和为，且，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列；（3）设数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为，当时，，当时，，且时，也符合上式，所以（2）当时，由，所以，依题意知：，所以而，所以数列是首相为3，公比为3的等比数列．（3）因为是首相为3，公比为3的等比数列，所以，所以，=，，得化简得：，又因为，所以，所以，整理得，当，=；当时，=，因为,当时，，所以，故19.已知函数(为自然对数的底数)（1）求曲线在处的切线方程；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的最大值；（3）证明：解：（1）函数，则，所以曲线在处的切