高等流体力学讲义课件-流体力学基本方程

第二章流体力学基本方程1

质量守恒第1页

2.1欧拉质量守恒质量守恒定理

上述积分积分区域V是任选，要使积分恒等于零，只有被积函数等于零，质量守恒定理在流动过程中流体团体积V大小和形状可能会发生改变，但质量保持不变。由雷诺输运定理，第2页

2.1欧拉质量守恒定常流动和不可压缩流体连续方程

对于定常流动，，连续方程可简化为，对于不可压缩流体，，连续方程可简化为，第3页流体质点可沿线或线流动，此时其密度保持为常数或，所以，但，。2.1欧拉质量守恒

密度分层流动不可压缩流体上述定义并不要求这个流体质点与另一个流体质点密度相等，即不要求密度场为均匀场。密度分层流动可能发生在大气中（由空气温度改变引发），也可能发生在大洋中（因为水含盐量改变引发）。密度分层流动第4页均质不可压缩流体密度处处相等不可压缩流体不可压缩流体均质流体密度不是x、y、z函数密度也不是t函数在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质。物质导数定义式均质不可压缩流体2.1欧拉质量守恒第5页

2.1

欧拉质量守恒第二雷诺输运定理

证实：依据连续方程，又于是，第6页2.2动量守恒定理第7页

2.2动量守恒定理积分形式动量方程

系统动量，作用在系统上质量力作用在系统上表面力由动量定理得积分形式动量方程系统中流体动量改变率等于作用在该系统上质量力和表面力之和。第8页

2.2动量守恒定理微分形式动量方程

第9页

2.2动量守恒定理用张量表示法表示动量方程

方程左边表示单位体积流体动量改变率：第一项是当地加速度项；第二项是对流加速度项，由速度分布不均匀性引发，即使是定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非线性。方程右边第一项是应力张量散度，表示作用在单位体积流体上表面力；第二项表示作用在单位体积流体上质量力。用张量表示法表示动量方程，第10页

2.2动量守恒定理

守恒形式动量方程

并矢是二阶张量。第11页2.3能量方程第12页对于一个静止热力学系统（或起始和终止状态处于静止系统）：系统内能增加等于外力对系统所作功与外界传递给系统热量之和。一个确定流体团也可看作一个热力学系统，流体质点总在流动中，设该系统偏离平衡态不远：系统总能量改变率（包含内能和动能）等于外力对系统作功功率与经过导热向系统传热功率之和。

热力学第一定理2.3能量方程第13页

2.3能量方程

积分形式能量守恒方程

任取流动系统体积V，外表面S，表面外法线单位矢量为系统总能量，，e为单位质量流体内能；单位质量流体动能表面力作功功率，质量力作功功率，传热功率，热通量离开系统表面时为正，这里求传递给系统传热功率，所以积分号前加负号依据能量守恒原理得积分形式能量方程，第14页

2.3能量方程

微分形式能量方程

第二雷诺输运定理高斯定理第15页

2.3能量方程

机械能方程

动量方程上述方程可看作在i方向受力平衡式和速度作点乘，即方程两边都乘以，表示力机械功功率，所以上式是机械能守恒方程。两边同乘，第16页2.3能量方程

内能方程

上式左边表示内能改变率，第一项是当地改变率，第二项是对流改变率，是因为流体质点从一个区域运动到另一个区域引发。公式右边是引发内能改变动因，第一项表示因为表面力作用引发机械能向内能转换功率，第二项则表示因为导热从外界向系统内部传热功率。总能量方程减去机械能方程第17页2.4Navier-Stokes方程

第18页

2.4Navier-Stokes方程

N-S方程

s是应变率张量动量方程，本构方程第19页不可压缩流体(动力粘性系数为常数)

2.4Navier-Stokes方程

第20页2.4Navier-Stokes方程

欧拉方程（）

第21页2.5能量方程第22页称耗损函数，表示流体变形时粘性应力对单位体积流体作功功率，这部分机械能向内能转变是不可逆，在一切流体和一切流动中总大于零。

2.5能量方程

内能方程

，表示表面力作功功率，可包含两部分：压缩功功率，表示流体体积改变时，外部压强在单位时间内对单位体积流体作功功率，这种转变是可逆；导热功率第23页

2.5能量方程

能量方程其它形式

内能方程，

连续方程，

于是内能方程可改写为，

热力学关系式，

则内能方程可变换为，

或上两式分别是以熵和焓表示能量方程第24页2.6牛顿流体基本方程组第25页

2.6牛顿流体基本方程组基本方程组

以上方程包含7个标量方程，7个未知量：uj，ρ，p，e，T，方程组是封闭。方程中出现λ,μ,κ等参数均可认为是p和T函数。对完全气体，状态方程和内能公式可分别写为，。通常考虑质量力是重力，此时单位质量力可用重力加速度来表示基本方程组包含连续方程，N-S方程，能量方程及状态方程和内能公式，第26页当密度ρ为常数时，上述连续方程和N-S方程共4个标量方程，未知量uj、p也是4个，形成一个封闭方程组。也就是说，压强场和速度场只需求解以上方程组即可得到，然后再求解能量方程得到温度场，流体动力学问题和热力学问题可分开求解，能量方程和连续方程、N-S方程不再耦合在一起，使问题得到简化。

2.6牛顿流体基本方程组

不可压缩流体（动力粘性系数μ为常数）

第27页2.7边界条件第28页2.7边界条件

流体力学微分方程组是描述流体运动普遍适用方程组，要确定某种详细流体运动，也就是要找出方程组一组确定解，还需要给出初始条件和边界条件。初始条件就是在初始时刻流体运动应该满足初始状态，即t=t0时边界条件指在流体运动边界上方程组解应该满足条件，本节主要研究两种介质界面上边界条件。这里说界面是指两种介质接触面，其中最少有一个介质是我们所考虑流体，并假设分界面两边物质互不渗透，原来边界在以后时刻永远是两介质界面。

初始条件和边界条件第29页2.7边界条件

曲面上表面张力

表面张力协力指向凹面一侧，与压力差平衡。为表面张力系数。当分界面两边为不一样介质时，界面上存在着表面张力，分界面两侧压强普通不相等，凹面一侧压强会大于凸面一侧压强。作两个垂直于界面曲面切平面而且相互正交平面，它们和界面曲面交线曲率半径分别为R1、R2，则曲面两侧压强差可表示为p1-p2第30页2.7边界条件

液液分界面边界条件

动力学边界条件作用在界面两侧表面力和表面张力相平衡，上式中指向介质1，R1、R2曲率半径中心在指向一侧时取正值，、分别是介质1、2应力张量。是表面张力系数。将上式分解为法向和切向分量，分界面两侧切向应力总是连续；当界面曲率不为零时，表面张力会造成法向应力一个突跃。介质2介质1第31页

2.7边界条件

液液分界面边界条件

运动学、热力学条件界面两侧介质运动速度相等（无滑移条件、粘附条件），界面两侧温度和热流量相等，介质2介质1第32页液固分界面边界条件2.7边界条件固壁静止时，在固体边界上给定条件是固壁运动，而不是固体中应力，所以应放弃动力学边界条件，第33页液气分界面边界条件2.7边界条件因为气体密度和粘度都很低，它运动普通不会对液体产生显著影响，应该放弃速度边界条件而采取应力边界条件，设为大气压强，为液气边界面上液体侧压强，自由面曲率中心在气相一侧，液体粘性可忽略时，法应力条件可写为液气第34页自由面运动学边界条件2.7边界条件液气边界最经典是水与大气分界面，即自由面。自由面形状通常是待求内容。自由面本身是运动和变形，设其方程为，假定在自由面上流体质点一直保持在自由面上，则自由面流体质点法向速度，应该等于自由面本身在该点法向速度。第35页上式用到点自由面法向单位矢量。自由面上点在t