第六节递推数列求和原卷

考点一：公式法1.直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1)).◆典例分析◆例1(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是()A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2例2.数列{an}的通项公式是an＝an(a≠0)，则其前n项和为Sn＝________.◆对点练习运用◆1.记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知eq\f(2,Sn)＋eq\f(1,bn)＝2.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．2.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则eq\f(Sn,an)等于()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－13.设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝eq\f(n2＋n,an)，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；4.记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，a2＝－1，且an＋2＋an＋1－6an＝0(n∈N*)．(1)证明：{an＋1＋3an}为等比数列；(2)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn.考点二分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．◆典例分析◆例1已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＋1，n为奇数，,2an，n为偶数))(n∈N*)，设bn＝a2n－1.(1)证明：数列{bn＋2}为等比数列，并求出{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前2n项和．例2.已知数列{an}中，a1＝1，它的前n项和Sn满足2Sn＋an＋1＝2n＋1－1.(1)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(2n,3)))为等比数列；(2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n.◆对点练习运用◆1.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝anan＋1＋log2(anan＋1)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.2.数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝an＋1－1，n∈N*，且a1＝1.(1)求an；(2)设bn＝(－1)n(an－1)，求数列{bn}的前2n项和T2n.考点三错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．◆典例分析◆例1Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(3,8)＋…＋eq\f(n,2n)等于()A.eq\f(2n－n－1,2n) B.eq\f(2n＋1－n－2,2n)C.eq\f(2n－n＋1,2n) D.eq\f(2n＋1－n＋2,2n)例2在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，②＋＋…＋＝2n＋1－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．问题：在数列{an}中，已知________．(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．◆对点练习运用◆1.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－eq\f(9,4)，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn，对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．2.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2.(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝2n，求数列{an·bn}的前n项和Tn.考点四裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的裂项技巧(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).(2)eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).(3)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).(4)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).(5)eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).◆典例分析◆例1数列{an}的前n项和为Sn.若an＝eq\f(1,nn＋1)，则S5等于()A．1B.eq\f(5,6)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,30)例2知数列{an}是等比数列，且8a3＝a6，a2＋a5＝36.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(an,an＋1an＋1＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn，并证明：Tn<eq\f(1,3).◆对点练习运用◆1.已知数列{an}满足an＋1an－2n2(an＋1－an)＋1＝0，且a1＝1.(1)求出a2，a3的值，猜想数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，且bn＝eq\f(Sn,an·an＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.2.记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))是公差为eq\f(1,3)的等差数列．(1)求{an}的通项公式；(2)证明：eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)<2.3.已知等差数列{an}，其前n项和Sn满足Sn＝n2＋m，m为常数