空间向量与立体几何空间位置关系的向量证明空间角度与空间距离的向量求法高三三轮冲刺高频考点复习讲义（原卷版）

空间向量与立体几何：空间位置关系的向量证明、空间角度与空间距离的向量求法高频考点分析高频考点分析1.平面的法向量的求解：已知平面，且(1)表示平面中两条相交直线所形成的向量.(2)设为平面的一个法向量.(3)利用法向量与平面的所有直线垂直列方程.(4)赋值求解法向量.2.空间向量与空间位置关系空间位置关系向量表示线线平行：线面平行：面面平行：线线垂直：线面垂直：面面垂直：3.空间向量与空间距离问题空间距离问题向量表示点到平面的距离若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则.点到直线的距离若点为直线外一点，为直线上一点，直线的方向向量为，则.异面直线的距离已知直线与为异面直线，与与均垂直的向量为，直线与上各取一点形成，4.空间向量与空间角度问题空间角度问题向量表示异面直线所成之角（线线角）若求直线与直线所称之角(1)表示、、、四点的坐标.(2)表示与.(3)记直线所成之角为，.直线与平面所成之角（线面角）若求直线与平面所成之角(1)表示、、、、五点的坐标.(2)表示与平面两条相交直线所形成的向量.(3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解.(4)记直线与平面所成之角为，.平面与平面所成之角（二面角）若求平面与平面所成之角(1)表示、、、、、五点的坐标.(2)分别表示平面与平面两条相交直线所形成的向量.(3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解，同理求平面的一个法向量.(4)记平面与平面所成之角为，.

真题真题速递1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．(1)若为线段中点，求证：平面．(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．2．（2024·全国甲卷（文）·高考真题）如图，，，，,为的中点.(1)证明：平面；(2)求点到的距离.

3．（2024·全国甲卷（理）·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．4．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角余弦值；(3)求点到平面的距离．

5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．6．（2024·新课标I卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．

实战演练实战演练一：空间位置关系的向量证明1．（2425高二下·江苏扬州·阶段练习）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（

）A． B． C．3 D．2．（2425高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（

）A． B． C．1 D．43．（2425高二下·福建漳州·阶段练习）如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（

）A． B．与相交 C．与异面 D．4．（2025·宁夏吴忠·一模·多选）在正方体中，点分别是和的中点，则（

）A．B．C．平面D．与平面所成的角为5．（2425高三下·北京·阶段练习·节选）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，(1)求证：平面；

6．（2425高二下·广东佛山·阶段练习·节选）如图多面体中，四边形为菱形，且，，，，M，N分别为棱，上的点且，.(1)用向量法证明：平面；7．（2425高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明）(1)求证：平面PBC；(2)求证：平面BDE．8．（2425高三下·江苏连云港·阶段练习·节选）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点.(1)求证：平面平面；

实战演练实战演练二：空间角度的向量求法1．（2425高二下·广东广州·阶段练习）如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点.(1)证明：平面PAB；(2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值.2．（2425高三下·上海·阶段练习）棱锥中，平面平面，，，是棱的中点.(1)证明：平面;(2)求二面角的余弦值.

3．（2025·广东深圳·一模）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点．(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．4．（2025·广东汕头·一模）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角与二面角的大小相等．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

5．（2025·广东广州·一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．6．（2025·陕西汉中·二模）如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线．(1)证明：平面平面．(2)若，，，求与平面所成角的正弦值．

7．（2025·山东聊城·模拟预测）如图所示的多面体中，平面，，，，，，，．(1)若点为中点，求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．8．（2425高二下·甘肃金昌·阶段练习）如图，在长方体中，，，.(1)证明:平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值.

9．（2425高二下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点.(1)求异面直线AE和PD所成角的余弦值；(2)求点B到平面CDE的距离；10．（2025·贵州·二模）如图，在四棱锥中，，，，．(1)证明：平面平面．(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．

实战演练实战演练三：空间距离的向量求法1．（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点P到平面的距离．2．（2025·天津红桥·一模）如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，．(1)求证：∥平面PBC；(2)求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值；(3)求点A到平面PBC的距离．

3．（2025·河南信阳·一模）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，，.(1)若为线段的中点，求证：平面.(2)求点到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的正弦值.4．（2025·湖南邵阳·二模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且．(1)证明：平面；(2)是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

5．（2425高二上·四川绵阳·期末