2025年中考数学解答题专题系列：一次函数综合

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考数学解答题专题系列：一次函数综合1．综合运用如图，直线分别交x轴，y轴于点点分别在直线轴负半轴上运动，且始终满足.连接，交y轴于点E.以为斜边构造等腰直角三角形，且点按顺时针方向排列，连接点C的横坐标为．(1)分别求的长．(2)若点在线段上，当是直角三角形时，求点的坐标．2．如图1，菱形中，，，动点P以的速度从点B出发，沿折线方向运动，同时，动点Q也以的速度从点A出发沿射线运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动．过点P作于点H，设点P的运动时间为x，记的长度为，记点P运动的总路径长与的长度之比为，请回答下列问题：(1)请直接写出、分别与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质；(3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围：．（近似值保留一位小数，误差不超过）3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点．

(1)求直线的表达式；(2)如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积；(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、．(1)分别求出点、、的坐标；(2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式；(3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，直线：与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点．(1)求点、的坐标以及直线的解析式；(2)若为直线上一动点，，求点的坐标；(3)点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．6．如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接．(1)求点和点的坐标；(2)若点是直线上一点，若的面积为3，求点的坐标；(3)过点的直线交轴于点（点在点右侧），当时，求直线的表达式．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．

(1)求直线的解析式；(2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作轴交于点E，连接，当时，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，当时，连接，点F是线段（不与点A，点P重合）上的动点，连接，作，交x轴于点G，设点G的横坐标为m，求m的取值范围．8．如图，一次函数和的图象相交于点B，且一次函数分别与y轴和x轴交于A和C，若．(1)求直线的解析式；(2)若不等式的解集是．求a的值．(3)的图象与x轴交于点P，在（2）的条件下求的面积9．已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个数图象相交于点．(1)求出点的坐标；(2)结合图象，直接写出时的取值范围；(3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标．10．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，点C为上一点，点M为上一点，交于N，．(1)求直线和直线的解析式；(2)若，求点M的坐标；(3)若，求点M的坐标．11．模型建立：如图1，在等腰直角中，，经过点，说明的理由．模型应用：如图2，已知直线与轴、轴分别交于两点，以为顶点在第二象限作等腰直角，求出直线的函数关系式．拓展应用：如图3，在长方形中，点，点是线段上的一动点，，已知点在第一象限，是直线上的一点，若是等腰直角三角形，且，求点的坐标，12．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点．(1)点A的坐标为；(2)若点C在第二象限，的面积是5；①求点C的坐标；②直接写出不等式组：的解集；③将沿x轴平移，点C、A、D的对应点分别为、、，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围．13．如图，平面直角坐标系中，交x轴于A，交y轴于B．另一直线交x轴于C，交y轴于D，交于E．已知．(1)求解析式．(2)P，Q分别在线段和上运动，若P从B开始运动，速度是1单位长度每秒，Q从C开始运动，速度等于P的运动速度，设运动时间为t，则t为多少时，轴？14．如图，函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是直线上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点．(1)求直线的函数解析式：(2)是否存在点，使，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；(3)若的面积为，求点的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，．(1)求直线的表达式．(2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知直线与直线交于点．(1)求点的坐标；(2)如图，直线的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上运动，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．①当点的坐标是，则的面积为；②以为直角边作等腰直角三角形，点在第一象限内，直接写出点的坐标．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年中考数学解答题专题系列：一次函数综合》参考答案1．(1)，(2)或【分析】（1）根据直线分别交x轴，y轴于点得到，继而求得，．（2）过点C作于点G，作于点H，得四边形是矩形，再证明，借助，，分三种情况，列出等式解答即可．【详解】（1）解：∵直线分别交x轴，y轴于点当时，；当时，；∴，，∴，．（2）解：过点C作于点G，作于点H，四边形是矩形，∴，，，∵点在线段上，且横坐标为，直线解析式为，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，当，∴，∴，∴，∴，∴，整理，得，解得或，∵点在线段上，∴，∴舍去，∴，当，∴，∴，∴，∴，解得，∵点在线段上，∴，∵在的内部，且是锐角，∴小于，∴是锐角，∴此时不符合题意，综上所述，符合题意的坐标为或．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，解方程，熟练掌握性质，勾股定理，三角函数的应用，相似是解题的关键．2．(1)，（）(2)图象见解析，当时，函数的图象关于直线轴对称(3)【分析】（1）分和两种情况，根据菱形的性质及解直角三角形的知识可求得、与x的函数关系式，根据“动点P从点B出发，沿折线方向运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动．”可分别求得自变量x的取值范围；（2）根据、与x的函数关系式可画出两函数的图象，可写出一条函数的性质；（3）根据函数图象，可得两函数的交点的横坐标约为和，因此可求得当时x的取值范围．【详解】（1）解：当时，由题意得，，，，四边形是菱形，，，，，，，，，当时，，，四边形是菱形，，，，，，，解得，，，，即（）；（2）解：如图所示，为函数、的图象；当时，函数的图象关于直线轴对称；（3）解：结合函数图象，当时x的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，一次函数和反比例函数的图象与性质，画一次函数和反比例函数的图象，函数与不等式等知识，熟练掌握菱形的性质及解直角三角形的知识是解题的关键．3．(1)(2)(3)或或或【分析】（1）先求出的值，再利用待定系数法即可求解；（2）联立方程组得求出点B的坐标，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，利用平行线成比例求出，再求出，求出直线的函数表达式，得到点B，点G的坐标，即可求解；（3）取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，，分点E在y轴上，设点E的坐标为，点E在x轴上，设点E的坐标为，两种情况讨论即可．【详解】（1）解：将代入，，即，将代入，，直线的表达式为；（2）解：直线与反比例函数交于点A，B，联立方程组得解得，，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，

，，，在中，当时，，，设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，直线与x轴交于点D，，直线与x轴交于点G，，，；（3）解：如图，取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，，

为的直径，，是的中点，，当点E在y轴上时，设点E的坐标为，，，，，当点E在x轴上时，设点E的坐标为，，，，，综上所述，点E的坐标为或或或．【点睛】本题考查了一次函数与反比例的综合题，待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质，平行线成比例，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．4．(1)，，(2)(3)或或【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有∶一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数图象的交点，一次函数图象与性质，菱形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解答本题的关键．（1）联立两直线解析式求出点的坐标，分别令和，带入直线解析式求出点、的坐标；（2）根据在直线上，设，表示出面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可；（3）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑∶①当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时；分别求出Q坐标即可．【详解】（1）根据，解方程组得，得，分别令和，带入直线解析式得点、的坐标，．（2）设，且，，，，令直线解析式为，把，代入得：，，，直线的函数表达式为．（3）存在．如图所示：①当四边形为菱形时，，得四边形为正方形；，即．②当四边形为菱形时，得，带入直线的解析式，得，．③当四边形为菱形时，，，综上得点的坐标为或或．5．(1)点、，直线的解析式为(2)点的坐标为或(3)点的坐标为或或【分析】本题考查了一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用．（）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解；（）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可；（）当，时，当，时，当，时三种情况分析，再根据全等三角形的判定与性质即可求解．【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，，∴点、，设直线的解析式为，把，代入得，，解得：，∴直线的解析式为；（2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，，∴点，，∴，∴，∴，∵为直线上一动点，∴设，∴，∴，解得：，∴点的坐标为或；（3）解：如图，当，时，过作轴于点，∴，∴，∴，∴，∴，，∵点，，∴，，∴，∴点的坐标为；如图，当，时，过作轴于点，同理得：，∵点，，∴，，∴，∴点的坐标为；如图，当，时，过作轴于点，过作交于点，同理得：，∴，，∵点，，∴，，∴，即，，∴，，∴，，∴点的坐标为；综上可知：点的坐标为或或．6．(1)，；(2)或(3)【分析】本题考查了一次函数综合题，利用三角形的面积公式得出点的坐标，利用全等三角形的判定和性质解答是解题关键．（1）根据直线与坐标轴的交点解答即可；（2）由，即可求解；（3）根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）解：交轴和轴于点和点，当时，则；当时，解得，，；（2）设点，如图，连接，则，解得，故点或；（3）当，如图，过点作交于点，过点作轴，，为等腰直角三角形，，，，，，在与中，，，，，，，，，设直线的表达式为，则，解得，故直线的表达式为．7．(1)(2)(3)【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再将点B、C的坐标代入求解即可．（2）由（1）知，得，，当时，则得到轴，设，则，当时，则，解得，代入即可得解．（3）延长交轴于点，证，得到，设，，则，得当时，的最大值为，即有最大值，即可得解．【详解】（1）在中，令，得，令，得，，∴，，

设直线的解析式为.把，代入，，解得，∴直线的解析式为．（2）如图，由（1）知，

∴，∴，

∵轴，∴，当时，则，∴，此时轴，设，则，∴，，当时，则，解得（舍去），，

当时，，∴点的坐标为．（3）如图，延长交轴于点.

由（2）知点的坐标为，∴，，∵，∴，∵，∴，，

∵，，∴，∴，∴，

设，，则；∴；∴，∴当时，的最大值为，即有最大值，

∵，∴的最大值为，

又点在线段上，∴点横坐标的取值范围为．【点睛】本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，灵活运用所学知识解决问题．8．(1)(2)10(3)【分析】本题考查的是一次函数图象以及利用不等式解集求解一次函数中未知数，两直线的交点问题，解题的关键在于熟练掌握待定系数法求解析式以及学会利用图象法找出关键信息交点的横坐标．（1）根据待定系数法即可求出直线的解析式；（2）根据图像即可求出点横坐标，将点横坐标代入即可求出点坐标，将其代入即可求出的值；（3）先求出与轴交点，则求出，再由即可求解．【详解】（1）解：由图可知，和在一次函数上，，，，，，直线的解析式为：；（2）解：的解集是，点为和交点，的横坐标为1．将点的横坐标1代入中，解得．．将代入中，，；（3）解：由（2）得，当时，，解得：，∴，∴∴．9．(1)(2)当时，(3)点坐标为或【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解题关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标．（1）把分别代入两个解析式，联立两个解析式，解方程组即可；（2）观察图象直接判断即可；（3）根据求出点的纵坐标，代入解析式即可．【详解】（1）解：把代入得，，解得，；把代入得，，解得，；联立方程组得，，解得，，点坐标为：；（2）解：根据图象可知，在点或点的左侧时，，∴当时，；（3）解：由（1），．，，设点坐标为，，，，当时，，∴，∴点坐标为；当时，，∴，∴点坐标为；综上，点坐标为或．10．(1)解析式：；解析式：(2)(3)【分析】（1）先把点坐标代入求出的值，从而得到直线的解析式为，然后求出点坐标，接着利用三角形面积公式计算出，即可得到的坐标，待定系数法求解析式即可求解．（2）根据得出，则直线的解析式为，联立直线的解析式，即可求解；（3）连，由已知得，得出，代入，即可求解．【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，∴,解得：，，，，，设直线解析式为，将代入得，，解得：，的解析式为：，直线的解析式为；（2）解：，，，将代入得：，设直线的解析式为，∴，解得：，直线的解析式为，由得．；（3）解：连接，由已知得，，将代入得．【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了待定系数法求一次函数解析式．11．（1）见详解（2）（3）或．【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，三角形全等等知识，解决问题的关键是构造全等模型.（1）由，得，进而得证；（2）先求出的坐标，过点C作轴于点H，先证明，再求出点C的坐标，进而利用待定系数法求的解析式即可．（3）作于，于，构造模型，设点，，，得进而得出点．【详解】解：（1）∵，，，，，，，又，；（2）令，则，令，则，则点A、B的坐标分别为∶、，过点C作轴于点H，∵，，∴又∵，∴，∴，，则点，设的解析式为：，把，代入，则解得∶故直线的表达式为∶（3）如图3，作于，于，设点，，，由上知，，，当时，当时，，，，点和重合，．综上所述，或．12．(1)(2)或【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象的性质，一次函数图象与不等式的解集，三角形面积问题，平移的性质，利用数形结合思想是解题的关键．（1）把代入求得对应的自变量的值即可求得；（2）①利用三角形面积公式求得的纵坐标，代入即可求得的坐标；②根据图象即可求得自变量的取值范围；③求出直线的解析式，然后令，求出，然后根据沿轴向右平移或沿轴向左平移两种情况解答即可．【详解】（1）解：把代入,得,解得,∴；（2）解：①∵点,∴,，，即，∴,把代入,得,解得,∴；②∵直线交直线于点,根据图象得：不等式的解集为；③连接,把代入得∴点的坐标为,设直线的解析式为，把,代入得，解得，∴直线的解析式为把代得：，解得：，当点在直线上时，点的横坐标为：，当点在点上时，点的横坐标为：，当沿轴向右平移时，只有两个顶点在外部时，当沿轴向左平移，只有两个顶点在外部时；综上可知，只有两个顶点在外部时，的取值范围为或．13．(1)(2)【分析】（1）求出A，B点坐标，利用求出C，D点坐标，利用待定系数法求解；（2）作轴于点S，设，，表示出，表示出线段，，的长度，证明与全等，可求解．【详解】（1）直线，当时，解得，∴，当时，，∴∵，∴，，∴点，点，将点C，D代入直线得，，解得，∴直线；（2）作轴于点S，如图，设，∵轴，∴Q点的纵坐标为，Q点在直线上，代入纵坐标得解得：，∴，设线段与y轴交于点R，则，在中，，，∴∵动点P，Q的速度一样，∴，在和中，，∴，∴，即，解得，∴．【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查一次函数的待定系数法和动点问题，解题关键是掌握待定系数法和利用三角形全等的判定和性质求解问题．14．(1)；(2)；(3)或．【分析】本题考查了一次函数与几何问题题，一次函数的性质，轴对称的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．（）由，得，，由点与点关于轴对称，得，设直线解析式为，再代入计算即可；（）当时，则直线解析式为，联立和得，；（）设，故，由的面积，得，故或．【详解】（1）解：∵，∴，，∵点与点关于轴对称，∴，设解析式为，∴，∴，∴直线的函数解析式为；（2）解：∵，∴，∴直线解析式为，联立，解得，∴；（3）解：设，∴，∴的面积，解得：，∴或．15．(1)(2)存在，或【分析】本题是一次函数综合题，考