2025年中考数学专题训练：二次函数综合与最值问题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考数学专题训练：二次函数综合与最值问题1．已知二次函数，（为常数，且）图象经过点．(1)求二次函数图象的对称轴；(2)若，当时，的最大值为，求的值；(3)已知，是该二次函数图象上的两点．若对于，，总有，求的取值范围．2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，抛物线经过A，B．(1)求抛物线解析式；(2)是线段上一动点，过点作轴于点，交于点，交抛物线于点P，连接PB．①当时，求的面积.②点在线段上运动时，连结交于点，当的值最大时，请你求出点的坐标和的最大值．3．已知抛物线（a为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标小1．(1)求a的值；(2)设点在抛物线上，点在抛物线上．①若，且，求n的值；②若，求n的最大值．4．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，，点为二次函数在第四象限的动点．连接、相交于点．(1)求二次函数的解析式；(2)当存在最大值时，求点的坐标．5．某兴趣小组做小球弹射实验，轴表示水平地面，表示斜坡，．从点处以一定方向和速度弹出小球，小球的飞行路线可用抛物线刻画，其中为小球弹出后飞行的水平距离，为小球弹出后距离水平地面的高度．斜面可用直线刻画．实验测得：，，；小球飞行过程中经过、和三个点．(1)求抛物线的表达式；(2)求小球在斜面上的落点的横坐标；(3)当时，小球在飞行过程中与斜面间的竖直距离的最大值为多少？6．在平面直角坐标系运动中，已知二次函数的图象经过点．(1)求的值；(2)图象上有两点．①若，求的值；②探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．7．在同一平面直角坐标系中，已知x轴上有两点和，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点C和点D，当有最小值时，此时和称为该函数的“虫洞”，的最小值称为该函数的“虫洞距离”．(1)如图1为正比例函数的图象，和是其“虫洞”．当时，根据题意可知，，则；当时，，，则；当时，，，则．由上述分析，请你直接写出正比例函数的“虫洞距离”为；(2)如图2，是函数的图象，和是其“虫洞”，①求函数的“虫洞距离”；②如图3，函数和函数位于同一个平面直角坐标系，若两个函数的“虫洞距离”相等，求t的值．8．AI自习室的出现方便了学生的学习，提高了学习效率．小李经营一家AI自习室，共有24个房间，当每个房间的定价为200元/天时，房间会全部被占用．小李调研发现，当每个房间的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．请利用二次函数的知识，帮助小李计算当每间房间的定价为多少时，AI自习室每天的营业额最大，最大营业额为多少元？9．如图，抛物线经过点，过该抛物线的顶点C作直线轴于点D，，在抛物线上，且在对称轴右侧，过点P作轴于点E．(1)求该抛物线的解析式．(2)若，求点P的坐标．(3)如图2，横坐标为2的点F也在抛物线上，点G在线段上，且在点F的下方，当时，求点P横坐标的最大值．10．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米．(1)求抛物线的解析式．(2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值．(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，那么喷射架应向后（即抛物线向左）平移米．11．如图，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)点是第一象限的抛物线上一点，点位于何处时四边形面积最大，求此时点的坐标以及四边形的面积的最大值．12．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．(1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？(3)该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围．13．已知抛物线的顶点纵坐标比抛物线的顶点纵坐标小8．(1)求的值；(2)点在抛物线上，点在抛物线上．①若，求的最小值；②若，且，，，求的值．14．如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D，设．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当时，求线段的最大值；(3)在和中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，c是常数）经过点，且对称轴为直线，动点P在抛物线上，其横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P到y轴的距离小于3，求点P的纵坐标的取值范围；(3)若抛物线位于点P右侧（包含点P）部分的函数值最小为，求m的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年中考数学专题训练：二次函数综合与最值问题》参考答案1．(1)直线(2)(3)或【分析】本题主要考查二次函数图形的性质，掌握二次函数图形的开口，最值的计算，对称轴直线的计算等知识，数形结合分析，分类讨论是解题的关键．（1）把点代入，运用对称轴直线的计算公式求解即可；（2）二次函数图象的对称轴是，则，，根据二次函数图象的性质得到当时，的值最大，代入计算即可求解；（3）分类讨论：当时，，当时，或，数形结合分析即可求解．【详解】（1）解：二次函数，则对称轴直线为，由题意知，二次函数的图象过，，则，，二次函数图象的对称轴是；（2）解：二次函数图象的对称轴是，，，当时，二次函数的图象草图如图1，由图象可以看出：在范围内，点的位置最高，∴当时，的值最大，此时，．解得；（3）解：当时，函数图象草图如图2，点在，之间的抛物线上，此时当点在点的位置时的值最小，点关于直线的对称点为点，由于，点在直线下方的抛物线上，，又，，解得，又，，当时，函数图象的草图如图3，点在之间的抛物线上，此时点在点处的值最小，点关于直线的对称点为点，由于，点在直线下方的抛物线上，或，又，或，解得或（不合题意舍去），综上所述，的取值范围是或．2．(1)抛物线(2)①的面积为3；②点的坐标；当时，有最大值，最大值为【分析】（1）求出点B坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）①求出点P坐标，再求出的面积即可；②过点Q作于点H，设点P坐标，求出直线解析式，列出的代数式，再确定它的最大值和E点坐标即可．【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，∴得，

则直线，当时，，点，又∵，抛物线经过A，B，∴解得，则抛物线；（2）解：①轴，，

，，点D坐标为，，

．②如图，过点Q作于点H，设直线的解析式为，∵，∴，

解得：，∴直线的解析式为，联立，

解得：，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值为，此时．【点睛】本题考查了二次函数的综合，解题关键是熟练利用待定系数法求出二次函数解析式，利用点的坐标表示出比值，再利用二次函数的性质确定最值．3．(1)(2)①3②4【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：（1）求出的顶点的横坐标，进而求出的顶点横坐标，列出方程进行求解即可；（2）①把点代入上，得到，把，，代入，得到，进而得到，因式分解得到，进而求出的值，即可出得出结果；②同①得到，把代入，转化为二次函数求最值即可．【详解】（1）解：∵，∴抛物线的顶点坐标为，∵抛物线（a为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标小1，∴，解得：；（2）①由（1）知：，∵点在抛物线上，∴，∵，，∴，∴，整理，得：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴当时，有最大值为：4．4．(1)(2)D的坐标为【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）过点作轴，交于，则，得出直线的解析式为：，设，得出，进而得出关于的关系式，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：将，，代入，得：，解得，，∴二次函数的解析式为（2）解：过点作轴，交于，.由，，设直线的解析式为∴∴∴直线的解析式为：，设，把代入，得，又，，∴当时，的最大值为，∴D的坐标为5．(1)(2)(3)【分析】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数的实际应用、二次函数的最值等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．（1）待定系数法求出抛物线解析式即可得解；（2）先求出斜面的解析式，再根据小球在斜面上的落点可以看作是斜面和抛物线的交点，联立方程组求解即可；（3）设的坐标为，则，表示出的长度，再利用二次函数最值求解即可．【详解】（1）解：将、代入得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）解：，，，，，将、两点坐标代入得：，解得：，斜面的解析式为，小球在斜面上的落点可以看作是斜面和抛物线的交点，令，解得：（负值舍去），小球在斜面上的落点的横坐标为；（3）解：设的坐标为，则，，，当时，有最大值，此时，答：小球在飞行过程中与斜面间的竖直距离的最大值为．6．(1)(2)①存在最小值为0【分析】本题考查待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）①先由已知求得，再代入求得；②由于，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：由已知，二次函数的图象经过点，∴，解得．（2）解：①由题意，，∴．；②存在最小值．由，得存在最小值为0．7．(1)2(2)①；②或【分析】（1）分三种情况：当时，当时，当时，求出的最小值，即可得出答案；（2）①根据和，得出，，求出，根据二次函数的最值，求出当时，的最小值为，得出答案即可；②分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可．【详解】（1）解：当时，，当时，有最小值2；当时，；当时，，当时，有最小值2．∴正比例函数的“虫洞距离”为2；（2）解：①∵和，∴，，∴，当时，的最小值为，∴函数的“虫洞距离”为；②当时，，，此时两个函数的“虫洞距离”不能相等；当时，，，∵两个函数的“虫洞距离”相等，∴，解得：或．【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次函数最值，新定义运算，一次函数的性质，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论．8．当每间房间的定价为元时，AI自习室每天的营业额最大，最大营业额为元【分析】本题考查二次函数的实际运用，解题的关键在于根据题意建立二次函数关系式．根据“每天的营业额每间房间的定价房间数”建立二次函数关系式，再结合二次函数性质求解，即可解题．【详解】解：由题知，，整理得，有，化为顶点式为，，当时，每天的营业额最大，最大营业额为元．9．(1)(2)(3)【分析】（1）根据抛物线解析式，得到对称轴，进而求出点，再结合，利用待定系数法求解，即可解题；（2）利用平行线性质证明，得到，设，结合建立等式求出的值，进而求得点P的坐标；（3）结合题意求出点F的坐标，作于点，证明，利用相似三角形性质得到，再利用二次函数的最值求解，即可解题．【详解】（1）解：，抛物线对称轴为直线，，,抛物线经过点，即，解得，抛物线为；（2）解：，,轴于点E,,,,设，有,,,整理得，解得，是抛物线在第一象限上一动点，，即；（3）解：点F的横坐标为2，，即点F的坐标为，作于点，有,,,,,,,,∵，，∴，∴，∵点在线段上，且在点下方，∴，∵，∴当时，．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，平行线性质，相似三角形性质和判定，二次函数的图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质．10．(1)(2)(3)【分析】（）由题可知抛物线的顶点坐标为，进而利用待定系数法解答即可求解；（）先求出斜坡的高度的解析式，列出，再根据函数的性质解答即可求解；（）设喷射架向后平移了米，设出平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解；本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出二次函数的解析式是解题的关键．【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点坐标为，设水流形成的抛物线的表达式为，将点代入得，，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：由题可知点坐标为，设直线的函数解析式为，把代入得，，∴，∴直线的解析式为，∴，∵，∴当时，取最大值，最大值为；（3）解：设喷射架向后平移了米，则平移后的抛物线可表示为，将点代入得，，解得或(不合，舍去)，∴喷射架应向后移动米，故答案为：．11．(1)抛物线解析式为；(2)此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为．【分析】（）先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出点，点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（）过作轴于点，交于点，设，则，则，然后由得出，再根据二次函数的性质即可求解；本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，二次函数的几何问题，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题是解题的关键．【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，∴当时，，当时，，∴点，点，∵抛物线交于，两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为；（2）解：如图，过作轴于点，交于点，设，则，∴，则，当时，有最大，最大值为，∴，此时点的坐标为．12．(1)；(2)将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元；(3)捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是．【分析】本题主要考查了二次函数的应用．解决本题的关键是根据二次函数的性质求出二次函数的最值，从而解决利润最大的问题．根据销售单价每上涨元，每天销量减少个，列出与之间的函数关系式，根据规定销售单价不低于元，且不高于元可得自变量的取值范围；根据利润销量单件利润可以得到，利用二次函数的性质求出最大利润；根据捐款后每天剩余利润不低于元，可以得到，求出方程的解，再根据自变量的取值范围确定销售单价的范围．【详解】（1）解：根据题意得：，与之间的函数关系式为；

（2）解：根据题意得：整理得：，配方得：，，抛物线的对称轴为，当时，随的增大而增大，又，当时，有最大值，最大值为，将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元；（3）解：根据题意可得：剩余利润为元，捐款后每天剩余利润不低于元，，，解方程，可得：，，又，，要使捐款后每天剩余利润不低于元，则，答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是．13．(1)(2)①；②【分析】本题考查了二次函数的图象性质，把二次函数一般式化为顶点式，因式分解法解一元二次方程．（1）分别求出两个函数的对称轴，再求出顶点的纵坐标，结合“抛物线的顶点纵坐标比拋物线的顶点纵坐标小8”，进行列式计算，即可求解．（2）①先把和分别代入，，得出，；整理出，因为，所以，运用二次函数的图象性质，即可求解；②先得出，故，所以，结合，，即可求解．【详解】（1）解：依题意，抛物线的对称轴为直线，把代入，得，故该函数的顶点纵坐标为，拋物线的对称轴为直线，把代入，∴