河北省沧州市2025届沧衡八县联考高三一模数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河北省沧州市2025届沧衡八县联考高三一模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以复数z的虚部为.故选：B.2.集合的真子集个数为（）A.15 B.16 C.31 D.32【答案】A【解析】不等式的解为，因为，所以，所以集合的真子集个数为.故选：A.3.若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为（）A. B.1.5 C.0.5 D.【答案】B【解析】依题意，，所以，即经验回归方程为，又当时，，所以样本点的残差为，故选：B.4.已知为等比数列的前项和，若，则（）A72 B. C.144 D.【答案】D【解析】依题意，，，，由为等比数列，得，即，解得或，由，得，则，所以.故选：D5.已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线E的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，，又，所以，整理得，所以，所以双曲线E的渐近线方程为，即，故选：C.6.设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，又因为，，所以，所以，故选：A.7.在正四棱台中，，，，则该正四棱台外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设正四棱台上底面的中心为，下底面的中心为，因为，，所以，.过作于，易得，设该正四棱台外接球的球心为O，则O在直线上，，设，则，设外接球的半径为R，则，即，解得，则，所以外接球的表面积为.故选：B.8.已知函数在上单调，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则m的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数，又函数在上单调，所以函数的最小正周期，所以，又，所以，2，3.若，则，且，又，则无解；若，则，且，又，则；若，则，且，又，则无解.综上，.所以函数的图像向右平移m个单位长度后对应解析式为，因为关于轴对称，所以，.所以，，又，所以当时，m取最小值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，并统计如下，则（）成绩频数61218302410A.这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成B.这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85C.这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85D.这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间【答案】AB【解析】选项A：这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生人数为，所以A选项正确；选项B：成绩不超过85的学生人数为，所以B选项正确；选项C：成绩分布在的人数为30，但不一定成绩的众数为85，所以C选项不正确；选项D：由于，所以D选项不正确.故选：AB10.在中，若内角A，B，C满足，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由，得，不妨令，，，对于A，由余弦定理得，A正确；对于B，，，，B错误；对于C，，，则，，C正确；对于D，，，又，则，由，得，即，因此，D正确.故选：ACD11.在平面直角坐标系中，若，，则称“”为M，N两点的“曼哈顿距离”，若动点E到两定点，的“曼哈顿距离”之和为定值，则称点E的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点P为该“曼哈顿椭圆”上一点，则（）A.的周长为 B.面积的最大值为C.该“曼哈顿椭圆”的面积为 D.该“曼哈顿椭圆”的周长为【答案】BCD【解析】设点P的坐标为，则P，两点的“曼哈顿距离”，，两点的“曼哈顿距离”，则，易得“曼哈顿椭圆”关于坐标原点及坐标轴对称，可以先研究第一象限及x轴和y轴非负半轴上点的轨迹，，作曲线，根据对称性，可作出如图“曼哈顿椭圆”，则，，，对于A，B，当点与重合时，的周长为，此时的面积最大为，故A不正确，B正确；对于C，梯形的面积为，所以该“曼哈顿椭圆”的面积为，故C正确；对于D,又，所以该“曼哈顿椭圆”的周长为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则________.【答案】【解析】依题意.故答案为：.13.将分别标有数字1，2，3，4，5的5个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲，乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲，乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为________.【答案】3【解析】若甲摸出的球上面的数字为1或5，则可以推断两人摸出球上面数字的大小，所以甲摸出的球上面的数字不可能是1或5；同理，乙摸出的球上面的数字也不可能是1或5；若乙摸出球上面的数字为2，甲摸出的球上面的数字可能为3或4，此时乙可判断大小；若乙摸出的球上面的数字为4，甲摸出的球上面的数字可能为2或3，此时乙可判断大小，所以乙摸出的球上面的数字为3.故答案为：3.14.已知函数满足：，，，若，则________.【答案】2024【解析】依题意，因为，则，令，则，因，所以，又因为，则，即，令，则，即，令，则，所以，故得，又；又，所以，即.故答案为：2024.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.若数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，证明：.解：（1）当时，，，因为，当时，，两式作差得：，即，故，又因为，所以，且所以.（2）由（1）可知，，故，，两式作差得：.所以，因为，所以.16.已知函数.（1）若，证明：；（2）若存在过点的直线与曲线相切，求实数a的取值范围.解：（1）当时，，，则，，令，.则，所以函数在上单调递增，又，所以当时，，即，所以函数在上单调递减；当时，，即，所以函数在上单调递增，所以当时，，所以.（2）设过点的直线与曲线相切于点，，则，则切线方程为，又该切线经过点，所以，即，整理得，即，即，即，显然当时，不合题意；则，令，，则，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；所以函数在时取得最大值，且当时，，当时，，所以，即，解得或，所以实数的取值范围为.17.某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表：（1）请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系；（2）若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响.（i）用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望；（ii）记有n人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值.附：，其中.【答案】（1）列联表见解析，推断犯错误概率不大于0.001（2）（i）；（ii）12【解析】〖祥解〗(1)完成列联表，并利用独立性检验的步骤完成计算即可；(2)（i）由题意可知能进入总决赛的人数服从二项分布，再计算出每个人进入决赛的概率，利用二项分布的数学期望公式进行计算即可；（ii）写出的表达式，列出不等式组进行求解即可.解：（1）列联表如下：零假设为：满意程度与性别无关，，所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001.（2）（i）依题意，设“答对第道题”；“某同学进入总决赛”，则，，，所以，依题意，，所以；（ii）依题意，，，若最大，则，解得，因为，所以，所以取最大值时的值为12.18.如图，在三棱锥中，，D为上一点，，.（1）证明：平面平面ABC；（2）若，，求：（i）三棱锥的体积；（ii）平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：在中，，，所以，所以，又，所以，即，又因为，，所以平面，又平面ABC，所以平面平面.（2）解：（i）因为，所以，则，，所以在中，，如图，过点P作于，，由（1）可知，点P到的距离即为点P到平面的距离，所以三棱锥的体积.（ii）如图，连接，则，，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，又，，所以，，，，设平面PAD的法向量为，则令，则，，所以，设平面PBC的法向量为，则令，则，，所以，设平面PAD与平面PBC的夹角为，则，所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为.19.经过圆上一点作C的切线l，l与抛物线也相切，P为上一点.（1）求r和p的值；（2）若点，不经过P的直线与交于不同两点A，B（位于x轴两侧），与相交于点D，若直线PA，PB，PD的斜率分别为，，，且为，的等差中项，证明：直线过定点；（3）若O为坐标原点，F为的焦点，求内切圆面积的最大值.解：（1）依题意，点在圆上，则，所以，又圆心为，设直线l的斜率为k，则，所以，所以直线l的方程为，即，又直线l与抛物线也相切，联立，整理得，则，解得（舍去）或，综上可得，.（2）由（1）可知，抛物线的方程为，准线方程为，设直线，，，联立，即.又，则，，，因为为，的等差中项，所以，即，又，，代入上式