广东省广州市海珠区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1广东省广州市海珠区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在中，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】.故选：C.2.下列的表述中，正确的是（）A.过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直B.过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行C.过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直D.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行【答案】B【解析】对于A，因为过平面外一点有且只有1条直线与平面垂直，而过该垂线面有无数个，根据面面垂直的判定定理可知这无数个面与该平面垂直，故A错误；对于B，由平面定义可知过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行，故B正确；对于C，由线面垂直定义可知，过直线外一点，有且只有一个平面与该直线垂直，而过垂面内一点在垂面内有无数条直线与该直线垂直，所以过直线外一点，有无数条直线与这条直线垂直，故C错误；对于D，过直线外一点，只能作出一条直线与该直线平行，而过所作直线的平面有无数个，所以过直线外一点，有无数个平面与该直线平行，故D错误.故选：B.3.若两个非零向量的夹角为，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，所以.故选：A.4.有一组从小到大排列的样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，，则（）A.数据的标准差不小于数据的标准差B.数据的中位数与数据的中位数相等C.若数据的方差为m，则数据的方差为D.若数据的极差为d，则数据的极差为【答案】B【解析】对于A，因为，所以根据标准差的意义可知数据的标准差小于等于数据的标准差，故A错误；对于B，根据中位数定义可知，数据的中位数与数据的中位数是相同数据所得，所以两组数据中位数相等，故B正确；对于C，若数据的方差为m，则由方差性质得数据的方差为，故C错误；对于D，由题意数据极差为，所以数据的极差为，故D错误.故选：B.5.为了得到的图象，只需把图象上所有的点（）A.先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变B.先向右平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变C.先向左平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变D.先向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变【答案】C【解析】根据平移变换知识先向左平移个单位长度可得，再将所得曲线横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得.故选：C.6.已知的外接圆圆心为O，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以O为BC边中点，所以为外接圆的直径，且（为外接圆半径），又，故，所以，则在上的投影向量为.故选：B.7.设，，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以，即，又，，所以，即，或，即（舍去）．故选：8.通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的，则当天的降雨等级是（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【答案】B【解析】由题桶的下底面面积为，上底面面积，又桶中水水面与底面距离为，设水面半径为，如图为桶的轴截面图形，则，则，故由得，故水面半径为，所以桶中水水面面积为所以连续24小时的桶中水的体积为，所以24小时内降水在平地上积水厚度为，所以当天的降雨等级是中雨.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，则下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若向量的夹角为钝角，则m的取值范围是【答案】BC【解析】A选项，，故，解得，A错误；B选项，，即，解得，B正确；C选项，由题意得，解得，C正确；D选项，若向量的夹角为钝角，则且不反向共线，故且，解得且，D错误.故选：BC.10.已知复数，，则下列说法中正确的是（）．A. B.若，则C.若，则 D.【答案】AD【解析】对于A，设复数、对应的点分别为、，则由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义得：，故A正确；对于B，当，则，可为任意复数，即与不一定相等，故B错误；对于C，设复数、，则，故，但不满足，故C错误；对于D，设，，故，则，又，故，故D正确.故选：AD.11.在正三棱柱中，已知动点P满足，，且，则下列说法中正确的是（）A.若，则三棱锥的体积是定值B.若，则三棱锥的体积是定值C.若，则三棱锥的体积是三棱柱的体积的D.若，则直线AP与平面所成角的正弦值的最大值是【答案】ACD【解析】对于A，若，则，所以，所以，所以点在上，因为，所以点到平面的距离即为点到平面的距离，为定值，而为定值，所以为定值，故A正确；对于B，若，则，所以，所以，所以点在上，所以点到平面的距离不是定值，因为为定值，所以不是定值，故B错误；对于C，若，则点为的中点，故，故C正确；对于D，若，则三点共线，即点在上，取的中点，连接，则，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，所以即为直线AP与平面所成角的平面角，设正三棱柱的棱长为，则，而，要使最大，则要最大，则最小，当时，最小，此时，此时，所以，即直线AP与平面所成角的正弦值的最大值是，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数z满足，则__________．【答案】【解析】由题意，故.故答案为：.13.某班有男学生20人、女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：课后阅读时长平均数（小时）方差男生组251女生组261.1则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为___________小时，方差为___________．【答案】25.61.3【解析】该班学生这个月的课后阅读时长平均数为，方差为.故答案为：25.61.3.14.已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为___________．【答案】【解析】取的中点，则，因为，所以，所以，又为公共端点，所以三点共线，所以点在边的中线上，且，同理点在边的中线上，即点为的重心，故，因为，所以点为的外心，即为为中垂线的交点，故，则，所以，而，所以，即，所以，所以，所以.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在棱长为2的正方体中，点E，P分别为，的中点．（1）求证：直线平面；（2）求点A到平面的距离．解：（1）由正方体性质可知，且，故，又因为点E，P分别为，的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以直线平面.（2）设点A到平面的距离为，由题，故，又由正方体性质平面，平面，所以，所以，所以，又，故，即点A到平面的距离为.16.一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下：分组频数频率100.1x0.15200230y150.1550.0550.05合计1001.00（1）请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图；（2）请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；（3）为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．解：（1），频率分布直方图如图所示.（2），故这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2.（3）第40百分位数为，故应选取本年度营销总额大于百万元的加盟店获评优秀加盟店称号.17.已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行．（1）甲船航行3小时到达C处，求AC；（2）在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．解：（1）由题意得，海里，海里，，在中，由余弦定理得，所以，(海里).（2）甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下：如图所示，延长，过点A向正东方向作交的延长线于点D，连接，过点A作交于点F，在中，(海里)，在中，(海里)，，由余弦定理得，所以(海里)，所以，因此甲船能沿方向航行前往救援.18.在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，M是PD的中点，且与平面所成角的正弦值为．（1）求证：平面；（2）求直线与直线所成角的余弦值；（3）求平面与平面所成二面角的正弦值．解：（1）证明：因为为矩形，所以，因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为侧面为正三角形，M是PD的中点，所以，因为，平面，所以平面.（2）取的中点，的中点，连接，因为为正三角形，所以，因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为四边形为矩形，中点，的中点，所以，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，设，因为平面，所以为与平面所成角，所以，化简得，令，则，所以，所以，所以直线与直线所成角的余弦值为.（3）因为，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以，设平面与平面所成二面角为，所以所以平面与平面所成二面角