河北省保定市定州市2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河北省保定市定州市2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.求的值为（）A.12 B.18 C.24 D.30【答案】B【解析】.故选：B.2.已知，则（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】故选：A.3.在数列中，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】数列中，由，，得，同理可得，，…，所以，则.故选：C.4.等比数列的各项均为正数,且,则（）A.12 B.10 C.5 D.【答案】B【解析】因为是各项均为正数的等比数列，，所以，即，则记，则，两式相加得，所以，即.故选：B.5.如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左支交于点A，B，若则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】依题意，设，则，，由，得，在中，，整理得，因此，，在中，有，整理得，显然，即，解得，所以双曲线的渐近线方程为．故选：C6.已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】设直线与曲线的切点为且，与曲线的切点为且，又，，则直线与曲线的切线方程为，即，直线与曲线的切线方程为，即，则，解得，故，故选：A.7.令，则当时，a除以15所得余数为（）A.4 B.1 C.2 D.0【答案】D【解析】，当时，故a除以15所得余数为0.故选：D.8.设A，B，C，D为抛物线上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点D处的切线l.设点D到直线和直线的距离分别为，，已知，则（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】由题意可设，，，.抛物线方程，即，由，所以点D处切线的斜率为，，，，因此，即，平行于轴，则点D到直线和直线的距离相等，即.又，，所以.所以.故选：B.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（）A.A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5B.A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2C.A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1D.A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝2【答案】BCD【解析】因为|PA－PB|＝5＝AB，所以点P的轨迹是两条射线，故A不正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB＝·＝2，化简得y2＝2（x2－4），即－＝1，此时P的轨迹在双曲线上，故B正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB＝·＝1，化简得y2＝x2－4，即x2－y2＝4，此时P的轨迹在双曲线上，故C正确；因为PA－PB＝2＜5＝AB，此时P的轨迹在双曲线上，故D正确．10.身高各不相同六位同学站成一排照相，则说法正确的是（）A.A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B.A与同学不相邻，共有种站法C.A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法D.A不在排头，B不在排尾，共有504种站法【答案】ABD【解析】对于A，将三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法，故A正确；对于B，先排，共有种站法，A与同学插空站，有种站法，故共有种站法，故B正确；对于C，将三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况，捆绑后有种站法，故共有种站法，故C错误；对于D，当在排尾时，随意站，则有种站法；当不在排头也不在排尾时，有种，有种，剩下同学随意站有种，共有种，故A不在排头，B不在排尾，共有种站法，故D正确；故选：ABD．11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.若，则有两个极值点B.若是的唯一极值点，则C.有唯一极值点的充要条件是D.若有三个极值点，，，则.【答案】ABD【解析】时，由可知，由函数，图象，显然方程有唯一负根，即有变号零点，所以有两个变号零点，所以函数有两个极值点，故A正确；若是的唯一极值点，则恒成立，若，为增函数，时，不成立，若，则恒成立，令，当时，，在单调递减，当时，，在上单调递增，所以当时，，所以，B正确；，即当时，，此时由，由可得，当，当，所以函数在单调递减，在单调递增，显然可得，所以，又，故存在使，所以函数有两个零点3和，是的不变号零点，是的变号零点，所以3不是的极值点，时，有唯一极值点，C错误；有三个极值点，，必有两个零点且都不为3，不妨设，则必有两个不同零点，，不妨设，则单调递增，且有唯一零点，故，此时零点，当时，，单调递减，当时，单调递增，由有两零点可知，即，，又，所以存在零点，时，，所以必存在，且，令，即，令，下面证明，令，则是增函数，又∵，时，，即.当时，，即由可知，当时，，在单调递减，，，，即，故D正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为__________.（用数字作答）【答案】120【解析】三位同学围成一个圆，“”“”或“”是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个.三位同学围成一个圆的排列总数为，由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为.故答案为：13.已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______．【答案】10【解析】椭圆的方程为，∴，，，连接，，则由椭圆的中心对称性可得的周长，当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为，．故答案为：1014.已知函数，若，则最小值为________.【答案】【解析】解法l：隐零点处理策略函数的定义域为，求导得，令，求导得，函数在上单调递增，由，，得在上存在唯一的零点，即，于是当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以.解法2：同构变形依题意，，令，，设，求导得，当时，，当，，函数在上单调递减，在上单调递增，则，所以的最小值为.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或者演算步骤.15.已知，函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围．解：（1）因为，所以曲线在点处的切线斜率．而直线的斜率为，则，得．（2）由在上单调递减，得上恒成立，即在上恒成立．又时，，所以，所以的取值范围是．16.“三角垛，下广，一面一十二个，上尖，问：计几何?”过去，商人们在堆放瓶瓶罐罐这类物品时，为了节省地方，常把它们垒成许多层，俗称“垛”，每层摆成三角形的就叫“三角垛”，“三角垛”自上而下，第1层1个，第2层（）个，第3层（）个，这样一道题目：用现在的话说，其意思就是：“有一个三角垛，最底层每条边上有12个物体，最上层只有1个尖），问：总共有多少个物体?”（1）第12层有多少个?（写出计算过程）（2）若用表示第n层的物体个数，请做如下计算：①的值为多少；②求数列的前2024项和.解：（1）第12层的物品个数为：.（2）①；②，.17.已知双曲线的右焦点F到其渐近线的距离为，又P为双曲线上一点，且满足：轴，且.（1）求双曲线的标准方程；（2）过F点作直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A、B不与P点重合），且与交于Q点，问：是否存在常数t，使得成立?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.解：（1）双曲线的渐近线方程为，即，右焦点到渐近线的距离，得.设，则，得，即，于由，得双曲线标准方程为：.（2）由（1），不妨令，且，因为过F点作直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A、B不与P点重合），所以直线的斜率存在，即直线方程为，则，因此.由联立并化简得，令，，则，∵直线与双曲线右支相交，，或，.存在，使得成立.18.已知函数（1）若，求的取值范围；（2）若既存在极大值，又存在极小值.①求a的取值范围；②当时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k的取值范围.解：（1）当时，，则有，令，所以在单调递增，令，所以在单调递减，所以在处取得极大值，即为的最大值，无最小值.所以.（2）.因为存在极大值和极小值，所以方程有两个不等实根.所以且.这是必要条件，下面证明充分性.令，解得或.①当时，，令，解得或，所以在和上单调递增；令，解得时，所以在单调递减.故当时，取得极大值；当时，取得极小值.当时，，令，解得或，所以在和上单调递增；令，解得，所以在单调递减.故当时，取得极小值；当时，取得极大值.综上所述，a的取值范围为.②当时，由①可知的极大值点为，极小值点为，所以，.因为，令，可得对任意恒成立.由于此时在上单调递减，所以，故，故，即.设，则，令（*），，（I）当时，，故，在上单调递增.故，即，符合题意.（Ⅱ）当时，，设（*）的两根为和，且，则，，故，则当时，，单调递减.故当时，，即矛盾，不符合题意.综上，，即，所以，故k的取值范围为.19.在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”．（1）若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；（2）若数列为“数列”，且，数