河北省保定市部分示范高中2025届高三下学期模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河北省保定市部分示范高中2025届高三下学期模拟考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故选：B.2.已知为坐标原点，圆，则（）A.2 B.3 C. D.5【答案】C【解析】，则.故选：C.3.已知向量，则在上的投影向量的模为（）A.1 B. C.10 D.【答案】A【解析】向量在上的投影向量为，故.故选：A.4.已知圆台的上、下底面半径分别为3，5，母线长为3，则该圆台的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圆台侧面积公式可得：.故选：C.5.已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B.2 C.4 D.【答案】B【解析】由题意，又，所以，故，所以，所以双曲线，故渐近线方程为且焦点为，则焦点到渐近线的距离为.故选：B.6.在中，内角的对边分别为，已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，.又，.由正弦定理得，即.在中，，，即..故选：D.7.已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】是定义在上的函数，且有，当时，，则时，，则，时，，时，，时，，画出函数与函数的图象，由图象可知方程的根的个数为3.故选：C.8.已知，函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，又，得，又，所以，且，所以，故，故，又，所以当时，取得最小值，最小值为.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列不等式成立的有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】因为，故A正确；因为，故B正确；因为，故，故C错误；由，得，即，故D错误.故选：AB.10.在正方体中，下列四个选项中正确的有（）A.直线平面B.每条棱所在直线与平面所成的角都相等C.平面平面D.直线平面【答案】ABD【解析】设正方体的棱长为1，如图，因为平面，又平面，直线，所以直线平面，故A正确；在三棱锥中，，所以三棱锥为正三棱锥，故与平面所成的角均相等，又正方体的其他棱均与中的一条棱平行，所以每条棱所在直线与平面所成的角都相等，故B正确；连接交于点，连接，因为均为等边三角形，所以，所以为二面角的平面角，又，所以，所以C错误；由，平面，得平面，因为平面，所以，同理平面，所以直线平面，故D正确.故选：ABD.11.已知到点和的距离之积为定值的点的轨迹称为伯努利双纽线，.若，曲线过坐标原点，点为曲线上一点，则下列说法正确的有（）A. B.曲线与轴有三个交点C. D.【答案】ACD【解析】对于A，由时，过坐标原点，所以，所以，所以，故A正确；对于B，设是曲线上任意一点，则，化简得，当时，，只有一解，所以B错误；对于C，由，所以，故C正确；对于D，由，得，将其看成是关于的方程，则，故，所以D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一组统计数据为，则这组数据的分位数为__________.【答案】83.5【解析】将数据从小到大排列：75，77，79，，又，故这组数据的分位数为.故答案为：83.5.13.由一个1、两个2和三个3排列成一个六位数，则所有相同数字都不相邻的概率为__________.【答案】【解析】由一个1，两个2和三个3排列成一个六位数字共有种结果，若三个3之间的两个位置只有两个2，有132323和323231两种，若三个3之间的两个位置只有一个1和一个2，有四种，若三个3之间的两个位置中，其中一个位置有一个1和一个2，另一个位置为2，有312323，四种，共10种结果，所以其概率.故答案为：.14.已知集合，定义集合.若，记为集合中元素的个数，则的最大值为__________.【答案】67【解析】设满足题意，其中，则：，故，，故，因为，所以，又中最小的元素为0，最大的元素为，则，故，解得，设，则，，因为，可得，即，故的最小值为34，于是当时，中元素最多，即时满足题意，综上所述，的最大值是.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）为的导函数，则当时，求的值；（2）证明：有且仅有一条图象的切线过坐标原点；（3）讨论函数单调性.（1）解：当时，，故，故.（2）证明：函数的定义域为，而，设为切点，则切线的斜率，切线方程为，若切线过点，则，化简得，方程只有一解为，所以有且仅有一条图象的切线过坐标原点.（3）解：当时，则，函数在上单调递增；当时，令，解得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，综上，当，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.16.某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30名员工的绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下列联表：单位：人性别绩效分数达标情况合计未达标达标男201030女52530合计253560（1）经计算，所调查男员工绩效分数的平均数为26；女员工绩效分数的平均数为34，求这60人绩效分数的平均数.（2）根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关联？（3）该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励1千元，其他名次无奖励.甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的概率为，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率为；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为，求甲在前两个月所得奖金总额（单位：千元）的分布列和数学期望.附：0.10.010.0012.7066.63510.828参考公式：，其中.解：（1）由题意可知，30.（2）零假设为：绩效分数达标情况与性别无关.，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为绩效分数达标情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.（3）由题意知可能的取值为，则；，所以甲在前两个月所得奖金总额的分布列为012数学期望0.44.17.如图，在圆锥中，是底面圆上的四点，为直线与圆的另一交点，为母线上一点，且.（1）证明：平面底面圆；（2）为底面圆的劣弧上一点（与点均不重合），且平面与平面所成角的余弦值为，求的正弦值.（1）证明：设交于点，连接，设圆半径为，则可得，在中，，所以，故，所以，又，所以为正三角形，因此为的中点，易得，故，所以为的中点，所以.又底面圆，所以底面圆，又平面，所以平面底面圆.（2）解：以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，连接，设，平面的一个法向量为，则，故，由得令，解得，又平面的一个法向量为，则，解得或（舍去），所以，则，故.18.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上的动点，的周长为6.（1）求的标准方程.（2）延长线段分别交于两点，连接，并延长线段交于另一点，若直线和的斜率均存在，且分别为，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.解：（1）设椭圆的焦距，所以的周长为，即.又椭圆的离心率为，所以，所以，所以，所以，所以的标准方程为.（2）是定值.由（1）得，设，，又三点共线，所以，化简得，则直线的方程为，直线的方程为，由，化简得，由根与系数关系可知，，所以，同理，又，所以.19.已知数列的首项，当时，，数列满足，数列和的所有项合在一起，按从小到大的顺序依次排列构成新数列.（1）求的值；（2）记为数列的前项和，求使得成立的的最小值；（3）从数列的前100项中每次随机抽取一项，有放回地抽取20次，设这20次抽取的项互不相同的概率为，证明：.附：不等式，且的推广式均大于0，且不全相等）成立.解：（1）数列的首项，当时，，则数列是以1为首项，公差为2的等差数