广东省深圳市聚龙科学中学教育集团2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1广东省深圳市聚龙科学中学教育集团2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列说法正确的是（

）A.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.若，，则D.向量与向量的长度相等【答案】D【解析】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误.两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误.当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误.向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确.故选：D.2.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】由于为纯虚数，所以且，解得.故选：C.3.下列各式中不能化简为的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A：，不符合题意；B：因为，，若，即，可得，即点与点重合，显然这不一定成立，所以与不一定相等，符合题意；C：，不符合题意；D：，不符合题意.故选：B.4.设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】，，对应点为.故选：B．5.已知向量，，，若点不能构成三角形，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，，若点三点共线，则点不能构成三角形，即，解得：，所以的值为.故选：B.6.已知平面向量满足，且，则（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】由，得，则，由，得，因此，所以.故选：A.7.设非零向量满足，，则四边形ABCD形状（）A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以，根据平行四边形法则，所以四边形ABCD是菱形，又因为，所以，所以四边形ABCD是正方形.故选：C.8.在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，由三点共线可得，且，所以，当且仅当即时等号成立.故选：D.二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.）9.下面是关于复数的四个命题，其中真命题是（）A. B.C.的共轭复数为 D.的虚部为【答案】ABCD【解析】，，故A正确；，故B正确；的共轭复数为，故C正确；的虚部为，故D正确.故选：ABCD.10.已知向量，则下列说法正确的是（）A. B.与的夹角为C.若，则 D.存在，使得【答案】ACD【解析】对于A，由题可知，故A项正确；对于B，，故与的夹角为，故B项错误；对于C，若，则，故C项正确；对于D，若，则，则当时，可以使，故D正确.故选：ACD.11.在正方形中，，点E满足，则下列说法不正确的是（）A.当时， B.当时，C.存在t，使得 D.的最小值为2【答案】BC【解析】由题可以A为原点，AB、AD分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意，故，对于A，当时，则由可知，所以，又，故，故A正确；对于B，当时，则由可知，所以，，所以，故B错误；对于C，由可得，故，，则，故不存在t，使得，故C错误；对于D，由C得，故，又，故当时，取得最小值为，故D正确.故选：BC.三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.）12.若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为____________.【答案】【解析】因为向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，所以，当时，，解得，所以若，则，即的取值范围为.13.已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是_______．【答案】【解析】设点为坐标原点，点在线段的延长线上，且，，即，．点的坐标为．14.在山脚A测得山顶P的仰角，沿倾斜角的公路向上走600m到达B处，在B处测得山顶P的仰角，如图，若在山高的处的点S位置建造下山索道，则此索道离地面的高度为______m.【答案】【解析】过B作，垂足为，因为，在中，可得，在中，则，由正弦定理可得，在中，可得，则山的高度，所以索道离地面的高度为（m）.四、解答题（共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设是不共线的两个非零向量．（1）若，求证：三点共线；（2）若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值.解：（1）由，得，，所以，且有公共点B，所以三点共线.（2）由与共线，则存在实数，使得，即，又是不共线的两个非零向量，因此，解得，或，实数k的值是.当时，与反向共线.16.已知向量与夹角，且，．（1）求，，在上的投影向量；（2）求向量与夹角的余弦值．解：（1），所以，，所以，在上的投影向量为：（2），设向量与夹角为，则.17.在中，角的对边分别是，已知.（1）求；（2）若，且周长为，求.解：（1）在中，由及正弦定理得，而，则，又，所以或.（2）由的周长为，，得，在中，由余弦定理得，即，则，当时，，于是，，此方程无解；当时，，于是，解得或，所以当时，无解；当时，或.18.在中，角的对边分别是，．（1）求C；（2）若，的面积是，求的周长．解：（1）由题意在中，，即，故，由于，所以.（