陕西省周至县高中数学 第一章 推理与证明 1.3 反证法教学设计 北师大版选修2-2

陕西省周至县高中数学第一章推理与证明1.3反证法教学设计北师大版选修2-2科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）陕西省周至县高中数学第一章推理与证明1.3反证法教学设计北师大版选修2-2教学内容北师大版选修2-2第一章推理与证明1.3反证法。本节课将重点讲解反证法的基本概念、证明过程和常见题型，包括反证法的定义、反证法的证明步骤、反证法的应用等。通过具体例题的讲解和练习，使学生掌握反证法的运用，提高逻辑推理和证明能力。核心素养目标培养学生数学抽象和逻辑推理能力，通过反证法的学习，使学生能够理解并运用抽象的数学语言表达推理过程，发展严密的逻辑思维。同时，提升学生的数学建模能力，通过解决实际问题，学会将反证法应用于解决数学问题，增强解决复杂问题的能力。此外，培养学生数学素养中的严谨性和批判性思维，使学生能够在证明过程中学会质疑和反思。学情分析本节课面对的是陕西省周至县高中一年级的学生，他们刚刚完成初高中数学的衔接，对高中数学的抽象思维和逻辑推理要求有了初步的认识。在知识层面，学生对初中数学中的基本概念和性质已经有一定的掌握，但对于高中数学中的抽象概念和证明方法还处于适应阶段。在能力方面，学生的计算能力和解题技巧有待提高，特别是在面对较为复杂的证明问题时，往往缺乏有效的解题策略。

在素质方面，学生的自主学习能力和合作学习意识需要加强。部分学生在面对难题时容易产生畏难情绪，缺乏坚持不懈的毅力。此外，学生在课堂上的参与度不高，有时表现出对数学学习的兴趣不足，这些因素都可能对反证法的学习产生不利影响。

在行为习惯上，学生普遍存在依赖老师和参考书的现象，缺乏独立思考和探索的精神。这种习惯可能导致学生在遇到新问题时无法迅速适应，影响反证法的理解和应用。教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、计算机）、黑板、粉笔

-课程平台：学校内部网络教学平台，用于发布教学资料和在线作业

-信息化资源：反证法相关教学视频、在线证明软件（如Geogebra、Mathematica等）

-教学手段：教学课件、教学案例、互动式问题卡、数学建模实践软件（如MATLAB等）

-教学辅助工具：几何模型、数学图形绘制工具（如GeoGebra软件中的绘图功能）教学过程一、导入新课

1.老师提问：同学们，我们之前学习了哪些证明方法？它们有什么特点？

2.学生回答：归纳法、演绎法、综合法等。

3.老师总结：今天我们将学习一种新的证明方法——反证法。

二、新课讲授

1.老师讲解反证法的定义：反证法是一种通过否定结论，进而推出矛盾，从而证明原命题为真的证明方法。

2.老师举例说明反证法的应用：

-例题1：证明：对于任意正整数n，n^2+n是3的倍数。

-分析：假设n^2+n不是3的倍数，即存在整数k，使得n^2+n=3k。那么n(n+1)=3k，由于n和n+1是相邻的两个整数，它们中必有一个是偶数，另一个是奇数。因此，n(n+1)是2的倍数，与3k是3的倍数矛盾。所以原命题成立。

3.老师引导学生总结反证法的证明步骤：

-提出反设：假设原命题的否定成立。

-推导矛盾：根据反设，推导出矛盾或不符合事实的结论。

-得出结论：由于推导出矛盾，原命题成立。

4.老师讲解反证法的注意事项：

-反证法适用于证明命题的否定为假时，原命题为真。

-反证法不能用于证明全称命题，只能用于证明存在命题。

-反证法不能用于证明命题的否定为真时，原命题为假。

三、课堂练习

1.老师提出练习题，要求学生独立完成：

-练习题1：证明：对于任意正整数n，n^2-1是4的倍数。

-练习题2：证明：对于任意正整数n，n^3+n是3的倍数。

2.学生完成练习题，老师巡视指导。

四、课堂讨论

1.老师引导学生讨论反证法的应用：

-讨论题1：反证法在数学证明中的优势是什么？

-讨论题2：反证法在解决实际问题中的应用有哪些？

2.学生分组讨论，分享讨论成果。

五、课堂小结

1.老师总结本节课的学习内容：

-反证法的定义和证明步骤。

-反证法的应用和注意事项。

2.老师强调反证法在数学证明中的重要性。

六、课后作业

1.老师布置课后作业，要求学生完成以下题目：

-课后作业1：证明：对于任意正整数n，n^4-n是3的倍数。

-课后作业2：证明：对于任意正整数n，n^5+n是3的倍数。

2.老师提醒学生按时完成作业，并鼓励学生在课后进行复习和巩固。

七、教学反思

1.老师对本节课的教学效果进行反思：

-学生对反证法的定义和证明步骤掌握程度如何？

-学生在课堂练习和讨论中是否能够灵活运用反证法？

-学生对反证法的应用和注意事项是否理解？

2.老师根据反思结果，调整教学策略，提高教学质量。知识点梳理一、反证法的定义

1.反证法是一种通过否定结论，进而推出矛盾，从而证明原命题为真的证明方法。

2.反证法适用于证明命题的否定为假时，原命题为真。

二、反证法的证明步骤

1.提出反设：假设原命题的否定成立。

2.推导矛盾：根据反设，推导出矛盾或不符合事实的结论。

3.得出结论：由于推导出矛盾，原命题成立。

三、反证法的应用

1.适用于证明存在命题，不适用于证明全称命题。

2.适用于证明命题的否定为假时，原命题为真。

3.适用于证明较为复杂的数学问题。

四、反证法的注意事项

1.反证法不能用于证明命题的否定为真时，原命题为假。

2.反证法不能用于证明全称命题。

3.反证法不能用于证明命题的否定为假时，原命题为真。

五、反证法的例子

1.证明：对于任意正整数n，n^2+n是3的倍数。

2.证明：对于任意正整数n，n^3+n是3的倍数。

六、反证法与其他证明方法的比较

1.与归纳法比较：归纳法适用于证明全称命题，反证法适用于证明存在命题。

2.与演绎法比较：演绎法从一般到特殊，反证法从特殊到一般。

3.与综合法比较：综合法适用于证明简单命题，反证法适用于证明复杂命题。

七、反证法的实际应用

1.在数学证明中的应用：证明数学定理、公式等。

2.在实际问题中的应用：解决数学问题、工程问题等。

八、反证法的拓展

1.反证法的变式：反证法的逆否命题、反证法的反证法等。

2.反证法的应用拓展：反证法在其他学科中的应用。

九、反证法的复习与巩固

1.复习反证法的定义、证明步骤、应用和注意事项。

2.练习反证法的应用，提高解题能力。

3.分析反证法的实际应用，增强数学素养。典型例题讲解例题1：证明：对于任意正整数n，n^2-1是4的倍数。

解答过程：

1.假设n^2-1不是4的倍数，即存在整数k，使得n^2-1=4k。

2.将等式变形得：n^2=4k+1。

3.由于n^2是平方数，它只能是奇数或偶数的平方。

4.假设n是偶数，则n=2m，其中m是整数。代入上式得：4m^2=4k+1，即m^2=k+1/4。这与m^2是整数的假设矛盾。

5.假设n是奇数，则n=2m+1，其中m是整数。代入上式得：4m^2+4m+1=4k+1，即4m^2+4m=4k。这与4m^2+4m是4的倍数的假设矛盾。

6.由于两种情况都导致矛盾，所以原命题成立。

例题2：证明：对于任意正整数n，n^3+n是3的倍数。

解答过程：

1.假设n^3+n不是3的倍数，即存在整数k，使得n^3+n=3k。

2.将等式变形得：n^3=3k-n。

3.由于n^3是立方数，它只能是奇数或偶数的立方。

4.假设n是偶数，则n=2m，其中m是整数。代入上式得：8m^3=3k-2m，即8m^3+2m=3k。这与8m^3+2m是3的倍数的假设矛盾。

5.假设n是奇数，则n=2m+1，其中m是整数。代入上式得：8m^3+12m^2+6m+1=3k。这与8m^3+12m^2+6m+1是3的倍数的假设矛盾。

6.由于两种情况都导致矛盾，所以原命题成立。

例题3：证明：对于任意正整数n，n^4-n是3的倍数。

解答过程：

1.假设n^4-n不是3的倍数，即存在整数k，使得n^4-n=3k。

2.将等式变形得：n^4=3k+n。

3.由于n^4是四次方数，它只能是奇数或偶数的四次方。

4.假设n是偶数，则n=2m，其中m是整数。代入上式得：16m^4=3k-2m，即16m^4+2m=3k。这与16m^4+2m是3的倍数的假设矛盾。

5.假设n是奇数，则n=2m+1，其中m是整数。代入上式得：16m^4+32m^3+24m^2+8m+1=3k。这与16m^4+32m^3+24m^2+8m+1是3的倍数的假设矛盾。

6.由于两种情况都导致矛盾，所以原命题成立。

例题4：证明：对于任意正整数n，n^5+n是3的倍数。

解答过程：

1.假设n^5+n不是3的倍数，即存在整数k，使得n^5+n=3k。

2.将等式变形得：n^5=3k-n。

3.由于n^5是五次方数，它只能是奇数或偶数的五次方。

4.假设n是偶数，则n=2m，其中m是整数。代入上式得：32m^5=3k-2m，即32m^5+2m=3k。这与32m^5+2m是3的倍数的假设矛盾。

5.假设n是奇数，则n=2m+1，其中m是整数。代入上式得：32m^5+80m^4+80m^3+40m^2+10m+1=3k。这与32m^5+80m^4+80m^3+40m^2+10m+1是3的倍数的假设矛盾。

6.由于两种情况都导致矛盾，所以原命题成立。

例题5：证明：对于任意正整数n，n^6-n是4的倍数。

解答过程：

1.假设n^6-n不是4的倍数，即存在整数k，使得n^6-n=4k。

2.将等式变形得：n^6=4k+n。

3.由于n^6是六次方数，它只能是奇数或偶数的六次方。

4.假设n是偶数，则n=2m，其中m是整数。代入上式得：64m^6=4k-2m，即64m^6+2m=4k。这与64m^6+2m是4的倍数的假设矛盾。

5.假设n是奇数，则n=2m+1，其中m是整数。代入上式得：64m^6+192m^5+240m^4+160m^3+60m^2+12m+1=4k。这与64m^6+192m^5+240m^4+160m^3+60m^2+12m+1是4的倍数的假设矛盾。

6.由于两种情况都导致矛盾，所以原命题成立。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在课堂上的表现总体积极，对于反证法的概念和证明步骤理解较快。在课堂提问环节，大部分学生能够准确回答问题，展现了良好的课堂参与度。然而，部分学生在面对较为复杂的证明问题时，表现出一定的困惑和犹豫，需要进一步指导。

2.小组讨论成果展示：

在小组讨论环节，学生能够积极参与，分工合作，共同探讨反证法的应用。各小组的讨论成果展示充分体现了学生的思维过程和团队合作精神。通过讨论，学生能够更好地理解反证法的原理和应用，提高了解题能力。

3.随堂测试：

随堂测试结果显示，学生对反证法的基本概念和证明步骤掌握较好，但部分学生在具体应用反证法解决实际问题时，存在一定的困难。测试中，学生在选择反设、推导矛盾和得出结论等环节，出现了一些错误。这表明需要加强学生对反证法实际应用的训练。

4.学生自评与互评：

学生自评环节，学生能够反思自己在学习过程中的优点和不足，提出改进措施。互评环节，学生能够客观评价同伴的表现，提出建设性的意见。这种自评与互评机制有助于学生更好地认识自己，提高学习效果。

5.教师评价与反馈：

针对学生在反证法学习中的表现，教师评价如下：

-针对学生对反证法基本概念的理解，教师评价：学生对反证法的定义和证明步骤掌握较好，能够运用反证法解决一些简单问题。

-针对学生对反证法实际应用的能力，教师评价：学生在实际应用反证法解决复杂问题时，存在一定的困难，需要加强练习和指导。

-针对学生的小组讨论和合作学习，教师评价：学生在小组讨论中表现积极，能够相互配合，共同解决问题。但部分学生在讨论中过于依赖他人，需要提高独立思考能力。

-针对学生对反证法的反思和改进，教师评价：学生能够认真反思自己的学习过程，提出切实可行的改进措施，体现了良好的学习态度。

本节课教学评价与反馈主要围绕学生对反证法的学习效果进行。通过课堂表现、小组讨论、随堂测试和学生自评与互评等方面，教师能够全面了解学生的学习情况。针对学生在反证法学习中的不足，教师将采取相应的教学策略，加强练习和指导，以提高学生的数学素养和逻辑推理能力。教学反思与总结哎呀，这节课上完之后，我真是感慨良多。咱们来聊聊这节课的得与失吧。

首先，我觉得这节课的教学方法还是挺有效的。我采用了提问、讲解、例题分析、小组讨论等多种教学方法，尽量让每个学生都能参与到课堂中来。看到大家积极参与，我真心觉得挺欣慰的。不过，我也发现了一个